Premessa 1. Notazione e simbologia Notazione matriciale Notazione tensoriale Operazioni tensoriali in notazione matriciale 7

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1 Premessa 1 Notazione e simbologia Notazione matriciale Notazione tensoriale Operazioni tensoriali in notazione matriciale 7 Capitolo 7 La teoria delle travi Le teorie strutturali Cinematica e statica della trave piana (rettilinea) Premessa Modello cinematico Definizione delle variabili statiche corrispondenti Le condizioni di equilibrio Considerazioni e commenti II comportamento elastico II legame elastico-lineare e isotropo per la trave Formulazione del problema elastico L'equazione della linea elastica Le equazioni di Muller-Breslau Aspetti energetici del comportamento 42

2 Energie potenziale e complementare Stazionariet dell'energia Complementare Totale II teorema di Castigliano Considerazioni sul modello di trave II limite elastico La trave elasto-plastica Flessione retta La sezione rettangolare Tensioni residue allo scarico Sezioni semplicemente simmetriche e sollecitazioni composte Un esempio di calcolo Aste presso-inflesse Necessit di rimuovere l'ipotesi di piccoli spostamenti L'equilibrio della trave nella sua configurazione deformata La trave elastica Formulazione generale Travi assialmente isostatiche 69

3 La trave di Timoshenko L'equazione della linea elastica per travi presso-inflesse Considerazioni sul comportamento di travi presso -in flesse 78 Esercizi 80 Bibliografia 84 Capitolo 8 Profili in parete sottile Limiti del principio di equivalenza elastica Torsione elastica di profili aperti in parete sottile Torsione non uniforme La sezione a Rigidit torsionali di profili aperti L'equazione della torsione Esempi di soluzione Integrazione dell'equazione della torsione La mensola sollecitata all'estremo libero La trave soggetta a m. costante La teoria delle aree settoriali Relazioni cinematiche e statiche II modello cinematico 108

4 Definizione delle variabili statiche associate Le condizioni di equilibrio II comportamento elastico ll II contributo della torsione primaria Un esempio - La trave a C soggetta al proprio peso Comportamento deformativo II regime tensionale Considerazioni operative Considerazioni conclusive Sezioni compatte e profili chiusi Applicazioni in campo inelastico 140 Esercizi 143 Bibliografia 145 Capitolo 9 Le piastre inflesse Capitolo 9 Le piastre inflesse Le lastre piane Modello cinematico Forze e sforzi generalizzati Le condizioni di equilibrio Considerazioni generali La lastra caricata nel suo piano II problema flessionale Piastre assialsimmetriche La piastra di Kirchhoff Formulazione del modello flessionale La piastra rettangolare La piastra assialsimmetrica La piastra elastica II legame elastico 175

5 Formulazione La piastra omogenea e isotropa La piastra sandwich II problema elastico per la piastra di Kirchhoff L'equazione di Sophie Germain-Lagrange La piastra assialsimmetrica Alcuni esempi di soluzione Piastra circolare assialsimmetrica Le soluzioni classiche per la piastra di Kirchhoff Piastra rettangolare appoggiata sotto carico sinusoidale La soluzione di Navier per la piastra rettangolare appoggiata La soluzione di L vy per la piastra appoggiata su due lati opposti Limiti dell'ipotesi di piccoli spostamenti La formulazione di Von Kßrmßn per la piastra inflessa in presenza di spostamenti moderatamente grandi Ipotesi cinematiche Le condizioni di equilibrio La piastra elastica, omogenea e isotropa a spessore costante 211

6 9.5.4 Influenza di azioni membranali costanti per spostamenti piccoli nei confronti dello spessore 212 Esercizi 215 Bibliografia 217 Capitolo 10 II metodo di Rayleigh-Ritz per strutture elastiche Stazionariet dell'energia potenziale totale II metodo di Rayleigh-Ritz Formulazione Cenni sui criteri di convergenza Applicazioni a problemi specifici La formulazione puramente flessionale per la trave Soluzione di travi appoggiate mediante serie trigonometriche Altre condizioni di vincolo La trave di Timoshenko Torsione di profili aperti in parete sottile Piastre inflesse La piastra di Kirchhoff Piastre vincolate da travi di bordo Considerazioni conclusive 267 Esercizi 269 Bibliografia 275 Capitolo metodo degli elementi finiti: approccio agli spostamenti 277 l l. l Aspetti generali 277 l l. l. l Introduzione Analisi matriciale di strutture reticolari Le successive fasi dell'approccio agli spostamenti L'approccio agli spostamenti modello cinematico Forze nodali Cambiamento di riferimento Assemblaggio Analisi elastica Propriet elastiche di un elemento finito Assemblaggio e soluzione 314

7 Formulazione energetica del problema elastico Elementi di ordine elevato e isoparametrici Condizioni di convergenza Coordinate intrinseche Definizione Funzioni di forma Elementi isoparametrici Integrazione numerica Considerazioni generali sul procedimento Cenni sulle modalit operative Nonlinearit del materiale Metodi risolutivi per problemi nonlineari II metodo di Newton-Raphson Applicazioni strutturali II comportamento elastico nonlineare I metodi delle deformazioni e degli sforzi iniziali II comportamento elasto-plastico Legame incrementale Soluzione per elementi finiti 362 Esercizi 366 Bibliografia 371 Capitolo 12 II metodo degli elementi finiti: sviluppi ulteriori Limitazioni dell'approccio agli spostamenti Introduzione Problemi "vincolati" Effetti della distorsione geometrica Fenomeni di "locking" La formulazione "naturale" dell'approccio agli spostamenti Sforzi e deformazioni generalizzati Moti rigidi e modi deformativi Sforzi generalizzati Relazioni con le variabili nodali II comportamento elastico Integrazione numerica Considerazioni preliminari Integrazione completa, ridotta e selettiva Ricostruzione degli sforzi locali Considerazioni conclusive Metodi misti 408

8 Approccio basato sul teorema di Hellinger-Reissner Formulazione Modalit operative Connessioni con l'approccio agli spostamenti Teorema di limitazione e condizione di rango Ulteriori approcci misti Cenni a modelli equilibrati e ibridi Formulazione in termini di funzione di sforzo Modellazione diretta degli sforzi Considerazioni conclusive 431 Esercizi 433 Bibliografia 434 Appendice A Soluzioni degli esercizi proposti 437 Indice analitico 459 Fine