Il progetto allo SLU per il taglio

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1 Il progetto allo SLU per il taglio

2 Il progetto allo SLU per taglio Le travi sollecitate a taglio La teoria lineare Il comportamento non lineare Travi non armate a taglio Funzionamento a trave e ad arco Travi armate a taglio Determinazione della forza nell armatura di taglio Determinazione del contributo del calcestruzzo Interazione momento-taglio Il DM Esempi e confronto TA e SLU 135/230

3 La teoria lineare Nel metodo TA le τ agenti sulle sezioni normali si calcolano con la nota teoria approssimata di Jourawski: τ( y) = V I S( y) b( y) in cui: I = momento d inerzia baricentrico della sezione, S(y) è il momento statico, rispetto al baricentro, della parte di sezione al disopra della fibra di ascissa y e b(y) è la larghezza di detta fibra 136/230

4 La teoria lineare Nel caso di sezioni fessurate: a.n. τ max V 0.9d b w Incongruenza: la parte di calcestruzzo sotto l asse neutro, inesistente per la flessione, sopporta la tensione tangenziale τ max che, come risulta dal cerchio di Mohr, produce una tensione principale di trazione di pari valore. 137/230

5 Il comportamento delle travi sollecitate a taglio Per comprendere cosa avvenga in una trave in c.a. sollecitata a flessione e taglio, si deve rinunciare all analisi della sola sezione ed esaminare la trave nella sua estensione spaziale. Consideriamo il comportamento di una trave appoggiata, uniformemente caricata, al crescere dell intensità del carico. 138/230

6 Il comportamento lineare Inizialmente il comportamento è elastico lineare e la distribuzione delle tensioni segue la teoria delle travi elastiche L andamento delle linee isostatiche delle tensioni principali è: 139/230

7 Il comportamento non lineare Il valore max della tensione principale di trazione viene raggiunto al lembo inferiore In un punto, superata la resistenza a trazione, si innesca una fessura normale all asse della trave, perpendicolare alle isostatiche di trazione Al crescere del carico la fessura si propaga e, per effetto delle tensioni tangenziali, si inclina verso l asse. 140/230

8 Il comportamento non lineare Le fessure seguono le isostatiche di compressione Nascono ortogonali all asse della trave e poi si inclinano fino a divenirne quasi parallele in prossimità del corrente compresso. 141/230

9 Il comportamento non lineare 142/230

10 Il comportamento non lineare 143/230

11 Conseguenze Si deduce un risultato fondamentale per l analisi di travi in c.a. soggette a flessione e taglio: si deve rinunciare al semplice schema della sezione fessurata normalmente all asse si devono esaminare conci di lunghezza finita entro cui, nella parte tesa, si estendono delle fessure inclinate. 144/230

12 Quindi Dall equilibrio di un concio di trave si ha: V V V = x dm dx M dx M+dM 145/230

13 Poiché Per una trave in c.a. soggetta a M e V : M = z = braccio delle forze interne T z M x T z 146/230

14 Doppio funzionamento Sostituendo l ultima espressione nell equilibrio: dt V = z + dx dz dx T All equilibrio di V concorrono due termini, dipendenti da: la variazione della forza di trazione nell acciaio la variazione del braccio delle forze interne z. 147/230

15 Doppio funzionamento Sostituendo l ultima espressione nell equilibrio: dt V = z + dx dz dx T Funzionamento a trave (travi snelle) Funzionamento ad arco (travi tozze) 148/230

16 Il comportamento delle travi non armate a taglio Le due facce contigue di una fessura sono superfici scabre Infatti la fessura non attraversa gli inerti grossi, lo scheletro più resistente dell impasto, ma ne segue i contorni Dopo l apertura della fessura, le protuberanze di queste superfici scabre rimangono ingranate con le corrispondenti cavità, rendendo ancora possibile la trasmissione di forze tangenziali 149/230

17 Il comportamento delle travi non armate a taglio Questo è il meccanismo di ingranamento degli inerti (aggregate interlock) 150/230

18 Il comportamento delle travi non armate a taglio T 2 T 1 Le fessure separano la trave in tante mensole incastrate nella parte superiore compressa dell elemento Ogni mensola è sollecitata dalla forza T = T 1 - T 2 data dalla variazione della forza di trazione dell armatura nel comportamento a trave 151/230

19 Il comportamento delle travi non armate a taglio Alla forza T resistono: Le tensioni tangenziali τ a sulle superfici delle fessure (ingranamento degli inerti) Le forze di taglio V d per effetto spinotto (dowel action) delle barre longitudinali Il momento M c all incastro della mensola di cls nel corrente compresso 152/230

20 Funzionamento a trave (flessione e taglio) e ad arco Per valori di a/d > 7 M u sperimentale coincide con M u teorico La trave raggiunge la resistenza flessionale perché la resistenza a taglio è maggiore Questo si ha nelle travi molto snelle per le quali è possibile omettere l utilizzo dell armatura di taglio 153/230

21 Funzionamento a trave (flessione e taglio) e ad arco Per 7 > a/d > 3 la rottura è prodotta dal cedimento dei denti di calcestruzzo con la conseguente perdita di efficacia del meccanismo a trave La resistenza della trave si riduce rispetto a quanto previsto dalla sola flessione. 154/230

22 Funzionamento a trave (flessione e taglio) e ad arco Per a/d < 3 la resistenza cresce fino a raggiungere la resistenza flessionale Il collasso è in flessione e non per taglio Dopo il cedimento del meccanismo a trave si ha il meccanismo ad arco che permette di portare un ulteriore quota di carico 155/230

23 Travi armate a taglio Perché le travi raggiungano la loro piena capacità portante, la resistenza al taglio deve essere aumentata fino a raggiungere, e possibilmente superare, quella flessionale (la gerarchia delle resistenze!) Soprattutto a causa della natura fragile, e quindi particolarmente pericolosa, del collasso per taglio. 156/230

24 La gerarchia delle resistenze Si tratta di progettare gli e/m fragili in base alle massime azioni (le resistenze) trasmesse dagli e/m duttili F Fy F 157/230

25 La gerarchia delle resistenze Si tratta di progettare gli e/m fragili in base alle massime azioni (le resistenze) trasmesse dagli e/m duttili Fy Fy La forza non può crescere oltre F y e quindi l elemento fragile è automaticamente protetto Fy 158/230

26 Travi armate a taglio Per aumentare la resistenza a taglio si dispone un armatura d anima disposta trasversalmente all asse della trave Ha il ruolo di congiungere: la parte compressa (il corrente in calcestruzzo) la parte tesa (l armatura longitudinale) Le armature utilizzate a questo scopo sono: le staffe le barre piegate. 159/230

27 Travi armate a taglio Le staffe sono più efficaci delle barre piegate nel prevenire i meccanismi di rottura per taglio 160/230

28 Determinazione della forza nell armatura di taglio L efficacia dei meccanismi aumenta: L ingranamento degli inerti migliora Le armature d anima, in particolare prima di plasticizzarsi, ostacolano l aprirsi delle fessure consentendo un ingranamento efficace L effetto spinotto migliora Le staffe, se abbastanza vicine tra loro, aumentano la rigidezza flessionale delle armature longitudinali La resistenza delle mensole di calcestruzzo aumenta L armatura provoca la compressione di queste bielle, con conseguente riduzione delle tensioni di trazione Limitando l estendersi delle fessure impedisce l eccessiva riduzione delle sezioni di incastro delle mensole al corrente compresso 161/230

29 Determinazione della forza nell armatura di taglio L armatura d anima contribuisce direttamente a sopportare una parte delle forze di taglio Il modello di Mörsch è molto schematico ma coglie i caratteri essenziali del fenomeno La trave fessurata viene assimilata ad una trave reticolare in cui: il calcestruzzo compresso e l armatura tesa sono i correnti le bielle di calcestruzzo sono le aste di parete compresse le armature d anima sono le aste tese 162/230

30 Determinazione della forza nell armatura di taglio Il traliccio di Mörsch 163/230

31 Determinazione della forza nell armatura di taglio Schema del meccanismo resistente 164/230

32 Determinazione della forza nell armatura di taglio L eq. di eq. dei momenti di una mensola di calcestruzzo tra due fessure distanti s è: T z = (V d +V a ) s + M c + F s sinβ z cotα + F s cosβ z 165/230

33 Determinazione della forza nell armatura di taglio Ponendo T (dt/dx)s e z cost., e poiché V = dm/dx, si ha: d( M / z) V T s dx z 166/230

34 F s s Determinazione della forza nell armatura di taglio Sostituendo e risolvendo per F s si ha: V Vc Vs = = z sin β(cot α + cotβ) z sin β(cot α + cotβ) Vc = Va + Vd + M c / s 167/230

35 Determinazione della forza nell armatura di taglio Nel caso α = 45 e β = 90 : Nel caso α = 45 e β = 45 : F F s s s = s = V z s z V s 2 168/230

36 Determinazione della forza nella biella compressa Nella biella compressa si ha: sin β Vs s C = Fs = sin α z sin α(cot α + cotβ) 169/230

37 Determinazione del contributo del calcestruzzo E difficile valutare teoricamente: V c = V a + V d + M c /s Quindi si ricorre a formule empiriche 170/230

38 Interazione momento-taglio La presenza del taglio fa sviluppare le fessure secondo linee inclinate Il concetto di sezione retta della teoria della trave elastica perde di significato Ciò comporta che la T sull armatura tesa non coincide con quella prevista dalla teoria della flessione 171/230

39 Interazione momento-taglio Nella sezione (2 ) si ha: M 2 = T 2 z Nella sezione (2) si ha: M 2 M 2 V 2 z cotα 172/230

40 Interazione momento-taglio Secondo la teoria della flessione si ha: T 2,flex = M 2 / z = M 2 / z V 2 cotα Quindi la forza effettiva è maggiore: T 2 = T 2,flex + V 2 cotα 173/230

41 Interazione momento-taglio Il taglio produce, nella trave fessurata, un incremento della forza nell armatura pari a Vcotα Di questo si tiene conto traslando il diagramma dei momenti con cui si progettano le armature della quantità: z cot α 0.9d cotα In tal modo in ogni sezione il momento considerato è maggiore di quello corrispondente all equilibrio della parte di trave individuata da una sezione retta. 174/230

42 Interazione momento-taglio Traslazione del diagramma del momento 0.9 d 0.9 d 0.9 d 0.9 d 0.9 d 0.9 d 175/230

43 Il DM Verifiche allo stato limite ultimo per sollecitazioni taglianti Elementi senza armature trasversali resistenti a taglio Verifica del conglomerato Verifica dell armatura longitudinale Elementi con armature trasversali resistenti al taglio Verifica del conglomerato Verifica dell armatura trasversale d anima Verifica dell armatura longitudinale 176/230

44 Il comportamento a rottura per taglio Dipende da molti parametri Non esistono metodi di calcolo semplici che coprano tutti i tipi di rottura e che tengano conto adeguatamente dei contributi alla resistenza di tutti gli elementi costituenti le membrature Nel caso di travi parete, mensole corte, ecc., si useranno metodi di calcolo fondati su ipotesi teoriche e risultati sperimentali chiaramente comprovati. 177/230

45 Il comportamento a rottura per taglio Il calcolo agli SL si riferisce solo alla rottura: del conglomerato d'anima, o delle armature trasversali I rischi inerenti ad altri tipi di rottura sono coperti: da prescrizioni sui dettagli costruttivi ancoraggi da limitazioni progettuali interasse minimo delle armature trasversali, conformazione delle armature trasversali, ecc. 178/230

46 Elementi senza armature trasversali resistenti a taglio Appartengono a questa categoria di strutture: i solai monodimensionali solette, piastre e membrature a comportamento analogo le travi poste su aperture di luce modesta Si considerano armature trasversali a taglio le staffe le altre armature che collegano il corrente teso al corrente compresso della membratura Gli elementi senza armatura a taglio non devono essere soggetti a trazione affinché si instauri il meccanismo resistente arco-tirante. 179/230

47 Verifica del conglomerato Il taglio di calcolo non deve superare il valore che, riferito alla resistenza a trazione di calcolo f ctd, determina la formazione delle fessure oblique La resistenza a trazione di calcolo è: f ctd = 1 γ c f ctk = 1 γ c 0.7 f ctm = 1 γ c Rck 180/230

48 Verifica del conglomerato Le verifiche si effettuano: VSdu 0.25 fctd r (1 + 50ρl ) b w d δ dove: VSdu taglio agente r = (1.6 m d) con d 0.6 m ρl = Asl/(bw d) 0.02 (A sl = area armatura long. di trazione) δ = 1 + M0/MSdu (= 0 in presenza di trazione apprezzabile) M0 = momento di decompressione MSdu = momento agente massimo di calcolo 181/230

49 Quantitativi minimi di armatura Se risulta V Sdu < V cu si deve disporre una quantità minima di armatura: ρ ρ Inoltre deve essere rispettata la: s min(0.8 d, 0.33 m). w,min = A s b A sw w sw w, min = s bw fck 0.08 f yk d b w (EC2) 182/230

50 Verifica dell armatura longitudinale La verifica comporta la traslazione del diagramma del momento flettente lungo l'asse longitudinale, nel verso che dà luogo ad un aumento del valore assoluto del momento flettente. In altri termini, l armatura longitudinale deve essere dimensionata per resistere al momento sollecitante pari a: M Sdu (V) = M Sdu (V) + V Sdu 0.9d 183/230

51 Elementi con armature trasversali resistenti al taglio La resistenza al taglio dell'elemento fessurato si calcola schematizzando la trave come un traliccio ideale (Ritter-Morsch) Gli elementi del traliccio resistenti a taglio sono: le armature trasversali d'anima, come aste di parete il cls del corrente compresso e delle bielle d'anima l'armatura longitudinale. 184/230

52 Verifica del conglomerato La verifica consiste nel confrontare il taglio di calcolo con una espressione cautelativa della resistenza a compressione delle bielle inclinate V Sdu 0.30 f cd b w d dove f cd è la resistenza di calcolo a compressione del calcestruzzo 185/230

53 Verifica dell armatura trasversale d'anima Il taglio di calcolo deve risultare inferiore od al limite uguale alla somma della resistenza della armatura d anima e del contributo degli altri elementi del traliccio ideale Comunque la resistenza di calcolo dell armatura d anima deve risultare non inferiore alla metà del taglio di calcolo. 186/230

54 Verifica dell armatura trasversale d'anima L armatura trasversale deve verificare: in cui: V Sdu V cd + V wd con V wd V Sdu /2 V cd = 0.60 f ctd b w d δ V wd = A sw f ywd 0.90 d / s (staffe) V wd = 2 A sw 0.8f ywd 0.90 d / s (piegati) 187/230

55 Verifica dell armatura longitudinale La verifica comporta la traslazione del diagramma del momento flettente lungo l'asse longitudinale, nel verso che dà luogo ad un aumento del valore assoluto del momento flettente. In altri termini, l armatura longitudinale deve essere dimensionata per resistere al momento sollecitante pari a: M Sdu (V) = M Sdu (V) + V Sdu 0.9d 188/230

56 Esempio Verificare per una forza di taglio V Sk = 75 kn e, se necessario, progettare l armatura della sezione rettangolare con: base: b w = 30 cm altezza: h = 60 cm armatura longitudinale: A sl = 5φ20 = 15.7 cm 2 Caratteristiche dei materiali: calcestruzzo: R ck = 30 N/mm 2 acciaio: Fe B 44 k 189/230

57 Esempio Metodo TA Le tensioni ammissibili sono: τ τ c0 c1 = = Rck = = 0.6 N/mm Rck = = 1.83 N/mm Per l acciaio si ha: σ s 2 = 255 N/mm 190/230

58 Esempio Metodo TA La tensione tangenziale massima è: τ cm = V 0.9 d Sk b w = N/mm Si dispone l armatura minima: = < τ c0 A s sw d b b = w w = = 3.86 cm 2 /m cioè staffe φ8/250 mm 191/230

59 Esempio Metodo SLU La sollecitazione di progetto è: V Sdu = γ V Sk = = kn Le resistenze di calcolo dei materiali sono: 0.83Rck fcd = = γc 1 f ctd R 3 2 = ck γc f yk f yd = = γs 430 = = N/mm = = 1.14 N/mm N/mm 192/230 2

60 Esempio Metodo SLU La verifica richiede: V Sdu 0.25 f ctd r (1 + 50ρ ) b = ( )(1 + = N < N l w d δ ) La trave deve essere armata a taglio 193/230

61 Esempio Metodo SLU Verifica delle bielle compresse: V 0.30 f b d Sdu cd = = è largamente soddisfatta w N Il taglio portato dal calcestruzzo è: V cd = 0.60 f ctd b w d δ = = N > V Sdu 194/230

62 Esempio Metodo SLU Poiché risulta V cd > V Sdu, si deve assumere: V wd = V Sdu /2= 56.3 kn Quindi le staffe saranno: A s sw = V 0.9d wd f ywd cioè staffe φ8/330 mm = = 2.93 cm 2 /m 195/230

63 Esempio Per la stessa sezione dell esempio precedente, si verifichi il caso in cui: V Sk = 200 kn. 196/230

64 Esempio Metodo TA La tensione tangenziale massima è: τ cm = V 0.9 d Sk b w = N/mm Quindi deve essere armata a taglio: = < τ c1 A s sw = VSk 0.9d b w = = 15.3 cm 2 /m cioè staffe φ10/100 mm 197/230

65 Esempio Metodo SLU La sollecitazione di progetto è: V Sdu = γ V Sk = = 300 kn La verifica delle bielle compresse è soddisfatta Per il calcolo dell armatura si ha: V wd = V Sdu V cd = = 183 kn 198/230

66 Esempio Metodo SLU Poiché risulta V wd > V Sdu /2, le staffe saranno calcolate con V wd : A s sw = V 0.9d wd f ywd = = 9.5 cm 2 /m cioè staffe φ10/150 mm oppure φ8/100 mm 199/230