Ingredienti da utilizzare: equilibrio legge di comportamento elastico delle barre congruenza (compatibilita delle deformazioni delle aste)

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1 Introduzione alla deformailità strutturale con riferimento a sistemi che contengano arre elastiche (sistemi corpo rigido + arre elastiche o strutture reticolari). Ingredienti da utilizzare: equilirio legge di comportamento elastico delle arre congruenza (compatiilita delle deformazioni delle aste) struttura isostatica rocedimenti risolutivi per strutt. iperstatiche: metodo delle forze metodo degli spostamenti corpo rigido strutture -volta iperstatiche G.ovati (DIS-oliMI) Strutture reticolari

2 Diagramma σ ε per materiale duttile (acciaio dolce) da prova monoassiale, con σ / e ε / ( ase di misura; area sez. indeformata) σ u σ E 0000 /mm 0 Ga σ Ma σ u Ma ε % σ 0 Ε t ε % 0 - ε 0 Ε ε u 0 % 00 ε 0 E t E / 000 ε0 ε diagramma qualitativo (non in scala) εu ε G.ovati (DIS-oliMI) Strutture reticolari

3 roprietà meccaniche di alcuni materiali E modulo di elasticità, ν rapporto di oisson (coeff. di contrazione trasversale), α coeff. di dilatazione termica, σ 0 tens. di snervamento uniassiale (per materiali duttili, simmetrici), σ u tens. di rottura a trazione e compressione. Materiale densità [kg / m ] E [ Ga ] ν α 0 6 [ - ] σ 0 [Ma] σ u (traz.) [Ma] σ u (comp.) [Ma] cciaio strutturale simm. Leghe di alluminio (*) simm Rame simm. Ghisa alcestruzzo Granito (**) (*) variailità dipendente dalla composizione della lega (**) valori medi G.ovati (DIS-oliMI) Strutture reticolari

4 Legge di comportamento elastico di una arra caricata assialmente k variaz. di lunghezza o elongazione rigidezza assiale azione assiale arra indeformata > 0 se trazione > 0 se allungamento k β k tanβ E Risulta: k con E modulo di elasticita area sez. trasversale iniziale lunghezza iniziale + σ σ E ε deformazione assiale: sforzo assiale: ε σ legge elastica del materiale: arra deformata (allungamento e contrazione trasversale) σ E ε (regime monoassiale) θ E tanθ ε σ > 0 se trazione ε > 0 se allungamento G.ovati (DIS-oliMI) Strutture reticolari 4

5 Lastra tesa (materiale elastico lineare, omogeneo e isotropo) plane stress (spessore unitario) 0 p 00 0 p 50 E /mm ν 0. p 00 /mm Sforzo normale longitudinale σxx ( σ ) 00x 0 /50 40 / mm Distriuzione dello sforzo valutata mediante analisi per E [nsys, elementi quadratici a 8 nodi (LE 8), mesh 40 x 0 (elementi tutti uguali), trazione costante applicata sulle facce di 4 elementi adiacenti] xx medio E D ( σ ).057 / mm xx min ( σ ).9 / mm xx max D E G.ovati (DIS-oliMI) Strutture reticolari 5

6 rolema uniassiale iperstatico a a a Determinare il valore dello sforzo normale nel tratto. arra di materiale elastico e omogeneo composta da porzioni cilindriche (a sezione circolare); d i diametro tratto i-esimo (i,,); d d 40 mm ; d 80 mm ; Le forze assiali e sono applicate alle sezioni di estremità del tratto ; 0 k. a 00 mm lunghezza tratto e tratto ; a 400 mm lunghezza tratto ; Risoluzione con metodo delle forze Si elimina (temporaneamente) il vincolo all estremità di destra (rendendo cosi isostatica la struttura); la corrispondente reazione vincolare viene assunta come incognita iperstatica. a a a Legge elastica per i tratti : a e [conv.: elongazione e i > 0 se allung.] k E a e k a e E k E (a,,c) L imposizione dell equilirio (in orizzontale) per opportune porzioni di struttura consente il calcolo della azione assiale nei tratti: + [ convenzione: i > 0 se trazione ] [ E modulo di elasticità; i area sez. trasversale ] La (), riscritta in funzione dell incognita iperstatica, consente di determinare ongruenza (si reintroduce il vincolo precedentemente il valore della che caratterizza la soluzione. rimosso e si esprime la compatiilità delle elongazioni) : e + e + e 0 () (a,,c) G.ovati (DIS-oliMI) Strutture reticolari 6

7 Utilizzando le equazioni () e (), si riscrive l equazione di congruenza () in funzione dell incognita iperstatica : a a a ( + ) + ( ) + 0 d d d Eπ Eπ Eπ Tenendo conto che d d e che d d, la precedente equazione diventa: 4( + ) + ( ) Risulta quindi: 5 G.ovati (DIS-oliMI) Strutture reticolari 7

8 Sistema corpo rigido + arre elastiche (-volta iperstatico) E k i rigidezza assiale asta i-esima ( ) Dati: k k k k k i Risoluzione con metodo degli spostamenti (v e l incognita primaria) a a i elongazione asta i-esima i azione assiale asta i-esima ( > 0 se allungamento) ( > 0 se trazione) Sistema struttura + carico simmetrico! v Equilirio: + (una sola equaz. di equilirio significativa) Legge elastica per le arre: Riscrittura equaz. equilirio in termini dello spost. v : kv + kv k k (k) ongruenza: (coerenza tra allungamenti aste e spost. corpo rigido) v Spostamento in soluzione: zioni assiali in soluzione: 4 v 4k G.ovati (DIS-oliMI) Strutture reticolari 8

9 Sistema corpo rigido + arre elastiche (-volta iperstatico) E k i rigidezza assiale asta i-esima ( ) Dati: k k k k k i Risoluzione con metodo delle forze ( e l incognita primaria) a a Sistema struttura + carico simmetrico! Struttura principale isostatica v Legge elastica per le arre: ( ) k ongruenza:, v iperstatica k (equazione di congruenza associata all iperst. ) k k Equilirio: + (una sola equaz. di equilirio significativa) ( ) Risolvendo, si determina : zioni assiali in soluzione: 4 llung. aste in soluzione: v 4 k G.ovati (DIS-oliMI) Strutture reticolari 9

10 Semplice struttura iperstatica (corpo rigido + arre elastiche): le azioni assiali e dipendono dal rapporto tra le rigidezze assiali k e k. k k arre elastiche (di lungh. ) rigidezze assiali E k delle arre: k E Si consideri il seguente caso : k k e k αk corpo rigido (c.r.) Risolvendo il prolema (mediante equilirio, congruenza e legge elastica) risulta:, + α α + α H W prolema staticamente indeterminato: 4 incognite (,, W, H); solo equaz. di equilirio disponiili (quelle del c.r.) 0.5 ( α)/ ( α)/ α ( k / k ) G.ovati (DIS-oliMI) Strutture reticolari 0

11 nalisi elastica di semplice struttura reticolare -volta iperstatica h E modulo elasticità area sez. trasv. E, cost. v Relazioni spost. nodale elongazioni (congruenza): e e v e Legge elastica arre: D v Equilirio verticale del nodo D: E e e e h nodo D E h v E h (+ )( ) + metodo degli spostamenti er la simmetria del sistema struttura + carico : spost. orizz. nodo D 0 e e ( ) + Equilirio in termini di spost. nodale v : zioni assiali: ( + ) E + v h ( + ) v h E + G.ovati (DIS-oliMI) Strutture reticolari

12 Deformazione di struttura reticolare isostatica [ E mod. elasticita cost. ; area sez. trasversale cost. ; alcolo delle reazioni vincolari e delle azioni assiali mediante sole consideraz. di equilirio dunque: rigidezza assiale k k k ] Equilirio : (sono evidenziate le forze sui nodi) Deformailita : convenzione: i > 0 se traz. li > 0 se allung. legge elastica delle aste: ( E ) ( E ) ( E ) congruenza (coerenza tra allungamenti aste e spost. nodali): u v v Equil. + legge elast. + congr.: (E/)( u ) (E/ )(v v u ) (E/)( v ) (v v u ) v spostamenti nodali: u v v 4 E E u G.ovati (DIS-oliMI) Strutture reticolari

13 arra liera soggetta a variazione uniforme di temperatura arra appoggiata su un piano (senza attrito) lunghezza iniziale arra Un aumento uniforme di temp. T implica un allungamento termico term α T con α coeff. di dilatazione term. del materiale T Ogni fira (elemento lineare) di lunghezza iniziale d (posta in qualunque direz.), si allunga di: term d α Td Se contemporaneamente la arra viene anche sollecitata assialmente con forza assiale, si manifesta anche un allungamento elastico el E Sommando gli effetti: tot term el + α T + E G.ovati (DIS-oliMI) Strutture reticolari

14 arra vincolata alle estremita soggetta a variazione uniforme di temperatura α coeff. di dilatazione termica del materiale T Un aumento uniforme di temp. T fa nascere un allungamento termico term α T che pero non puo manifestarsi da solo perche i vincoli alle estremità non lo consentono. ontemporaneamente si manifesterà anche un accorciamento elastico, in modo tale che: tot term el + 0 Questo implica un azione assiale pari a area sez. trasversale E modulo di elasticita el term α T el E el E k ( α T ) α T E G.ovati (DIS-oliMI) Strutture reticolari 4

15 Strutture reticolari isostatiche soggette a carico termico Due semplicissime strutture isostatiche, in cui una sola asta è soggetta a + T, ad illustrazione del comportamento tipico delle strutt. retic. isostatiche nei confronti di carichi termici. Risposta della struttura: reaz. vincolari e azioni assiali nulle; si manifesta il term dell asta riscaldata accompagnato da soli spostamenti rigide delle aste. configuraz. indeformata + T configuraz. deformata + T term α T term v v v α T configuraz. indeformata + T configuraz. deformata + T v u term α T term (u + v ) u v α T G.ovati (DIS-oliMI) Strutture reticolari 5

16 Strutture reticolare iperstatica soggetta a carico termico Metodo degli spost. u Equilirio orizz. nodo : ( ) 0 ki cost. k + T + T Legge elast. arre: k, i, i i ongruenza: e u e t + u Equilirio riscritto in termini dello spost. u : ommento: L asta si allunga per effetto termico; la sua elongaz. termica non avviene pero lieramente in quanto l asta rappresenta un vincolo elastico che tende a contrastarla. L asta va in compressione e (per l equil. orizz. del nodo ) la stessa compressione nasce anche nell asta. t k( u ) k(u ) t u α T α T zioni assiali: Si noti che : kα T t G.ovati (DIS-oliMI) Strutture reticolari 6

17 ltra struttura reticolare elastica risolta con il metodo degli spostamenti (formulazione matriciale) Spostamenti nodali (componenti liere): vq, Le aste inclinate sono a 45. Tutte le aste hanno la stessa rigidezza assiale k Equazioni di equilirio riscritte in termini degli spostamenti: cioe': K u u, con v u (sistema lineare di 4 equaz. in 4 inc.) 4 5 u [ u ] T v u v T E u T K E K matrice di rigidezza della strutt. Risolvendo il sistema si ottengono i seguenti spostamenti: u 5 7 k v 5 7 k u 7 k v Succesivamente si ricavano i valori delle azioni assiali. 9 7 k v u Relazioni elongazioni- spost. nodali: e u matrice di congruenza e u e v e 0 0 u e 4 v e Equazioni di equilirio nodale : T 0 0 Legge elastica arre : E e con E diag( k, k, k, k, k ) G.ovati (DIS-oliMI) Strutture reticolari 7 T matrice di equilirio