Il Teorema dei Lavori Virtuali Applicato alle Strutture

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1 Il Teorema dei Lavori Virtuali Applicato alle Strutture Tema 1 Si consideri la struttura riportata in figura 1. Si determini la componente di spostamento v S per la sezione S indicata, utilizzando il teorema dei lavori virtuali. La struttura proposta é isostatica. Al fine di calcolare la componente di spostamento richiesta si assume come sistema degli spostamenti S (s) quello ottenuto considerando la struttura ed i carichi assegnati, mentre come sistema delle forze S (f) il sistema ottenuto considerando la struttura in esame caricata con una forza unitaria, duale alla componente di spostamento richiesta. La figure 2 e 3 riportano rispettivamente i due sistemi insieme con i relativi diagrammi del momento Fig. 1 Struttura relativa al tema

2 118 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata Fig. 2 Sistema degli spostamenti e corrispondente diagramma del momento flettente (tema 1). flettente. Questi ultimi sono tracciati, una volta determinate le reazioni vincolari tramite considerazioni di statica grafica, attraverso costruzioni che ne assicurano il mantenimento della scala di rappresentazione. Più in dettaglio, in riferimento alla notazione introdotta nelle figure proposte, le condizioni di equilibrio formale relativamente al sistema degli spostamenti risultano: equilibrio globale) a + m + c + d = 0 equilibrio tratto I) a + p + b = 0 equilibrio tratto II) b + p + c + d + m = 0 mentre, per il sistema delle forze si ha: equilibrio globale) a + f + c + d = 0 equilibrio tratto I) a + p + b + f = 0 equilibrio tratto II) b + p + c + d = 0 Trascurando allora gli effetti di deformabilità tagliante ed assiale (quest ultima a meno del pendolo P ), l applicazione del teorema dei lavori virtuali conduce all uguaglianza:

3 Il TLV Applicato alle Strutture 119 Fig. 3 Sistema delle forze e corrispondente diagramma del momento flettente (tema 1). v (s) S R(s) C R(f) C k R (s) P R(f) P l (s) P EA = (f) M M Struttura EI dz essendo l P la lunghezza del pendolo P ; R P la sua reazione vincolare; R C la reazione del carrello cedevole elasticamente; M (f) e M (s) le funzioni momento flettente rispettivamente nel sistema delle forze e degli spostamenti, al variare dell ascissa curvilinea z lungo la struttura. Sviluppando numericamente i prodotti scalari a primo membro e l integrale a secondo, si ricava la componente di spostamento richiesta. Tema 2 Si consideri la struttura riportata in figura 4. Si determini la rotazione relativa nella sezione B, cioé ϕ B, utilizzando il teorema dei lavori virtuali.

4 120 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata Fig. 4 Struttura relativa al tema 2. La struttura proposta é una volta iperstatica ed una volta labile, ma per la particolare condizione di carico é senza dubbio in equilibrio. Prima di ricavare la componente di spostamento richiesta é necessario allora risolvere l iperstaticità. La figura 5 illustra il sistema S (eq) staticamente equivalente alla struttura assegnata, insieme con la condizione scalare di congruenza che ne assicura l equivalenza cinematica: (S G S D ) e = Xl P EA essendo S G e S D i vettori spostamento in G e D, X l incognita iperstatica, l P la lunghezza del pendolo DG ed e un versore che ne fissa l orientazione. Le figure 6 e 7, insieme con i corrispondenti diagrammi del momento flettente, riportano gli schemi S (0) e S (1) di modo che, per sovrapposizione degli effetti, risulta: S (eq) = S (0) + XS (1). Si vuole osservare che i diagrammi del momento flettente detti sono tracciati, una volta determinate le reazioni vincolari tramite considerazioni di statica grafica, attraverso costruzioni che ne assicurano il mantenimento della scala di rappresentazione. Al fine di determinare la reazione incognita X del pendolo DG attraverso l applicazione del teorema dei lavori virtuali, si assume come sistema degli spostamenti il sistema equivalente, cioé S (s) = S (eq), mentre come sistema delle forze si considera il sistema S (1).

5 Il TLV Applicato alle Strutture 121 Fig. 5 Schema equivalente utilizzato per la risoluzione del tema 2. Trascurando allora gli effetti di deformabilità tagliante ed assiale per i diversi tratti, l uguaglianza tra i lavori virtuali conduce alla condizione: Xl P EA = M (1) [M (0) + XM (1) ] dz Struttura EI essendo M (0) e M (1) le funzioni momento flettente relative ai diversi schemi introdotti, al variare dell ascissa curvilinea z lungo la struttura. La soluzione in termini di X della precedente equazione di congruenza consente quindi di ricavare: [ ] (0) [ (1) (1) M X = M Struttura EI dz (1) M M Struttura EI dz + l ] 1 P EA Risolta l incognita iperstatica, può determinarsi la rotazione relativa richiesta mediante un ulteriore applicazione del teorema dei lavori virtuali. In dettaglio, si considera come sistema degli spostamenti ancora il sistema equivalente S (eq) e come sistema delle forze si considera un nuovo sistema, S ( ), ottenuto considerando la struttura relativa allo schema equivalente caricata con due coppie unitarie, duali alle rotazioni che definiscono la rotazione relativa

6 122 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata Fig. 6 Schema S (0) utilizzato per la risoluzione del tema 2. ϕ B. La figura 8 riporta il sistema S ( ), insieme con il relativo diagramma del momento flettente in scala. L ulteriore applicazione del teorema dei lavori virtuali conduce allora all uguaglianza: ϕ B = Struttura M ( ) [M (0) + XM (1) ] EI che consente di valutare il parametro di spostamento richiesto. dz

7 Il TLV Applicato alle Strutture 123 Fig. 7 Schema S (1) utilizzato per la risoluzione del tema 2. Tema 3 Si consideri la struttura riportata in figura 9. Si determini la rotazione relativa nella sezione C, cioé ϕ C, utilizzando il teorema dei lavori virtuali. La struttura proposta é due volte iperstatica e tre volte labile esternamente, ma per la particolare condizione di carico é senza dubbio in equilibrio. Prima di ricavare la componente di spostamento richiesta é necessario allora risolvere l iperstaticità. La figura 10 illustra il sistema S (eq) staticamente equivalente alla struttura assegnata, insieme con le condizioni di congruenza che ne assicurano

8 124 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata Fig. 8 Schema S ( ) utilizzato come sistema delle forze per la valutazione del parametro di spostamento richiesto nel tema 2. l equivalenza cinematica: ϕ C = X 1 k ϕ (S E S D ) e = X 2l P EA + α t l p essendo X i (i = 1, 2) le incognite iperstatiche, l P la lunghezza del pendolo DE, e un versore che ne fissa l orientazione e α il coefficiente di dilatazione termica lineare associato al materiale di cui si considera costituita la struttura. In dettaglio, il contributo α t l p rappresenta l allungamento del pendolo DE per effetto del riscaldamento uniforme su di esso presente.

9 Il TLV Applicato alle Strutture 125 Fig. 9 Struttura relativa al tema 3. Fig. 10 Schema equivalente utilizzato per la risoluzione del tema 3. Le figure 11, 12 e 13, insieme con i corrispondenti diagrammi del momento flettente, riportano gli schemi S (0), S (1) e S (2) di modo che, per sovrapposizione degli effetti, risulta: S (eq) = S (0) + X 1 S (1) + X 2 S (2). Si vuole osservare che i diagrammi del momento flettente detti sono tracciati, una volta determinate le reazioni vincolari tramite considerazioni di statica grafica, attraverso costruzioni che ne assicurano il mantenimento della scala di rappresentazione.

10 126 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata Fig. 11 Schema S (0) utilizzato per la risoluzione del tema 3. Al fine di determinare le reazioni vincolari incognite X i (i = 1, 2) si applica due volte il teorema dei lavori virtuali. La prima volta si considera come sistema degli spostamenti il sistema equivalente e come sistema delle forze il sistema S (1). Per la seconda applicazione, invece, si considera come sistema degli spostamenti sempre S (eq), mentre come sistema delle forze il sistema S (2). Trascurando allora gli effetti di deformabilità tagliante ed assiale per i diversi tratti, l uguaglianza tra i lavori virtuali nei due casi conduce alle due equazioni di congruenza: X { 1 [M = M (1) (0) + X 1 M (1) + X 2 M (2) ] k ϕ Struttura EI X 2l P EA + α t l P = Struttura } + µ DG dz M (2) { [M (0) + X 1 M (1) + X 2 M (2) ] EI } + µ DG dz essendo M (0), M (1) e M (2) le funzioni momento flettente relative ai diversi schemi introdotti al variare dell ascissa curvilinea z lungo la struttura e µ DG la distorsione angolare distribuita sul tratto DG, associata alla distribuzione di temperatura a gradiente costante assegnata. Si osservi che quest ultimo

11 Il TLV Applicato alle Strutture 127 contributo compare nelle relazioni indicate solo in riferimento ai termini integrali che competono alla parte DG della struttura. Una volta risolte le precedenti condizioni rispetto alle incognite X 1 e X 2, la rotazione relativa richiesta si valuta direttamente sfruttando la prima equazione di congruenza: ϕ C = X1 k ϕ. Fig. 12 Schema S (1) utilizzato per la risoluzione del tema 3.

12 128 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata Fig. 13 Schema S (2) utilizzato per la risoluzione del tema 3.