Struttura 1-volta iperstatica soggetta a cedimento vincolare risolta con il metodo LINEA ELASTICA. M>0

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1 Struttura 1-volta iperstatica soggetta a cedimento vincolare risolta con il metodo LINEA ELASTIA La struttura di figura è soggetta al solo cedimento vincolare η del carrello in ; la trave AB ha rigidezza flesionale costante ( = cost) Risolvere la struttura con il metodo della linea elastica determinando la deformata e il diagramma del momento flettente A B η Svolgimento Occorre rendere isostatica la struttura mettendo in evidenza una iperstatica ; qui si sceglie di eliminare il carrello in evidenziando la corrispondente reazione vincolare che viene così ad avere il ruolo di iperstatica A x 1 x 1 B M>0 v ( x ) 1 1 v ( x ) χ >0 Sulla struttura isostaticizzata vengono indicati i sistemi di riferimento locali utilizzati sul tratto AB (campo 1) e sul tratto B (campo ) nell amito del procedimento risolitivo adottato; inoltre è evidenziato il tratteggio e la convenzione ad esso associata per la definizione di momento e curvatura positivi Il valore di in soluzione è quello che comporta un aassamento verticale dell estremo della trave pari al cedimento η assegnato Le espressioni del momento flettente sui due campi risultano le seguenti: M1( x1) = x 1 per 0 < x1 < M ( x) = ( x) per 0 < x < Equazione della LE per il campo 1 (si utilizza l apice per indicare la derivata): v1 ( x1) = M1( x1) = x 1 Integrando ( volte) e indicando con e D le due costanti di integrazione, si ha: 1 E Iv1 ( x1) = x1 + 1 E Iv( x) = x + D x + D

2 Equazione della LE per il campo : v ( x) = M( x) = ( x) Integrando ( volte) e indicando con e D le due costanti di integrazione, si ha: 1 E Iv x x x D ( ) = ( + ) + D 1 1 E Iv x x x D x D ( ) = ( + ) + + Le incognite sono costituite dalle costanti di integrazione iperstatica D 1, D, D e D e dalla Occorre quindi scrivere 5 condizioni cinematiche; di queste condizioni sono leggiili sulla struttura isostaticizzata mentre 1 di esse rappresenta le condizione di congruenza associata alla iperstatica (ripristino dell appoggio con cedimento η ) Le condizioni relative alla struttura isostaticizzata sono: v 1 (0) = 0 D = 0 (1) 1 v1( ) = D = 0 () v = = () (0) 0 D 0 1 v1 ( ) = v (0) + = D () La 5ª condizione (condizione di congruenza associata all iperstatica ) è data da: 1 1 v( ) = η ( + D+ D) = η () Facendo i conti risulta: 1 = D = 0 D 1 = D = 0 = E I η

3 Disegno della configurazione deformata: η Il diagramma del momento flettente (riportato dalla parte delle fire tese) è il seguente: η

4 Struttura -volta iperstatica risolta con il metodo LINEA ELASTIA A B p Risolvere la struttura di figura con il metodo della linea elastica; la trave AB ha rigidezza flesionale costante ( = cost) Occorre rendere isostatica la struttura mettendo in evidenza due iperstatiche p (la struttura isostaticizzata non deve essere A B laile) Un modo possiile in cui operare è quello descritto in figura: si rimuovono i due Y carrelli e si evidenziano le corrispondenti reazioni vincolari che vengono così ad avere il ruolo di iperstatiche (indicate con e Y ) Indicati con v B e v gli spostamenti verticali dei punti B e, il valore delle iperstatiche e Y in soluzione si determina soddisfacendo le seguenti due condizioni di congruenza: vb = vb( p,, Y) = 0 v = v( p,, Y) = 0 on queste due equazioni si tiene conto della presenza dei due carrelli in B e nella struttura originaria Se si disponesse delle espressioni esplicite di vb = vb( p,, Y) e di v = v ( p,, Y ), che forniscono gli spostamenti come funzioni lineari dei carichi, le incognite e Y verreero trovate risolvendo un sistema di due equazioni Non conoscendo le espressioni di v B e v in funzione dei carichi, si procede come segue secondo il metodo della linea elastica on questo metodo si moilitano delle incognite aggiuntive rappresentate dalle costanti che emergono durante il processo di integrazione dell equazione della linea elastica sui tratti AB e B; siccome risulta possiile scrivere condizioni cinematiche (riguardanti lo spost trasversale e la sua derivata prima) relative alla struttura isostaticizzata, si realizza il ilancio tra incognite ed equazioni Nella figura sottostante si evidenziano le ascisse x 1 e x sui due tratti di trave (campo 1 e campo ), gli spostamenti trasversali v1( x1) e v( x), i momenti assunti come positivi (quelli che tendono le fire dalla parte del tratteggio) e le curvature positive: A x 1 B x p M>0 v ( x ) 1 1 v ( x ) Y χ >0

5 Le espressioni del momento flettente sulle due aste sono le seguenti: M1( x1) = ( p Y) x1+ ( + Y p ) per 0 < x1 < px1 M ( x ) = + ( p Y) x + ( Y p ) per 0 < x < Equazione della LE per il campo 1 (si utilizza l apice per indicare la derivata): v1 ( x1) = M1( x1) = ( p Y) x1 ( + Y p ) Integrando ( volte) e indicando con e D le due costanti di integrazione, si ha: 1 v1 ( x1) = ( + Y p) x1 ( + Y p ) x v ( x ) = ( + Y p) x ( + Y p ) x + D x + D Equazione della LE per il campo : px v 1 p ( x) = M( x) = + ( p Y ) x ( Y ) Integrando ( volte) e indicando con e D le due costanti di integrazione, si ha: D px 1 p ( ) = ( ) ( ) + v x x p Y x Y D px 1 1 p v ( x ) =+ x ( p Y) x ( Y ) + D x + D Le incognite sono costituite dalle costanti di integrazione D 1, D, D e D e dalle iperstatiche e Y Occorre quindi scrivere condizioni cinematiche; di queste condizioni sono leggiili sulla struttura isostaticizzata mentre di esse rappresentano le condizioni di congruenza associata alle iperstatiche e Y (ripristino dei vincoli di appoggio in B e in ) Le condizioni relative alla struttura isostaticizzata sono: v 1 (0) = 0 D = 0 (1) v = = () 1 (0) 0 D v1( ) = v(0) ( 5 Y + p) = D () v1 ( ) = v (0) ( + Y p) = D () 5

6 Le due condizioni di congruenza associate alle iperstatiche sono le seguenti: v (0) = 0 D = 0 (5) v( ) = 0 D = (8Y p) () Tenendo conto delle (5) e (), le equazioni () e () danno luogo al seguente sistema nelle incognite e Y: 10Y + 7p= 0 1 Y + p = 0 Risolvendo si ha: e quindi p D = 5 = 19 8 p Y = p 7 Le equazioni della deformata delle due aste sono quindi le seguenti: p v1( x1) = ( x1 x1) ; 5 p v( x) = (7x 1x + x + x) 18 Disegno della configurazione deformata:

7 Struttura 1-volta iperstatica soggetta a solo carico termico (variaz di temperatura lineare lungo l altezza della trave) Risoluzione con il metodo della Linea Elastica x vx ( ) Dati: trave a sezione rettangolare; T = variazione (in aumento) della temperatura; α = coefficiente di dilatazione termica; h = altezza della trave (altezza della sez rettang); E = modulo di elasticità; I = momento d inerzia della sezione; = rigidezza lesionale (costante lungo l asse) onvenzione per momento flettente e curvatura: momento positivo quando tende le fire dalla parte del tratteggio; curvatura positiva quando si allungano le fire dalla parte del tratteggio Scelta dell incognita iperstatica: si sceglie la reazione del carrello come iperstatica Espressione del momento flettente: M ( x) = ( x) el M ( x) ( x) urvatura elastica: χ ( x) = = ; curvatura termica: t α T ( ) t, con t α T χ x = = χ χ = ; h h tot el t ( x) t curvatura totale: χ ( x) = χ ( x) + χ = χ ; tot relazione tra curvatura totale χ ( x) e derivata seconda dello spostamento trasversale vx ( ) : tot + T T + T T v ( x) = χ ( x) [ il segno è dovuto alla scelta del sistema di riferimento x, vx ( ) ] Dunque l equazione della linea elastica è la seguente: ( x ) t v ( x) = + χ Integrando si ha: 1 t v ( x) = ( x x) + χ x+ 1 ; t vx ( ) = ( x x) + χ x + x+ 1 Le condizioni cinematiche da imporre sono le seguenti [ la () rappresenta la condizione di congruenza associata all iperstatica ]: (1) v (0) = 0 1 = 0 ; () v(0) = 0 = 0 ; () v ( ) = t ( ) + χ = 0 t = χ Quindi l iperstatica risulta pari a: t α T = χ = h 7