Introduzione al corso Le Piastre

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1 Corso di Progetto di Strutture POTENZA, a.a Introduzione al corso Le Piastre Dott. Marco VONA DiSGG, Università di Basilicata

2 PROGRAMMA DEL CORSO Teoria delle piastre Piastre in calcestruzzo armato Piastre post tese Realizzazione di elaborati esecutivi di solette armate e pareti e cantierizzazione Teoria dei tubi e dei serbatoi Esercitazione: Progetto di piastre e setti in c.a. Metodo di esame. L esame sarà generalmente orale e volto ad accertare la conoscenza degli argomenti teorici trattati, nonché la capacità di applicare tali concetti a problemi applicative

3 CONSIDERAZIONI GENERALI Le PIASTRE / LASTRE sono una tipologia di elementi strutturali aventi sviluppo bidimensionale il cui impiego è indicato in una vasta casistica Le lastre sono caratterizzate da un comportamento di tipo prevalentemente membranale ovvero sono sollecitate nel proprio piano medio Per quanto riguarda le lastre è ovviamente possibile impiegare anche altre tipologie di materiali in virtù del tipo di struttura ed uso (es. teli) I materiali costituenti possono essere vari (c.a. acciaio, c.a legno, c.a.) ma le piastre in c.a. sono senz altro le più utilizzate grazie alla semplicità di realizzazione e libertà di progettazione

4 CONSIDERAZIONI GENERALI La geometria di una PIASTRA / LASTRA è determinata dal suo piano medio e dal suo spessore In funzione dello spessore si individuano differenti comportamenti e quindi differenti tipologie TRAVE ALTA (taglio) TRAVE A SVILUPPO MONODIMENSIONALE (Flessione) Le ipotesi alla base della trattazione delle piastre sono conseguenza di tali caratteristiche

5 CONSIDERAZIONI GENERALI Scelta del tipo di piastra Metodi di calcolo

6 CONSIDERAZIONI GENERALI Le PIASTRE / LASTRE sono strutture superficiali a Superficie Media piana Sono solidi bidimensionali delimitati da due facce piane parallele poste ad una distanza molto piccola rispetto alle altre due dimensioni Le lastre sono sostanzialmente un caso particolare della piastre Nelle lastre la direzione dei carichi giace sul piano medio e le deformazioni sono prevalentemente membranali Nelle piastre invece i carichi sono disposti ortogonalmente al piano medio, conseguentemente le deformazioni sono prevalentemente flessionali

7 CONSIDERAZIONI GENERALI LE PIASTRE In tale ambito, rientrano tutte le strutture dell ingegneria civile, comunemente indicate come solette, caratterizzate dall avere momenti sollecitanti molto più piccoli in una direzione rispetto all altra Per tale ragione le solette sono studiate generalmente come un insieme di travi tra loro affiancate trascurando le interazioni reciproche Tale assunzione è generalmente valida anche per il modo in cui sono costruite normalmente tali solette

8 Una elemento piastra di lunghezza infinita, cioè vincolata lungo due soli lati paralleli, si comporta come una serie di travi affiancate che si aiutano con la sola contrazione trasversale impedita. Per questo contributo trasversale la rigidezza passa dal termine maggiore di EJ EJ al termine EJ/(1- ν 2 ) CONSIDERAZIONI GENERALI La massima freccia w diminuisce di una quantità rappresentata dal rapporto 1/(1- ν 2 ) Quando invece la piastra, assunta di forma rettangolare, sia vincolata lungo tutti e quattro i lati, essa può essere considerata costituita da due serie di strisce ortogonali collaboranti. Le strisce in una direzione sostengono quelle in direzione perpendicolare

9 CONSIDERAZIONI GENERALI Piastra rettangolare appoggiata su due lati paralleli, libera sugli altri due lati con una direzione prevalente sull altra in termini dimensionali Carico uniformemente distribuito p È corretto verificarla per un azione flettente? l p M x = M x y p 8 2 l x

10 CONSIDERAZIONI GENERALI Nella direzione ortogonale esiste comunque una sollecitazione che a rigore non può essere trascurata M y = ν M = ν x p 8 2 l ν coefficiente di Poisson del materiale l y p x

11 CONSIDERAZIONI GENERALI Nelle strutture in c.a. ordinarie in genere M y e molto più piccolo di M x e quindi viene generalmente trascurato M y M x Nel caso del c.a. il problema si risolve disponendo, in genere senza alcuna valutazione numerica ulteriore, una ARMATURA DI RIPARTIZIONE Allo stesso modo la deformazione reale è influenzata dalla geometria della piastra

12 CONSIDERAZIONI GENERALI Se le strisce di piastra che si considerano normalmente nell analisi delle solette fossero davvero indipendenti la deformazione massima avrebbe il valore: δ = 5 4 p l 3 s J = 384 E J 12 Nella realtà l interazione tra le strisce reali della piastra danno luogo ad una differente deformazione δ = δ (1 2 ν ) δ δ 1% In sostanza nei casi comuni la differenza è trascurabile e comunque a vantaggio di sicurezza δ

13 CONSIDERAZIONI GENERALI Nel caso di elementi che si comportano come delle piastre vere e proprie la realtà è differente e le approssimazioni non sono accettabili Consideriamo una generica piastra di lati l x ed l y appoggiata sui quattro lati e caricata uniformemente si deforma secondo una superficie concava

14 CONSIDERAZIONI GENERALI Nascono quindi dei momenti sia in direzione x che in direzione y Può quindi essere studiata la piastra suddividendola in strisce nelle due direzioni principali x e y Tali strisce assorbiranno una quota parte del carico esterno

15 CONSIDERAZIONI GENERALI La flessione delle strisce AB costringe le strisce CD a torcersi e queste, a loro volta, reagendo, trasmettono momenti torcenti e viceversa Questi momenti, denominati momenti di sostentamento, sono di versi opposti sulle due metà

16 CONSIDERAZIONI GENERALI Le stesse considerazioni valgono considerando due strisce contigue. La striscia CD, più prossima al lato vincolato, s inflette meno della striscia AB, ad essa adiacente Le configurazioni deformate assunte dalle due strisce sono quindi diverse

17 CONSIDERAZIONI GENERALI Se le strisce fossero indipendenti le loro facce comuni scorrerebbero l una rispetto all altra Essendo tra loro collegate, sulle facce comuni si generano deformazioni di scorrimento e tensioni tangenziali τ xy eτ yx le cui risultanti sono rappresentate dai momenti torcenti M xy e M yx

18 CONSIDERAZIONI GENERALI Ogni striscia AB riceve dalla striscia EF momenti che la deprimono e dalla striscia CD momenti che la sostengono Poiché tali momenti M yx crescono dalla mezzeria della piastra, dove sono nulli, verso gli appoggi prevalgono i momenti di sostentamento il cui verso è rappresentato sulla striscia denominata CD

19 CONSIDERAZIONI GENERALI Ogni striscia è sostenuta dalla porzione di piastra compresa fra essa e l appoggio più prossimo, mediante i momenti torcenti Questi momenti sono successivamente trasmessi alle altre strisce, fino a scaricarsi sull appoggio sotto forma di un incremento della reazione

20 CONSIDERAZIONI GENERALI La flessione delle strisce AB costringe le strisce CD a torcersi e queste, a loro volta, reagendo, trasmettono momenti torcenti e viceversa. Questi momenti, denominati momenti di sostentamento, sono di versi opposti sulle due metà I benefici dei due tipi di collaborazione sono massimi per la piastra quadrata (a = b) e diminuiscono al crescere del rapporto b/a per le piastre rettangolari, diventando trascurabili per b/a > 2.

21 STUDIO DELLE PIASTRE INFLESSE SPESSORE DELLE PIASTRE Con riferimento allo spessore può essere fatta una distinzione fondamentale in tre classi; si definiscono così tre comportamenti distinti in funzione dello spessore riferito alla deformazione massima: piastra spessa: si applica la teoria classica tenendo conto del contributo di deformazione a taglio (teoria di Lagrange) Il fenomeno della plasticizzazione si manifesta prima dell insorgere di tensioni membranali non trascurabili Il carico di collasso può essere individuato mediante la teoria della linea di snervamento

22 STUDIO DELLE PIASTRE INFLESSE SPESSORE DELLE PIASTRE piastra (molto) sottile: si applica la teoria delle membrane di Föppl. Il fenomeno della plasticizzazione si manifesta in regime membranale. Si considerano in genere grandi spostamenti piastra sottile (spessore piccolo/medio): è la più comunemente impiegata nella progettazione delle strutture Si applica la teoria classica di Kirchhoff Love Il fenomeno della plasticizzazione si manifesta quando le tensioni membranali non sono più trascurabili

23 STUDIO DELLE PIASTRE INFLESSE SPESSORE DELLE PIASTRE piastra di grande spessore: si applica la teoria classica tenendo conto del contributo di deformazione a taglio (teoria di Lagrange) Il fenomeno della plasticizzazione si manifesta prima dell insorgere di tensioni membranali non trascurabili Il carico di collasso può essere individuato mediante la teoria della linea di snervamento

24 STUDIO DELLE PIASTRE INFLESSE Comunemente col termine PIASTRA SOTTILE intendiamo un solido che ha una dimensione molto più piccola delle altre due Chiamiamo spessore questa dimensione minore delle altre, che indicheremo h e che riterremo per lo più costante Per esempio, una lamiera può essere assimilata ad una piastra sottile De finiamo la super ficie media della piastra come il luogo dei punti medi dello spessore La trattazione si base su alcune ipotesi semplificative

25 Per lo studio della piastra inflessa esistono fondamentalmente due formulazioni analitiche distinte Teoria classica di Lagrange (small deflection, nella validità delle ipotesi Kirchhoff Love) Teoria di Von Kármán (large deflection) STUDIO DELLE PIASTRE INFLESSE In funzione delle ipotesi su cui si basa ciascuna trattazione occorre individuare la schematizzazione che meglio si adegua allo studio del comportamento della struttura reale, non necessariamente legata al grado di complessità matematica ad essa connessa

26 STUDIO DELLE PIASTRE INFLESSE Per le piastre sottili si utilizzano in genere, nell ipotesi di piccoli spostamenti, le ipotesi della teoria di Kirchhoff Love Tali ipotesi sono molto simili a quelle di de Saint Venant per le travi 1. La superficie media (piano medio) è neutra e come conseguenza le tensioni normali si annullano a metà dello spessore. Tale ipotesi è tanto più verificata quanto più gli spostamenti sono piccoli rispetto allo spessore della piastra 2. Le sezioni piane e normali al piano medio per effetto delle azioni esterne e delle conseguenti deformazioni rimangono piane e normali al piano medio 3. Lo sforzo normale al piano medio e trascurabile

27 STUDIO DELLE PIASTRE INFLESSE Le diverse teorie possono essere applicate a piastre caratterizzate da differenti rapporti dimensionali, o alla stessa struttura in diverse fasi dello stato di sollecitazione e di tensione (ad esempio in funzione dell intensità del carico) Poiché l obbiettivo finale del progetto consiste nello stabilire il massimo carico (a parità di distribuzione) che può essere sopportato dalla struttura prima del collasso, il perseguimento di tale obbiettivo ha portato a sviluppare anche teorie applicabili in campo plastico Si consideri ad esempio una piastra di medio spessore, di materiale perfettamente elastico ed isotropo Per carichi di modesta intensità il comportamento potrà essere correttamente studiato mediante la teoria classica di Lagrange

28 STUDIO DELLE PIASTRE INFLESSE All aumentare della deformazione si svilupperanno anche tensioni di tipo membranale che renderanno il comportamento più prossimo a quello descritto della teoria dei grandi spostamenti Supponendo che, al crescere del carico, il materiale continui a mantenersi in campo elastico si ricadrà nella teorie della membrana (Föppl) Se, al contrario, si verificassero fenomeni plastici occorrerà fare ricorso alla teoria elasto plastica

29 STUDIO DELLE PIASTRE SOTTILI INFLESSE l b z p y y px p z p z x z b z p z p x, p y Forza per unità di Area Forza per unità di Lunghezza Coppia per unità di Lunghezza [ 2 F L ] [ 1 F L ] [ 1 F L L ] = [ F]

30 STUDIO DELLE PIASTRE SOTTILI INFLESSE Considerazioni generali e ipotesi semplificative (Kirchhoff Love) spostamenti infinitesimi: gli spostamenti sono tanto piccoli (insieme alle loro derivate) da poter essere trattati come infinitesimi (si trascurano le potenze superiori alla prima, in quanto infinitesimi di ordine superiore); σ z =0 tutti i punti che sono su un segmento perpendicolare al piano medio hanno lo stesso spostamento w un segmento piano si mantiene tale dopo la deformazione (la tangente è uguale alla derivata di w rispetto a x): lo stato di spostamento è espresso in funzione di w

31 STUDIO DELLE PIASTRE SOTTILI INFLESSE i punti sul piano medio della piastra subiscono spostamenti nella sola direzione z. Lo spessore deve essere piccolo per rispettare l ipotesi della conservazione del segmento piano. Ciò equivale a considerare trascurabili gli scorrimenti xz e yz. Lo spessore non deve essere piccolissimo affinché le tensioni membranali siano trascurabili

32 STUDIO DELLE PIASTRE SOTTILI INFLESSE La trattazione delle piastre è basata sul classico metodo degli spostamenti. Le incognite del problema sono soltanto gli sforzi interni Nelle equazioni di equilibrio si introducono le equazioni di congruenza ed i legami costitutivi dei materiali ottenendo una equazione nella sola incognita di spostamento w

33 STUDIO DELLE PIASTRE SOTTILI INFLESSE l b z p y y px p z p z x z w 0 u, v 0 sulla Superficie Media ε z = 0 ε, σ lineari sullo spessore w(x, y, z) = w(x, y)

34 STUDIO DELLE PIASTRE SOTTILI INFLESSE Considerando un elemento infinitesimo dx dy appartenente ad una piastra La distribuzione delle tensioni sullo spessore, in analogia a quanto avviene per le travi, è di tipo lineare per le tensioniσ x,σ y eτ xy mentre per le tensioniτ xz eτ yz è di tipo parabolico

35 STUDIO DELLE PIASTRE SOTTILI INFLESSE È evidente che se non fossero presenti le tensioniτ xy, la piastra potrebbe essere assimilata ad una doppia serie di travi disposte ortogonalmente tra loro