CORSO DI PROGETTAZIONE COSTRUZIONI ED IMPIANTI

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1 CORSO DI PROGETTAZIONE COSTRUZIONI ED IMPIANTI LA SOLUZIONE DELLE TRAVI CONTINUE - EQUAZIONE DEI TRE MOMENTI

2 LA SOLUZIONE DELLE TRAVI CONTINUE La trave continua è uno schema ricorrente nella tecnica delle costruzioni, la troviamo a soluzione di diversi tipi di problemi: solai a più campate, travi di fondazione (rigide) passerelle pedonali. La soluzione della trave continua richiede calcoli più impegnativi rispetto alla normale trave isostatica ma tutto il procedimento può essere gestito in automatico attraverso un semplice foglio di calcolo La complessità della procedura dipende dalla "iperstaticità" del sistema con la presenza di un numero di incognite superiore ai gradi di libertà. Il vantaggio ad usare la soluzione della trave continua consiste in una significativa riduzione dei momenti di progetto (MEd). In genere, l'ottimizzazione della sezione consente un "guadagno" del 20% sul valore del momento resistente ultimo (MRd)

3 LA SOLUZIONE DI CLAPEYRON Émile Clapeyron ( ) La soluzione consiste nel rendere isostatico il sistema mediante l'introduzione di cerniere fittizie e di riallineare idealmente i due monconi di trave attraverso l'applicazione di momenti di continuità a sinistra ed a destra di ogni cerniera Un sistema così disposto fornisce infinite soluzioni equilibrate, una sola sarà quella congruente, quella che garantisce il riallineamento degli assi dei monconi di trave, per ottenerla, bisogna imporre nulle le rotazioni residue di ogni sezione di estremità.

4 L'EQUAZIONE DEI TRE MOMENTI La soluzione che ricerchiamo richiede uno strumento matematico che consenta la misura delle deformazioni. Il problema viene risolto attraverso "l'analogia di Mohr" Christian Otto Mohr ( ) Secondo l'analogia di Mohr gli angoli di rotazione delle tangenti alla deformata della trave si possono calcolare attraverso le reazioni di una trave ausiliaria caricata con il diagrammi del momento prodotto da ogni azione elementare diviso per il termine EJ (dove E = modulo elastico, J = inerzia della sezione) Per il principio di sovrapposizione degli effetti le rotazioni complessive risulteranno dalla sommatoria dei singoli contributi

5 L'EQUAZIONE DEI TRE MOMENTI Calcoliamo le reazioni (rotazioni) con l'equazione di equilibrio dei momenti Nota: per convenzione si assume positivo il momento che produce una rotazione antioraria

6 L'EQUAZIONE DEI TRE MOMENTI Calcoliamo le reazioni (rotazioni) con l'equazione di equilibrio dei momenti Nota: per convenzione si assume positivo il momento che produce una rotazione antioraria

7 L'EQUAZIONE DEI TRE MOMENTI La rotazione indotta dal momento di incastro perfetto si può ricavare attraverso un artificio. Il momento di continuità sarà numericamente uguale ma di segno contrario a quello che aggiungiamo alla cerniera al fine di ottenere la congruenza. Con questo espediente possiamo scrivere le rotazioni con le stesse formule viste in precedenza ma con il segno cambiato.

8 L'EQUAZIONE DEI TRE MOMENTI Supponiamo di dover calcolare una trave continua generica Per la congruenza i due momenti a sinistra ed a destra della cerniera fittizia in B dovranno essere tali da riallineare le sezioni di estremità. Questa condizione richiede l'uguaglianza delle rotazioni che, in formula determinano le seguenti equazioni. A destra di B si sommano I contributi del tipo > A sinistra di B si sommano I contributi del tipo >

9 L'EQUAZIONE DEI TRE MOMENTI Sostituiamo le lettere ai numeri e semplifichiamo l'espressione Imponiamo la congruenza EQUAZIONE DEI TRE MOMENTI - FORMULA GENERALE

10 I valori dei momenti di continuità prodotti dai carichi noti si trovano tabellati nei manuali di S.d.C. (p) L a b In valore assoluto

11 TRAVE CONTINUA CON CAMPATE CARICATE IN MODO UNIFORME Possiamo sostituire le formule della tabella alla equazione generale Tutta la prima parte della equazione può scriversi come:

12 TRAVE CONTINUA CON CAMPATE CARICATE IN MODO UNIFORME In una trave della stessa sezione (inerzia) e materiale impiegato abbiamo: La formula ci consente di calcolare le incognite iperstatiche, noti i valori dei momenti di continuità si può "aprire" la trave e risolverla per parti come in una semplice trave isostatica. Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti si determinano le soluzioni delle reazioni vincolari

13 ESEMPIO 1 - trave continua simmetrica, simmetricamente caricata Calcoliamo l'incognita iperstatica A questo punto si può pensare la struttura come composta da due parti isostatiche Nota: la formula che abbiamo impostato fornisce il valore del momento di continuità con il segno positivo, si intende tale valore "assoluto". Dato che il momento di continuità tende le fibre superiori si attribuisce per convenzione il segno (-)

14 ESEMPIO 2 - trave continua a campate diseguali caricata asimmetricamente Calcoliamo l'incognita iperstatica A questo punto si può pensare la struttura come composta da due parti isostatiche

15 ESEMPIO 2 - trave continua a campate diseguali caricata asimmetricamente

16 TRAVE CONTINUA A TRE CAMPATE CARICATE IN MODO UNIFORME Il problema è due volte iperstatico, bisogna scrivere due equazioni che esprimono la condizione di congruenza I momenti MD e MA sono noti e si ricavano attraverso i dati del problema, le incognite MC e MB si calcolano attraverso la soluzione del sistema lineare di primo grado.

17 ESEMPIO 3 - trave continua a tre campate (due volte iperstatica)

18 ESEMPIO 3 - trave continua a tre campate (due volte iperstatica) Regola di Cramer (assumiamo MB =x, MC =y) Si sostituiscono i valori sui tratti di trave resi isostatici, si calcolano le singole reazioni vincolari e, mediante il P.S.E. si determinano le reazioni vincolari. I diagrammi di taglio e momento si calcoleranno applicando lo stesso P.S.E. sommando i grafici compilati "a tratti"

19 ESEMPIO 3 - trave continua a tre campate (due volte iperstatica) Può essere utile predisporre una tabella per tenere i dati ordinati Tratto (A-B) Tratto (B-C) Tratto (C-D) VA VB' VB'' VC' VC'' VD -5,62 + 1,40-1,40-6,93 + 1,38-1,38-17,79 + 2,96-2, ,5 + 12, ,93-1,73 + 1,73 17,79-3,56 + 3,56 TOTALE 9,67 10,33 10,32 14,68 17,96 12,04 Con i valori calcolati si possono graficizzare i diagrammi delle sollecitazioni V e M

20 ESEMPIO 3 - trave continua a tre campate (due volte iperstatica)

21 SOLUZIONE DELLA TRAVE CONTINUA MEDIANTE FOGLIO DI CALCOLO Si può sviluppare la tabella vista in precedenza in un foglio di calcolo attraverso il quale si può gestire la procedura in modo automatico Riferimenti bibliografici A.M. Michetti, appunti dal corso di tecnica delle costruzioni - a.a Univ. "LaSapienza - Roma S.Catasta, le travi continue - dispensa a.s