11. Stato limite Ultimo per taglio

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1 11. Stato limite Ultimo per taglio 11.1 Premessa Attualmente, malgrado le tantissime prove sperimentali e l innumerevole quantità di dati disponibili, lo studio del taglio negli elementi di calcestruzzo armato non è ancora concluso. È importante sapere, infatti, che la rottura per taglio è in realtà una rottura determinata dall azione combinata di sollecitazioni di flessione, di taglio e spesso, anche, per sforzo normale e torsione. L esatta valutazione di questa rottura è, quindi, particolarmente complessa. La sperimentazione ha evidenziato che i fattori che risultano determinanti sulla resistenza a taglio di un elemento strutturale sono di diversa natura. I principali sono: la particolare disposizione delle armature longitudinali e trasversali; l aderenza fra acciaio e calcestruzzo; il tipo e la posizione dei carichi in relazione ai vincoli (appoggi); la particolare forma delle sezioni; la resistenza dei materiali: acciaio e calcestruzzo. La sperimentazione ha, inoltre, evidenziato quanto segue: le travi, anche se prive di apposite armature a taglio, mostrano una resistenza al taglio non trascurabile. Questa resistenza deriva, oltre che dalla resistenza a trazione del calcestruzzo, anche dal contributo di altri fenomeni interni al conglomerato e di difficile interpretazione; nelle travi non armate al taglio, l insorgere della lesione in prossimità dell asse neutro (sforzo di trazione massimo), per il raggiungimento della resistenza a trazione del conglomerato, provoca una situazione particolarmente pericolosa, che porta all inevitabile rottura della trave stessa; la presenza di fessure provocate da momento flettente non compromette la resistenza a taglio, in quanto si instaurano dei meccanismi ad arco ed a pettine che risultano ancora in grado, sia pure in maniera ridotta, di assorbire le sollecitazioni di scorrimento; nelle travi armate a taglio, l insorgere della fessurazione attiva un meccanismo a traliccio nel quale la resistenza a taglio risulta dovuta alla resistenza delle bielle di calcestruzzo compresse ed a quella a trazione delle armature trasversali e longitudinali; la resistenza a trazione del calcestruzzo, con il contributo di alcuni fenomeni aggiuntivi secondari, incrementa la capacità di resistenza del traliccio (contributi che sono esclusi nel metodo n ). La valutazione in sede di analisi teorica di tali contributi rimane, però, ancora imprecisa; prima perché trattasi di fenomeni complessi, poi perché questi fenomeni vengono influenzati da diversi fattori di difficile determinazione. Le normative introducono, infatti, fattori correttivi di derivazione sperimentale. Ad esempio, su una trave caricata si possono distinguere zone che evidenziano comportamenti differenti a seconda del tipo di lesione. In particolare, nelle travi a sezione rettangolare senza armature al taglio, la sperimentazione ha mostrato che in prossimità degli appoggi prevale un comportamento resistente ad arco. Per travi abbastanza alte, si è notato che nella zona compresa tra l appoggio e la mezzeria si formano delle lesioni che tendono a disporsi su un inclinazione di circa 45 ; in questa zona (esistono delle sollecitazioni combinate di flessione e taglio) è presente un meccanismo di resistenza a pettine. Infine, nell intorno della mezzeria le lesioni sono perpendicolari all asse della trave, tipiche della sollecitazione di flessione pura. Invece, nelle travi a T gioca un ruolo importante il rapporto tra la larghezza della suola e lo spessore dell anima. In presenza di armature trasversali per taglio, aumenta ovviamente la resistenza e gli effetti sopra menzionati rimangono come indice della resistenza di una quota parte del taglio portata dal solo calcestruzzo. I modelli di calcolo proposti per interpretare la resistenza al taglio delle strutture in calcestruzzo armato 539

2 sono diversi, e fanno riferimento alla situazione di incipiente collasso. I modelli in questione maggiormente noti sono i seguenti: traliccio di Ritter Mörsch; comportamento ad arco ; funzionamento a pettine. Il traliccio di Ritter Mörsch si basa sul calcolo da effettuare nel caso sia necessaria l armatura al taglio. Il modello fa riferimento al modello classico utilizzato nel vecchio metodo delle tensioni ammissibili. La Normativa Italiana ammette membrature prive di armature al taglio solo per solette, piastre o travi di luce modesta. Altre particolari normative non pongono limitazioni di luce, anche se prevedono un minimo di armature trasversali al fine di scongiurare il pericolo di rotture fragili dell anima. Nella determinazione delle armature trasversali viene considerata anche la resistenza a taglio che l elemento possiede a prescindere delle armature trasversali (diversamente quindi da quanto previsto con il metodo n ). Tale impostazione del problema consente riduzioni anche sensibili delle armature al taglio. Ciò implica, però, l introduzione nell analisi della resistenza a trazione del calcestruzzo (la cui stima non è affatto semplice); inoltre, questo comporta un aliquota di indeterminatezza che non bisogna trascurare. Le normative impongono che una considerevole quota di taglio venga sopportata dalle staffe; questo non solo perché esse rappresentano un importante collegamento tra i ferri longitudinali, ma anche per il fatto, sperimentalmente accertato, che nelle barre rialzate vengono a crearsi anomale concentrazioni di tensioni in corrispondenza delle piegature. Nota. Si anticipa che la schematizzazione matematica della resistenza al taglio in assenza di apposita armatura verrà trattata interamente nel paragrafo 11.10; dopo aver descritto nel dettaglio, nei paragrafi 11.6, 11.8 e 11.9, i relativi singoli meccanismi di resistenza Comportamento resistente ad arco Tale comportamento si estrinseca in prossimità degli appoggi. Più precisamente, una trave armata solo con ferri longitudinali, tende a scaricare i carichi sugli appoggi mediante una fascia di calcestruzzo che assume una forma simile a quella di un arco. Perché tale comportamento si possa sviluppare, sono necessarie sia cospicue altezze di travi che forti armature longitudinali in grado di assorbire la componente orizzontale della sollecitazione nell arco. In realtà, questo effetto ad arco non è un vero e proprio meccanismo di taglio, ovvero, esso non trasmette azioni taglianti dall una all altra sezione. La sua presenza riduce però il contributo degli altri meccanismi resistenti, aumentando la loro efficacia nel portare il taglio. Per tale motivo, lo si può classificare come meccanismo resistente al taglio. Se si osserva una trave inflessa (vedere figura 11.1) in prossimità di un appoggio, si può notare come la reazione ad arco tirante metta in collegamento il punto in cui si scaricano parte dei carichi esterni (l appoggio in A) con la fascia di calcestruzzo compressa che collega il dorso della trave a contatto con i carichi esterni ed il punto A medesimo. 540

3 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Effetto arco (fig 11_1).TIF Figura 11.1 Schema meccanismo resistente arco-tirante. Dalla figura si può osservare, inoltre, lo schema della reazione se si considera l equilibrio delle forze che convergono sul nodo A: la reazione vincolare verticale nel punto A: V ; la forza di compressione N c biella della biella di calcestruzzo, inclinata di rispetto all orizzontale; la trazione in prossimità dell appoggio delle barre longitudinali ancorate al corpo dell elemento strutturale: N f. La biella di calcestruzzo interessa tutta la larghezza b m dell elemento; inoltre la forza N c biella di compressione nella biella agisce perpendicolarmente su una sezione della biella pari a b m s sen ; dove s è la lunghezza, misurata lungo l asse dell elemento strutturale, di una delle dimensioni della sezione orizzontale della biella in questione; e dove per b m si intende (e si intenderà nel seguito) la larghezza minima dell elemento strutturale. Per l equazione di equilibrio al nodo (vedere figura 11.1), le tre forze si devono incontrare in un medesimo punto; per cui, dal triangolo di equilibrio, si ricava la seguente relazione: N c biella = V sin. La forza di compressione nella biella risulta N c biella = c biella ( b m s sen). Inoltre, si è notato dalle sperimentazioni che la dimensione s è all incirca 2 volte quella della distanza x dell asse neutro dal lembo superiore compresso; per cui è possibile considerare la seguente relazione: N c biella = c biella ( b m 2x sen); mentre, la componente N f di trazione orizzontale dell arco-tirante, per l equilibrio al nodo A, vale: V cotg. In un elemento strutturale (ad esempio, una trave), nelle zone con comportamento ad arco, si può determinare la resistenza ultima della biella compressa prescindendo da eventuali armature trasversali. Infatti, si è visto sperimentalmente che, in prossimità degli appoggi, l angolo è prossimo a 45 ; per cui le armature longitudinali devono essere dimensionate per sopportare una forza V cotg che, per = 45, è pari esattamente a V. Inoltre, se si considera la resistenza a rottura per la biella di calcestruzzo, si avrà c biella = f cd, per cui la resistenza ultima è, con = 45 (e osservando che nella flessione risulta: x = (0,2 0,3) h): ( ultima N ) c biella = f cd ( b m x 2 ). (0 In particolare, a rottura V V ) (0 Rcd, si ha: V ) Rcd = ( 2 / 2)N (ultima) c biella. 541

4 Per la resistenza ultima a schiacciamento della biella, quindi, ci si deve aspettare la gamma di valori: ( ultima N ) (0 c biella = V ) Rcd = ( 0,28 0, 42)b m f cd h Elementi strutturali dotati di apposite armature al taglio: schema del reticolo isostatico L elemento strutturale viene schematizzato mediante un reticolo isostatico costituito da elementi tesi inclinati di un angolo, generalmente compreso fra 45 e 90 e da elementi compressi inclinati di un angolo e connessi agli estremi mediante un corrente compresso ed uno teso (longitudinalmente). Le varie normative, tra cui quella italiana (D.M ), fanno riferimento al metodo standard: esso ipotizza un inclinazione costante di 45 delle bielle di calcestruzzo compresse, considerando anche il contributo di resistenza a taglio V Rcd che l elemento possiede, indipendentemente dalle armature trasversali. Occorre, in ogni caso, verificare che l anima della sezione non vada soggetta a rottura fragile per compressione del calcestruzzo. Il metodo del traliccio assimila l elemento strutturale ad una vera e propria struttura reticolare, composta da bielle di calcestruzzo compresse incernierate agli estremi ai ferri trasversali ed ai ferri longitudinali tesi. La figura 11.2 illustra il modello in questione e le relazioni fondamentali che intervengono tra le varie forze. Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Modello Traliccio(fig 11_2).TIF Figura 11.2 Modello matematico del traliccio resistente al taglio. Equilibrio di un cuneo di conglomerato con singolo ferro trasversale al taglio. 542

5 Innanzitutto, si devono calcolare la quantità di ferri che attraversano ogni singola biella di calcestruzzo compressa. Ogni biella si forma tra due lesioni (fessure molto marcate) consecutive nell elemento strutturale, quando si è in incipiente collasso. Dall esame della figura risulta che all interno di ogni interasse t è presente un solo ferro trasversale. Il totale dei ferri trasversali n f che attraversano la singola biella di calcestruzzo è dato dal numero di interassi t che sono contenuti sulla proiezione (lungo l elemento strutturale) dell asse della biella. Dalla figura si evince che la proiezione della biella (di punti estremi indicati con p e q), lungo l asse dell elemento strutturale, contiene un numero di interassi di lunghezza t, la cui somma totale delle lunghezze tn f è misurata dalla lunghezza: t n f = z cotg + z cotg. In pratica, ciò equivale, se si fa riferimento al caso particolare rappresentato in figura, a considerare il numero di ferri che attraversano e che sono completamente contenuti all interno della biella, oltre alle altre barre che invece passano per gli estremi della biella stessa; per cui la loro sezione è per metà immersa nella biella e per metà all esterno della stessa. Quindi, le due barre agli estremi equivalgono ad un unico ferro che attraversa completamente la biella compressa. Infatti, si può constatare, prendendo come esempio il caso particolare riportato in figura 11.2, che il numero di interassi t che verificano l espressione del prodotto t n f = z cotg + z cotg è pari a 3: ossia, alla somma delle due barre completamente immerse nella biella e di quella singola, equivalente (in termini di sezione trasversale resistente) alle due poste agli estremi. Generalizzando, il numero di ferri che risultano immersi ( nella biella di calcestruzzo sono dati dall equazione: z cotg + z cotg ) n f =. t A questo punto, si può procedere ad individuare l entità delle varie forze che caratterizzano i materiali presenti nel traliccio resistente. Dal troncone di trave pqr, si consideri l equilibrio delle sole forze in direzione verticale. Risulta, quindi: V = ( Z )sen = ( n f Z )sen ; ovvero anche: Z n f sen = V ; dove si è indicato con Z la risultante delle forze parallele di trazione dei ferri trasversali, all equilibrio, passante per il punto di mezzo della biella. Per calcolare, invece, la forza nella biella compressa è utile considerare l equilibrio delle forze del cuneo di calcestruzzo armato, schematizzato in figura 11.2 nei pressi del punto p. Dal triangolo di equilibrio delle forze risulta: N c biella sen = HG ; ma risulta altresì: HG = Z sen ; per cui si arriva alla relazione: N c biella sen = Z sen ; ma, secondo l equazione sopra scritta, risulta: N c biella n f sen = V. È possibile, comunque, arrivare a quest ultima equazione anche per altra via; e, precisamente, osservando quanto segue: nella schematizzazione del traliccio ideale, il numero di ferri trasversali tesi è uguale al numero di bielle compresse (per cui, n f ferri tesi, e altrettante n f bielle compresse). Dall equilibrio alla traslazione verticale della parte di struttura individuata dal troncone di trave sezionato, in corrispondenza di un opportuno piano perpendicolare alla direzione delle bielle compresse e passante per il punto in cui viene piegato il primo dei ferri trasversali (come si può notare dalla figura 11.3), si ottiene nuovamente: N c biella n f sen = V. 543

6 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Comprescalcestruz(fig 11_3).TIF Figura 11.3 Schema per il calcolo dello sforzo di compressione nella biella di cls inclinata Riassumendo quanto detto, si hanno a disposizione 2 equazioni fondamentali: per la biella di calcestruzzo compressa: N c biella n f sen = V ; per i ferri longitudinali tesi: Z n f sen = V. Risulta, inoltre, all incipiente collasso, per i due materiali acciaio e calcestruzzo: f = f yd e c = f cd. Detta con f 1f l area resistente al taglio si un singolo ferro, le equazioni suddette assumono, dunque, le seguenti espressioni: biella compressa di calcestruzzo (a rottura, il massimo taglio sostenibile dalla biella compressa di calcestruzzo risulta V Rc1d ), quindi: f cd ( b m 2xsen )n f sen = V Rc1d acciaio (a rottura, il massimo taglio sostenibile dagli n f ferri è: V Rfd ), quindi: f yd f 1f n f sen = V Rfd ; dove si sono indicati con V Rc1d e V Rfd, rispettivamente, i valori ultimi di resistenza di progetto estrinsecabili dalla biella compressa e dalle barre trasversali, per sopportare il taglio di progetto V sd agente sulla trave. Tali resistenze ultime sono poste come differenti in quanto, la causa della rottura può avvenire sia per superamento del limite convenzionale di elasticità dell armatura trasversale, sia per schiacciamento del conglomerato d anima. Nota. Nel seguito, con f 1f si indicherà l area resistente al taglio di un solo ferro: per la singola staffa, f 1f diventa f 1s che è da intendersi pari a 2 volte l area del tondino utilizzato; mentre, per il singolo ferro piegato, f 1f diventa f 1p che, nel caso di un solo ferro alzato, è pari esattamente all area del singolo tondino utilizzato. In particolare, se si alza in una medesima sezione y una coppia di ferri, allora per f 1p si deve intendere il doppio dell area del tondino. Analogamente, se si alzano tre ferri alla volta nello stesso punto, f 1p è da intendersi pari a tre volte l area del singolo tondino, e così di seguito. Si è osservato dalle sperimentazioni che nella realtà intervengono altri meccanismi che contrastano l avvicinarsi alla rottura. Inoltre, si è anche notato che le compressioni effettive delle bielle risultano avere valori più elevati di quelli ricavati col traliccio isostatico ed è per tale motivo che le normative introducono un coefficiente correttivo (orientativamente: 0,9 = 0,60), basato su dati sperimentali. 544

7 ( z cotg + z cotg ) Considerando l espressione n f = e il termine correttivo prescritto dalle t norme, e ponendo z = 0,9 h, si arriva a definire un ulteriore forma per l equazione al limite di rottura della biella compressa di calcestruzzo: V Rc1d = 0, 9h f cd b m ( cotg + cotg )( sen ) 2 ; che, per bielle inclinate di = 45, nel caso di ferri piegati a 45 ( = 45 ) e per staffe ( = 90 ) assume, rispettivamente, le espressioni: ( piegati in presenza di soli piegati: V ) Rc1d = 0,9 f cd h b m ; (staffe) in presenza di sole staffe: V Rc1d = 0, 45 f cd h b m. ( piegati) < V Rc1d (staffe) Infine, si deve osservare che, risultando V Rc1d ed essendo sempre previste delle staffe in una struttura, nella verifica allo schiacciamento del calcestruzzo compresso, nelle bielle deve sempre essere verificata la relazione cautelativa: V Sd < V (staffe) Rc1d Trazione anticipata nelle armature longitudinali per effetto del taglio: traslazione del diagramma di calcolo del momento flettente Per affrontare agevolmente la trattazione della traslazione del diagramma dei momenti flettenti, è necessario, prima di tutto, ridurre in una sola forza equivalente l azione delle forze esterne (distribuite o concentrate, agenti su un troncone opportuno di trave) e della reazione sull appoggio. La figura 11.4 illustra un semplice esempio, senza entrare nel merito della dimostrazione. Risulta, infatti, facile dimostrare che è sempre possibile sostituire le forze esterne dei carichi e le relative reazioni vincolari tramite un unica forza equivalente (in questo caso, si sono considerate solo forze verticali); per cui il valore del taglio nominale sulla sezione generica ha valore coincidente con quello della forza equivalente stessa. Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\T risultante rea(fig 11_4).TIF Figura 11.4 Equivalenza della risultante dei carichi distribuiti e della reazione concentrata sull appoggio. Ciò posto, si consideri una trave caricata in qualsivoglia maniera (ad esempio, lo schema in figura 11.4). Si applichi quanto appena detto per individuare la retta d applicazione e l intensità V della forza equivalente ai carichi ed alle reazioni vincolari che precedono la sezione S in cui si individua il troncone dell elemento strutturale scelto. A questo punto, è 545

8 possibile individuare le forze agenti sul troncone dell elemento. Analizzando la figura 11.5 si può osservare quanto segue: la forza di compressione N c è nota solo in direzione e verso; altrettanto dicasi per la forza di trazione dei ferri tesi longitudinali N f (y) (nella sezione distante y dall appoggio) e per la risultante Z delle trazioni delle barre trasversali che attraversano la biella compressa. La retta di applicazione si considera parallela alla direzione dei ferri (tra loro paralleli) e con punto di applicazione nel baricentro della biella, ovvero ad un altezza di z/2 dal lembo compresso di calcestruzzo. La forza equivalente V è nota in direzione, verso ed intensità. Si può, dunque, osservare quanto segue: la risultante della coppia di forze Z e N c si trova ovviamente nel punto di incontro delle rispettive rette di azione (retta 1 e retta 2). Tale punto è individuato in figura dal punto a. Analogamente, la risultante della coppia di forze V ed N f (y) si trova nel punto di intersezione delle rispettive rette d azione. Tale punto è rappresentato in figura con il punto b. Si è così ridotto il sistema di forze agenti in 2 sole forze passanti rispettivamente per i due punti noti a e b. Le due forze si equilibrano lungo la stessa retta d azione che congiunge ovviamente i 2 punti noti a e b (retta 5). Tutto ciò è sintetizzabile mediante il quadrilatero di equilibrio dei vettori delle forze, essendo note le direzioni di alcune forze ed essendo nota in tutto la forza V. Definito il quadrilatero, risultano determinabili tutte le intensità e le rette di azione delle forze, in particolare quella della forza risultante Z. Dal triangolo delle sue componenti si ricava anche: ( Z ) = V ; Z v ( ) = V cotg. o Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Traliccio Taglio(fig 11_5).TIF Figura 11.5 Equilibrio di un tronco di un elemento strutturale sottoposto a sollecitazioni taglianti nei pressi dell appoggio. Sistema dei carichi agenti: riferimento a figura A questo punto, si può sostituire nel punto di applicazione della forza le sue due forze componenti: V e V cotg, ormai note in intensità e in direzione. Il troncone dell elemento risulta quindi sottoposto alle seguenti forze note sia in intensità che in direzione, con noti anche i punti di applicazione. Si calcoli, ora, l equilibrio dei momenti rispetto al polo individuato dal punto, intersezione delle rette 1 e 4. Le forze che contribuiscono al verificarsi di un momento non nullo sono le seguenti: Z 546

9 la forza ( Z ) = V cotg ; o la forza N f (y) di trazione delle barre longitudinali nella sezione distante y dall appoggio; la forza ( Z ) = V. v L equazione di equilibrio dei momenti, facendo riferimento alle dimensioni riportate in figura, evidenzia: N f (y) z + ( V cotg) z V = 0 ; 2 essendo: = y + z 2 cotg la distanza della retta d azione della forza equivalente V dal punto in cui è presente la reazione d appoggio, e da cui si contano le y. L equazione assume allora la forma: N f (y) z + ( V cotg) z 2 V + y + z 2 cotg = 0 ; per cui il valore della forza N f, nella sezione a distanza y dalla sezione dell appoggio, assume la forma: N f (y) = V z ( + y)+ z ( cotg cotg ) 2 ; N f (y) = V z ( + y )+ y { } avendo posto: y x ( cotg cotg 2 ). A questo punto, è interessante osservare che, ragionando nel modo usuale della Scienza delle Costruzioni (ovvero considerando la trave schematizzata non come una vera e propria struttura, ma schematizzabile tramite il solo suo asse), fatta una sezione trasversalmente all asse della trave ad una distanza y dall appoggio, il valore del momento delle forze agenti sulla trave a monte della sezione si calcola semplicemente come: M(y) = V ( y+ ); essendo y +, come subito si può controllare osservando la figura A questo punto, se si ragionasse direttamente sulla sezione verticale della trave, si potrebbe credere di valutare la forza N f (y) semplicemente considerando la sezione verticale dell elemento alla distanza y dall appoggio; quindi calcolare M(y) = V ( y+ ) (tramite i noti metodi di Scienza delle Costruzioni) e poi, tramite l equazione dei momenti per la sezione resistente, scegliere come polo il baricentro delle compressioni, per cui si arriverebbe alla nota equazione nel caso di flessione retta: M(y) = N f (y) z. Pertanto, con i soli metodi della Scienza delle Costruzioni, si arriverebbe a valutare la forza N f (y) in questi termini: N f (y) = M(y) z = V z ( y + ). 547

10 Si può a questo punto osservare quanto segue: con i metodi tradizionali della Scienza delle Costruzioni si calcolano i diagrammi delle sollecitazioni; per i quali, in particolare, vale l equazione qui sopra riportata dei momenti flettenti. Tale equazione fornisce, infatti, il legame M(y) = V ( y+ ). Si osserva immediatamente che, in virtù del suddetto legame, l espressione V ( y + + y) non è altro che il valore del momento flettente nel punto di ascissa y* = y + y. Per cui, si scriverà: M(y*) = M( y+ y)= V ( y + + y). A questo punto risulta chiaro che, per valutare correttamente il valore della forza N f (y) nella sezione distante y dall appoggio, se si volesse fare riferimento all elemento strutturale come schematizzabile al solo suo asse, si deve prima di tutto calcolare il diagramma M(y) rispetto all asse y. Successivamente, per il progetto dell elemento inteso come struttura tridimensionale di calcestruzzo e acciaio, è opportuno riferire ogni punto y (sull asse della trave) al valore del diagramma dei momenti flettenti, calcolato nel punto: y* = y + y. In altri termini, si deve traslare orizzontalmente il diagramma dei momenti flettenti della quantità y nel verso che dà luogo, nel fissato punto y, ad un aumento del valore assoluto del momento stesso. La figura figura 11.6 illustra quanto detto. Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Figura 11_6.tif Figura 11.6 Traslazione del diagramma dei momenti flettenti per elemento strutturale sottoposto a sollecitazioni flettenti e taglianti. Poiché, nella collocazione della risultante delle forze esercitate dalle armature trasversali si può commettere un errore pari al massimo a t/2, per coprire il caso più sfavorevole si deve assumere per y, calcolato precedentemente, il seguente valore: Z 548

11 y*= z ( cotg cotg 2 )+ t 2. È opportuno notare che un analogo discorso avviene per gli elementi strutturali incastrati ad un estremo e/o ad entrambi: il ragionamento si può estendere anche a questa tipologia di vincoli. Si deduce, allo stesso modo, che il diagramma dei momenti flettenti da utilizzare per l elemento, considerato come struttura tridimensionale, è quello M(y) traslato della quantità y* nel verso che dà luogo ad un aumento del valore assoluto del momento stesso. È importante notare che, secondo lo schema a traliccio, anche i ferri inferiori, disposti per reagire a flessione, sono impegnati dall azione tagliante, cosicché lo stato di sollecitazione di queste armature risulta essere maggiore di quello pronosticabile in base ad una verifica di sola pressoflessione Progetto dell armatura longitudinale in presenza di sollecitazioni taglianti Anziché utilizzare l ultima equazione vista nel paragrafo precedente, si può progettare l armatura longitudinale in maniera più semplice, assumendo per il momento flettente di progetto, nella sezione di ascissa y, il valore maggiorato: M * Sd (y) = M Sd (y) + V Sd (y) y * ; essendo V Sd (y) il taglio di progetto nella sezione y. Agli estremi, nel caso semplice di elemento strutturale appoggiato sarà, come noto, V Sd = max { V Sd (y)}. La dimostrazione dell equazione sopra riportata si ricava immediatamente ricordando l espressione delle funzioni M(y) e V(y), calcolate rispetto all asse y, che parte dall appoggio verso la mezzeria della trave. Risulta, infatti per il momento e per il taglio, rispettivamente: M Sd (y) = V Sd y py2 2 ; V Sd (y) = V Sd p y ; essendo, ad esempio, p il carico ultimo distribuito uniformemente sull elemento. Nel progetto delle armature, essendo necessaria la traslazione del diagramma dei momenti flettenti, si è visto che bisogna fare riferimento alla funzione M( y+ y), che corrisponderà al valore reale del momento flettente agente e sollecitante la sezione y. Basta a questo punto sostituire alla variabile y la nuova variabile y + y e svolgere la funzione del momento flettente. Risulta quindi: p y + y M Sd ( y + y)= V Sd ( y + y) ( )2. 2 Svolgendo i calcoli si arriva alla relazione: ( ) 2 M Sd ( y + y)= M Sd (y) + V Sd (y) y * p y*. 2 Tralasciando l ultimo termine, perché relativamente piccolo rispetto agli altri e perché tende a diminuire il valore del momento di progetto, si arriva alla seguente equazione: M * Sd (y) M Sd (y)+ V Sd (y)y *. È importante notare che i diagrammi dei momenti flettenti devono riferirsi ai valori dei momenti flettenti di progetto. Sempre in questa ottica devono, quindi, intendersi tutti i ragionamenti fatti nei paragrafi precedenti nei quali, per semplicità di scrittura, si è sempre posto direttamente M anziché M Sd Meccanismi di resistenza al taglio in assenza di apposite armature: funzionamento a pettine In presenza di fessurazione dovuta a momento flettente, l elemento strutturale reagisce secondo uno schema di resistenza detto a pettine, il quale prescinde dalla presenza delle armature trasversali. La sperimentazione mostra che i denti generati da lesioni consecutive risultano inclinati di circa 45, mentre nelle zone con taglio esiguo sono praticamente verticali (preponderanza della flessione sul taglio). 549

12 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Modello pettine (fig 11_7).TIF Figura 11.7 Schema di resistenza a pettine in un elemento strutturale non armato al taglio. Evidenziato il singolo dente creato da due lesioni consecutive nel conglomerato, inclinate di 45. Le indagini sperimentali hanno dimostrato, inoltre, che la dimensione assume il valore 1,25( h x) h, visto che x vale circa (0,2 0,3)h. Le forze che agiscono sul singolo dente sono schematizzate in figura Se si calcola l equazione di equilibrio dei momenti rispetto al polo si arriva alla semplice relazione: V S z = 0 ; avendo indicato con S lo sforzo di scorrimento per taglio che viene valutato: S = V. z A questo punto, si consideri la sezione di incastro del dente, schematizzata nella sezione AB in figura. Questa può essere considerata una sezione critica, in quanto è schematizzabile ad una mensola incastrata nella sezione AB; in cui, in vicinanza del punto A, devono nascere delle trazioni nel calcestruzzo per permettere l equilibrio del dente. L incastro in AB riceve dal dente le seguenti sollecitazioni: M 0 = S z 0 ; N 0 = S cos45 =S 2 ; V 0 = S sen45 =S 2. Il dente offre la possibilità di trasmissione dello sforzo di scorrimento dall armatura tesa al corrente compresso e nella sezione AB, di dimensione A AB = b m 2 (dove b m è la dimensione lungo la direzione perpendicolare al foglio), la trazione massima nel lembo a sinistra (estremo nel punto A, dove c è il massimo della trazione) si calcola mediante la nota equazione: (A) = N 0 + M 0 A AB J y A ; in cui (considerate positive le trazioni): M 0 contribuisce alla trazione in A; N 0 contribuisce alla compressione in A. Quindi, nel punto A risulta y A = AB 2 ; inoltre il momento d inerzia della sezione AB rettangolare si calcola, come noto: ( ) 3 b m J = AB 12 dove AB = (A) = b m ; N 0 2. Sostituendo i valori si ottiene subito: 2 + S z 12 0 ; b m 2 550

13 sostituendo i valori N 0 e M 0, trovati in funzione della forza di scorrimento S, si arriva all equazione: (A) = N 0 b m + S z 0 12 b m 2. A questo punto, ipotizzando nella struttura la presenza di un armatura ad aderenza migliorata con buona diffusione e con elevata percentuale (e quindi ipotizzando la presenza di una microfessurazione diffusa), è ragionevole arrotondare la resistenza a trazione per flessione a circa 1,5 volte il valore della resistenza di progetto a trazione semplice f ctd. Pertando, nel caso di incipiente collasso, si può sostituire a (A) il valore 1,5f ctd e al valore della forza di scorrimento S il suo valore ultimo S ultimo posto uguale a: (1) S ultimo = V Rcd. z Sostituendo i valori, risulta: 1,5 f ctd = V ( 1) Rcd b m z + V (1) z Rcd b m z Inoltre, dalle sperimentazioni si può porre, con buona approssimazione: z = 0, 9 h ; x = 0, 2 h ; = h ; z 0 = h x 0, 25. Di conseguenza, la resistenza al taglio offerta dal solo conglomerato per un meccanismo schematizzabile come essenzialmente a pettine (prescindendo calcestruzzo dalle armature trasversali), risulta: = 0,24b m h f ctd. (1) V Rcd Si è anche dimostrato, dalle prove sperimentali, che l efficienza del meccanismo a pettine risulta sensibilmente migliorata, oltre che da eventuali componenti di compressione assiale, anche dal contributo offerto dal cosiddetto effetto spinotto e dall ingranamento degli inerti L influenza del contributo della compressione assiale alla resistenza al taglio in assenza di apposite armature Nel caso sia presente anche una forza assiale N Sd, la distanza dell asse neutro dal bordo compresso aumenta e le fessure si insinuano per un altezza minore. Nel funzionamento a pettine questo fenomeno ha l effetto di produrre dei denti robusti; quindi, il contributo alla resistenza al taglio tende ad incrementarsi. Infatti, la Normativa Italiana (D.M ) aveva introdotto un moltiplicatore, funzione dello sforzo di compressione, da porre pari ad 1 in assenza di compressione (vedere definizione di al paragrafo ). Per tale motivo, la presenza di una forza assiale modifica l equazione della resistenza al taglio vista nel paragrafo precedente in: (1) V Rcd = 0,24b m h f ctd Effetto spinotto in elementi strutturali privi di apposite armature al taglio Le difficoltà nel valutare con precisione il contributo al taglio offerto dall armatura longitudinale tesa sono notevoli, soprattutto perché esso risulta intimamente legato a diversi parametri (tra cui, il diametro delle barre, la loro disposizione e la situazione locale del calcestruzzo). Si ricorre, quindi, ad una valutazione empirica, suffragata da concreti risultati sperimentali. Indagini sperimentali hanno, infatti, evidenziato che la flessione dell asse della trave e lo sviluppo di lesioni in seno alla stessa tendono a deformare le barre longitudinali tese in prossimità delle lesioni come indicato nella figura

14 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Meccanisspinotto(fig 11_8).TIF Figura 11.8 Deformazione delle armature longitudinali tese a causa dell effetto spinotto, in prossimità di una lesione per taglio, quando si è in incipiente rottura. Le barre subiscono un momento risultante (momento spinotto) a causa delle forze trasmesse dal calcestruzzo che avvolge e circonda i ferri longitudinali. Osservando in figura la deformazione assunta delle barre a rottura, si può dedurre che il calcestruzzo a contatto con i ferri longitudinali applica a questi ultimi una coppia con momento di verso orario. Come conseguenza, per reazione, i ferri longitudinali scaricano un momento, uguale e contrario nel verso, al calcestruzzo con cui sono in contatto. Sperimentalmente, si è visto che l intensità del momento flettente risulta proporzionale al diametro delle barre e che la rigidezza flessionale di queste tende a distribuire le sollecitazioni di contatto con il calcestruzzo per un tratto 5. Quindi, con buona approssimazione, il braccio della coppia suddetta assume il valore 5. Se n è il numero delle barre longitudinali e f ctd è la resistenza ultima a trazione per il calcestruzzo a contatto con le barre, si può concludere che il valore massimo del momento (momento spinotto, appunto) applicabile dalle barre al calcestruzzo a contatto con esse deve assumere il valore: M spinotto = 5 n f ctd ( )= 5 n 2 f ctd ; 552

15 Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 11)\Effetto spinotto2(fig 11_9).TIF Figura 11.9 Meccanismo di resistenza del conglomerato al taglio per solo effetto spinotto. Meccanismo che può innescarsi nel funzionamento a pettine. in cui si è tenuto, appunto, in considerazione la proporzionalità di M spinotto con e del valore del braccio della coppia, valutato come 5. Considerando l area totale F f delle sezioni trasversali delle barre, tale valore del momento spinotto può porsi nella forma: M spinotto = 6, 4 F f f ctd. In questo caso, il procedimento del calcolo dell equazione di equilibrio del dente è simile al caso del comportamento a pettine, enunciato in precedenza. Qui, però, è presente un contributo in più dato dal momento spinotto. Infatti, se si calcola il momento equivalente, agente nella sezione di incastro del dente, si trova: M 0 = S z 0 M spinotto. Procedendo come nel caso del meccanismo di resistenza a pettine, si scrive l equazione per il calcolo della massima trazione nel punto A dell incastro del dente; nel caso di contributo ulteriore per effetto spinotto. Intanto, si può osservare che l effetto spinotto tende ad alleviare l intensità del momento all incastro: sulla sezione AB si esplica un contributo che tende a diminuire l effetto del momento imputato allo sforzo di taglio: S z 0. Ciò invece è assente nel meccanismo di resistenza a semplice pettine, analizzato nel dettaglio in precedenza. Il calcolo della massima trazione sopportabile nel punto A della sezione AB di incastro del dente porge, nel caso di presenza del meccanismo spinotto: (A) = S b m + S z M 0 spinotto. b m 2 12 Poiché risulta sempre S = ( V ) z, procedendo analogamente a quanto fatto in precedenza, si ha a rottura: 1,5 f ctd = V (2) z Rcd 0 6, 4 z F f f ctd V (2 ) Rcd ; z b m 12 z b m da cui, semplificando e sostituendo i valori, si arriva a porre questa equazione in una forma analoga a quella che era stata ricavata relativamente al funzionamento in assenza di effetto spinotto. Si arriva, dunque, all equazione: (2 V ) Rcd = 0,24 b m h f ctd ( μ f ); dove, come noto, la percentuale di armatura tesa è stata indicata come: μ f = F f b h. 553

16 Si deduce, quindi, che la quantità (1+ 51μ f ), normalmente inferiore a 2, è il contributo dell effetto spinotto dato dall armatura longitudinale tesa (assunta in forma lievemente diversa dalle normative) Effetto ingranamento degli inerti in elementi strutturali privi di armature al taglio Questo modello parte dalla considerazione che le superfici separate dalle fessure tendono a scorrere le une sulle altre per effetto delle sollecitazioni di taglio e flessione sulla trave. Di conseguenza, si può supporre che si inneschino forze di attrito tra le parti di trave a contatto nelle zone dove si aprono le fessure. Queste forze di contatto risultano delle forze di tipo attritivo più o meno esaltate dalla scabrezza delle superfici; queste ultime, a loro volta, risultano legate al tipo di inerte e di lavorazione del calcestruzzo. Si ipotizza, dunque, che nel funzionamento a pettine si possano estrinsecare delle forze agenti sui lati del dente (come illustrato nella figura 11.10), indicate con i simboli R t e R n. Dunque, per la presenza della forza normale R n viene così generata una forza di attrito tangenziale R t = μ attrito R n, avendo qui indicato con μ attrito il coefficiente di attrito tra gli inerti a contatto tra le due superfici create dalla lesione. Se si esprime la risultante delle forze R t e R n in termini delle due componenti N e V, rispettivamente orizzontale e verticale, agenti sul lato del dente, si ottiene: ( ) N = R n + R t 2 ( ) ( = μ attrito + 1) R n ; V = R t R n 2 2 ( = μ 1) R attrito n 2 ( = μ 1 attrito ) N. μ attrito + 1 ( ) Queste due forze tendono a stabilizzare il dente, incastrato nella sezione AB. Con lo stesso ragionamento utilizzato per gli altri meccanismi resistenti sul dente, si calcola di nuovo la tensione massima di trazione nel punto A, considerando il caso di incipiente rottura per raggiungimento della tensione massima di trazione per flessione. Senza ripetere i calcoli già visti precedentemente, si dimostra che, prescindendo dalle armature trasversali (a parte eventuali compressioni assiali che aiutano la resistenza), risulta valida la relazione: ( V 3) Rcd = 0, 24b m h k f ctd ; in cui il parametro k risulta definito da: k = 1,6 h ; con h espressa in metri. Inserire figura: ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap11)\Ingranaminerti(fig 11_10).TIF Figura Meccanismo di resistenza al taglio per effetto ingranamento degli inerti, in un elemento strutturale senza apposite armature al taglio. Meccanismo che può estrinsecarsi nel funzionamento a pettine. 554

17 11.10 Schematizzazione matematica della contemporaneità dei vari meccanismi di resistenza al taglio in assenza di apposita armatura Dall esame delle varie teorie è emerso che un elemento strutturale di calcestruzzo armato, sottoposto a flessione e taglio, è schematizzabile a rottura come una vera e propria struttura tridimensionale, in cui acciaio e calcestruzzo si cimentano assieme per sopportare e sostenere i carichi esterni. Le varie teorie e schematizzazioni finora elencate hanno condotto a formule pratiche per il dimensionamento e la verifica degli elementi resistenti nella struttura: ferri in trazione e parti di calcestruzzo in compressione. Si possono, dunque, riassumere i risultati ottenuti indicando le formule relative all acciaio ed al calcestruzzo: Calcestruzzo compresso: tutte le formule relative ai diversi meccanismi aggiuntivi di resistenza del solo calcestruzzo, a prescindere dalle armature, possono essere sintetizzate e racchiuse nella seguente formula generalizzata: (i) V Rcd = 0,24 i h f ctd b m ; dove i indica un dato coefficiente numerico. Comportamento ad arco (i = 0). (Paragrafo 11.2) Comportamento a pettine semplice (i = 1). (Paragrafo 11.6) Comportamento a pettine + sollecitazione assiale N Sd (i = 1). (Paragrafo 11.7) Comportamento a pettine + effetto spinotto (i = 2). (Paragrafo 11.8) 0 0, 24 = 0, 28 0, 42 1 = 1 1 = 2 = μ f Comportamento a pettine + effetto ingranamento inerti (i = 3). (Paragrafo 11.9) ( ) 3 = k è definito dalle Normative a seconda del tipo di sollecitazione assiale; k = 1,6 h; con h espresso in metri. Tabella 11.1 Valori da assumere per il coefficiente i, a seconda del meccanismo resistente considerato. Acciaio: le formule relative alla resistenza ultima delle armature fanno riferimento all equazione: f yd f 1f n f sen = V Rfd ; con n ( f espresso tramite la relazione: z cotg + z cotg ) n f =. t Le due equazioni, relative ai ferri trasversali reagenti al taglio, si possono sintetizzare nella relazione seguente: V Rfd = f 1f z ( cotg + cotg ) f yd sen t dove, f 1f è l area resistente del singolo ferro: o nel caso delle staffe, f 1f diventa f 1s che è da intendersi pari a 2 volte l area del tondino utilizzato; o nel caso dei semplici ferri piegati, f 1f diventa f 1p che, nel caso di 1 solo ferro alzato, è pari proprio all area del tondino utilizzato. Se, invece, si alza in una medesima sezione y una coppia di ferri, allora per f 1p si deve intendere il doppio dell area del tondino. Analogamente, se si alzano tre ferri alla volta nello stesso punto: f 1p è da intendersi pari a tre volte l area del singolo tondino e via di seguito. È ovvio riconoscere che il rapporto f 1f t è l area resistente del singolo ferro per unità di lunghezza misurata lungo l asse dell elemento strutturale. L equazione qui sopra riportata, se si fissa = 45, assume aspetti differenti, rispettivamente, nel caso di sole staffe e soli ferri piegati: staffe: =

18 V Rsd = f 1s 0, 9 h f yd ; t s dove t s è l interasse tra una staffa e la successiva; ferri piegati: 30 < 90 V Rpd = f 1p t p 0, 9h ( 1 + cotg) f yd sen ; dove per t p è da considerarsi l interasse tra le sezioni di due ferri piegati consecutivi. La sezione è da intendersi effettuata con un piano orizzontale che sezioni l elemento strutturale in senso longitudinale. (Vedere, a tal proposito, la figura 11.2 dove l interasse suddetto è stato indicato semplicemente con il simbolo t) Verifica al taglio di un elemento strutturale in calcestruzzo armato secondo la Normativa Italiana (1) Generalità Le formule di calcolo attualmente proposte dalle normative derivano dall ipotesi di comportamento a traliccio dell elemento strutturale; sono compatibili quindi tutti i modelli e le ipotesi riportate all interno del paragrafo Quindi, si possono sintetizzare tutti i concetti riportati affermando che la resistenza ultima al taglio della struttura sottoposta a flessione e taglio è data della resistenza ultima V Rfd estrinsecata dalle armature (piegati, staffe (i) e ferri longitudinali) e dalla somma delle singole resistenze V Rcd di tutti quei meccanismi estrinsecabili dal calcestruzzo, a prescindere dalla presenza di armature al taglio. Dunque, per esplicitare la resistenza ultima messa in campo dall elemento strutturale, si può scrivere: V Rd = V Rfd + V Rcd ; in cui i termini presenti hanno il seguente significato: V Rfd è il massimo taglio portato dalle armature trasversali (ferri piegati e/o staffe); V Rcd è il massimo valore del taglio portato dal calcestruzzo (a prescindere dalla presenza o meno delle armature trasversali), in virtù dei vari meccanismi descritti nei paragrafi precedenti. Quindi, tale valore si calcola come somma dei singoli contributi (vedere anche tab. 11.1): V Rcd = (i ) V i. Rcd In realtà, però, l effetto dei vari termini non è semplicemente sommabile, perché esso è fortemente influenzato da numerosi fattori (tipo di carico, forma della sezione, ecc.) che condizionano la resistenza a flessione e taglio. Inoltre, a seconda del tipo di fessurazione e del meccanismo di rottura che si instaura come predominante nella trave, alcuni termini tendono ad essere irrilevanti. A questo punto, è necessario fare attenzione al fatto che, analizzando la (i) forma con cui è stata concepita V Rcd = 0,24 i h f ctd b m, si nota che è possibile scrivere: V Rcd = (i) T i = h f Rcd ctd b m ; avendo in precedenza concepito l equazione in maniera tale che la somma dei singoli effetti resistenti può essere considerata moltiplicando i vari fattori i ; risulta: = i. i Pertanto, se è presente un meccanismo di resistenza a pettine ( 1 ) in cui si ipotizza anche la presenza di un azione assiale N Sd ( 1 ), di un effetto spinotto ( 2 ) e di un effetto per ingranamento di inerti ( 3 ), allora il taglio ultimo estrinsecabile dal solo conglomerato, a prescindere dalla presenza o meno dei ferri trasversali, risulta esprimibile dalla relazione: 1 Nel presentare le principali prescrizioni della Normativa Italiana sulla flessione e taglio, si è voluto tenere anche conto di tutte quelle utili indicazioni riportate dal D.M. 9 gennaio 1996; lasciando eventualmente libertà al Progettista di rifarsi integralmente alle indicazioni maggiormente dettagliate contenute nelleurocodice

19 V Rcd = 0,24 1 ( μ f )k h f ctd b m ; dove il termine tra parentesi quadre non è altro che l equazione sopra riportata, in cui i vari termini i sono quelli considerati nella tab In conclusione, il massimo valore del taglio di progetto sopportabile dal conglomerato (sempre a prescindere dai ferri trasversali al taglio), risulta esprimibile nella forma generale che tiene conto di tutti i contributi resistenti possibili: V Rcd = 0,24h f ctd b m = 0, 24 i h f ctd b m ; i con l accortezza di porre uguale all unità il parametro i, nell eventualità che il meccanismo i esimo non contribuisca alla resistenza al taglio Metodi di calcolo e formule fondamentali da impiegare per il progetto e la verifica Come già accennato, la Normativa Italiana (D.M ) ha cominciato con l adottare il traliccio di Ritter Mörsh classico, che prevede armature trasversali ed assume come angolo medio di inclinazione delle bielle convenzionali di calcestruzzo il valore = 45 ; ma considera i contributi aggiuntivi offerti dal calcestruzzo, non contemplati dall ipotesi di Ritter Mörsh. La Normativa (D.M ), con l ipotesi di bielle di calcestruzzo compresse inclinate di = 45, impone specifiche armature al taglio, e prescrive: la verifica allo schiacciamento del calcestruzzo della biella compressa per collasso con rottura fragile, mediante la verifica cautelativa: V Sd < V (staffe) Rcld ; (staffe) in cui è: V Rcld = 0, 45 f cd h b m, con 0, 9 = 0, 60. Pertanto la verifica risulta nella forma: V Sd < 0, 30 f cd h b m ; la verifica della resistenza totale al taglio dell intero elemento strutturale (insieme di calcestruzzo + acciaio): V Sd V Rd = V Rfd + V Rcd dove, il taglio ultimo portato dalle barre trasversali è pari a: o V Rfd = V Rsd supponendo la presenza di sole staffe: o V Rsd = f 1s t s 0, 9 h f yd ; V Rfd = V Rpd supponendo la presenza di soli ferri piegati: V Rpd = f 1p t p 0, 9h ( 1 + cotg) f yd sen. avendo indicato con l angolo di inclinazione delle armature al taglio rispetto all asse longitudinale dell elemento strutturale (0 < 90 ). Inoltre, la resistenza di calcolo dell armatura d anima deve risultare tale che: V rf 0,30 f cd h b m avendo limitato, come da normativa, a 0, 8 f yd la tensione ultima nelle barre rialzate resistenti al taglio. NOTA. Se in una medesima sezione y della trave si alza una coppia di ferri, allora per f 1p si deve intendere il doppio dell area del tondino. Analogamente, se si alzano tre ferri alla volta nello stesso punto: f 1p è da intendersi pari a tre volte l area del singolo tondino, e così di seguito. Questo, ovviamente, perché maggiore è il numero dei ferri in un punto y, maggiore è l area resistente dei ferri per assorbire il taglio. 557

20 Nel caso di contemporanea presenza di staffe verticali e barre inclinate di, si assume valida l ipotesi di sovrapposizione (somma) degli effetti delle singole resistenze: V Rfd = V Rsd + V Rpd. In particolare, il taglio ultimo portato dal conglomerato può essere assunto pari a: V Rcd = 0,60 h f ctd b m. Per quanto riguarda il coefficiente, si può dire che esso tiene conto della presenza di una sollecitazione normale N Sd, ed assume questi particolari valori: = 1 in assenza di sollecitazione normale o se, in presenza di sollecitazione normale di trazione, l asse neutro taglia la sezione; = 0 se, in presenza di una sollecitazione normale di trazione, l asse neutro risulta esterno alla sezione (sezione interamente tesa); = 1 + M dec M Sd in presenza di sollecitazione normale di compressione (o di precompressione) con M dec momento di decompressione a livello della fibra meno compressa (pari al valore della sollecitazione flettente che, assieme alla sollecitazione ultima assiale N Sd, porta l asse neutro sul lembo estremo inferiore della sezione di conglomerato) ed M Sd momento flettente massimo agente nella sezione in cui si effettua la verifica al taglio. Il valore di M Sd, se risulta minore di M dec, va considerato nella formula pari ad M dec stesso. la verifica dell armatura longitudinale tramite la traslazione del diagramma dei momenti flettenti della quantità: y z ( cotg cotg 2 ), nella direzione in cui dà luogo, nel fissato punto y, ad un aumento del valore assoluto del momento stesso (vedere paragrafo 11.4) Elementi strutturali privi di armature al taglio Rientrano in questa categoria le solette, le piastre, i solai e tutti quegli elementi che abbiano sufficiente capacità di ripartire i carichi trasversalmente all asse dell elemento, e che non siano soggetti a sensibili sforzi normali di compressione; ossia quegli elementi in cui la resistenza dell elemento fessurato allo sforzo di taglio deriva dall instaurarsi di un funzionamento ad arco-tirante e dalla resistenza dei denti di calcestruzzo compresi tra due lesioni successive. La verifica si esegue, quindi, per il solo calcestruzzo. Il taglio resistente può essere stimato mediante la relazione: V Rcd = 0,25 f ctd k b m h ( μ f ) ; dove: k = [ 1,6 h[m] ] 1 ; μ f = F f 0,02 ; b m h con F f area dell armatura tesa ancorata oltre l intersezione dell asse dell armatura con un eventuale fessura a 45 che si inneschi nella sezione considerata Armatura longitudinale prossima agli appoggi in presenza di sollecitazioni taglianti Nel paragrafo 11.4 si è ricavato il valore dello sforzo nell armatura longitudinale in corrispondenza di una sua sezione fessurata. Il considerare l elemento strutturale come una vera e propria struttura tridimensionale ha portato alla relazione: N f (y) = V z ( + y)+ z ( cotg cotg )