10.1 Sollecitazione di sforzo normale e momento flettente

Transcript

1 Capitolo 1 SFORO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE (prof. Elio Sacco) 1.1 Sollecitazione di sforzo normale e momento flettente Si esamina il caso in cui la risultante ed il momento risultante agenti sulla base della trave x 3 = L consistano in una forza N in direzione e 3 (sforzo normale) ed una coppia M f ortogonale ad e 3 (momento flettente) Stato tensionale Dovendo risultare V = e M t =, ricordando le (9.11) si può supporre (metodo seminverso) che σ α3 =per x 3 = L. Le prime due equazioni di equilibrio (9.13) assicurano allora che σ α3 = x 3 ],L[. Ne deriva che in tutti i punti della trave: σ = (1.1) σ 33 Inoltre, la terza delle (9.13) diventa: σ 33,3 = (1.2) per cui σ 33 ècostantelungol assex 3, ed è quindi funzione solo di x 1. Allora, tenuto conto della (1.2), la (9.2) si particolarizza nella: σ 33 = g o + g 1 x 1 + g 2 (1.3) = g o + g x 125

2 126CAPITOLO 1. SFORO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE (PROF. ELIO SACCO) Lo sforzo normale N ed il vettore momento flettente M f, determinati in termini di tensioni interne dalle (9.11), per la forma di rappresentazione (1.3) della tensione normale, valgono rispettivamente: N = σ 33 da = A L (g o + g 1 x 1 + g 2 ) da = g o A + g 1 S 1 + g 2 S 2 = g o A A L (1.4) M f 1 = σ 33 da = (g o + g 1 x 1 + g 2 ) da = g 1 J 12 + g 2 J 22 (1.5) A L A L M f 2 = x 1 σ 33 da = x 1 (g o + g 1 x 1 + g 2 ) da = (g 1 J 11 + g 2 J 12 ) A L A L essendo J 11 J 22 J 12 le componenti della matrice d inerzia J ed S 1 S 2 le componenti del vettore momento statico S che, poichè il riferimento scelto è baricentrico, risulta essere nullo. Posto ½ M f ¾ ½ ¾ ½ ¾ 2 g1 J ˆM = M f = 11 + g 2 J 12 J11 J = 12 g1 g 1 1 J 12 + g 2 J 22 J 12 J 22 g 2 le relazioni (1.4) e (1.5) possono essere riscritte nella forma equivalente: dacuisiricava: N = g o A (1.6) ˆM = Jg g o = N A (1.7) g = J 1 ˆM (1.8) e quindi, tenuto conto della (1.3): σ 33 = N A + J 1 ˆM x (1.9) Dunque la forma dello stato tensionale ipotizzata tramite le (1.1) e (1.3) è idonea a rappresentare le caratteristiche della sollecitazione di sforzo normale e momento flettente. Nel caso siano stati scelti gli assi del sistema di riferimento siano principali d inerzia, la matrice di inerzia è caratterizzata dal fatto che J 12 =. In tal caso, la determinazione della inversa di J risulta immediata e la forma (1.9) si specializza in: σ 33 = N A M f 2 x 1 + M f 1 (1.1) J 11 J 22 E consuetudine nella pratica tecnica utilizzare la definizione dei momenti d inerzia rispetto agli assi coordinati più di quelli lungo gli assi coordinati:

3 1.1. SOLLECITAIONE DI SFORO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE127 momento d inerzia lungo l asse x 1 ovvero rispetto all asse : 1 da = J 11 = I 22 momento d inerzia lungo l asse ovvero rispetto all asse x 1 : 2 da = J 22 = I 11 Sulla base di tali definizioni, la formula (1.1) diventa: A A σ 33 = N A + M f 1 M f 2 x 1 (1.11) I 11 I 22 Nel caso in cui lo sforzo normale sia nullo e la sollecitazione di flessione agisca lungo la direzione principale d inerzia x 1, la sollecitazione viene detta di flessione retta e la formula (1.11) si semplifica in: σ 33 = M f 1 (1.12) I 11 che è nota come formula di Navier. La verifica del rispetto delle equazioni indefinite dell equilibrio e di quelle ai limiti sul mantello della trave è immediata. Infatti, le prime già utilizzate si traducono nella costanza lungo l asse della trave di σ 33 come evidenziato dalla (1.2), e le seconde forniscono: σ Legame costitutivo n 1 n 2 = su S (1.13) Per determinare il campo di spostamenti associato allo stato tensionale (1.9), è necessario calcolare il tensore di deformazione, utilizzando le equazioni costitutive, e quindi integrarne le componenti. Poichè la trave è supposta realizzata in materiale elastico lineare isotropo, per le (9.15) e (1.1), si ha: ε 11 = ε 22 = ν E σ 33 ε 33 = 1 E σ 33 ε 23 = ε 13 = ε 12 = (1.14) Spostamenti Il campo di deformazione determinato è lineare nelle coordinate x 1 e ed è costante rispetto a x 3 ; ne consegue che le equazioni di congruenza interna (9.16) sono sicuramente soddisfatte. Esiste allora un campo di spostamenti la cui parte simmetrica del gradiente fornisce le deformazioni determinate tramite le relazioni di legame (1.14).

4 128CAPITOLO 1. SFORO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE (PROF. ELIO SACCO) 1.2 Sforzo normale centrato Nel caso che la sollecitazione esterna sia equivalente solo alla caratteristica di sforzo normale applicato al baricentro della sezione retta, le espressioni sia della tensione che degli spostamenti diventano estremamente semplici. Dalla (1.9) si ricava: σ 33 = N A Le componenti del tensore di deformazione si riducono a: (1.15) u 1,1 = ε 11 = νn u 2,2 = ε 22 = νn u 3,3 = ε 33 = N EA EA EA (1.16) u 2,3 + u 3,2 =2ε 23 = u 1,3 + u 3,1 =2ε 13 = u 1,2 + u 2,1 =2ε 12 = Si consideri il campo di spostamenti con componenti: u 1 = νn EA x 1 (1.17) u 2 = νn EA u 3 = N EA x 3 E immediato verificare che il campo di spostamento (1.17) soddisfa le equazioni (1.16). Si evidenzia che u 3 non dipende da x 1. Ciò implica che la generica sezione trasversale a deformazione avvenuta è ancora piana e parallela alla configurazione iniziale indeformata. Inoltre la componente di spostamento nel piano e 1 e 2 avviene lungo la direzione individuata da vettore posizione x = x α e α. 1.3 Flessione retta Si ha flessione retta quando lo sforzo normale è nullo ed il vettore momento flettente agisce lungo una direzione principale d inerzia; in particolare si assume M f = M f 1 e 1. In questo caso la componente di tensione non nulla è fornita dalla relazione (1.12). L asse del momento flettente è definito dal versore m tale che m = M f / M f, essendo M f la norma di M f ovvero il modulo del vettore M f. Per asse di sollecitazione s si intende l asse ortogonale alla direzione del momento flettente agente, s = m.nel caso considerato si ha s = e 2. Con asse neutro della distribuzione di tensioni da flessione si indica invece la retta, di versore n, che contiene il segmento definito sulla sezione retta luogo dei punti in cui

5 1.3. FLESSIONE RETTA 129 la tensione normale è nulla: σ 33 = α M f 1 n 2 = n = e 1 (1.18) I 11 con α numero reale. La (1.18) mostra che l asse neutro della flessione retta dovuta al momento flettente M f = M f 1 e 1 è l asse x 1. Si definisce asse di flessione, individuato dal versore f, la retta ortogonale all asse neutro, f = n. Tenuto conto della seconda relazione delle (1.18), si ha f = e 2. In definitiva sono stati definiti i seguenti assi: m = M f / M f asse del momento flettente, s = m asse di sollecitazione, n asse neutro, f = n asse di flessione. Tenendo conto delle equazioni (1.14), le equazioni di congruenza sono: ε 11 = u 1,1 = νmf 1 ε 22 = u 2,2 = νmf 1 ε 33 = u 3,3 = M f 1 (1.19) 2ε 23 = u 2,3 + u 3,2 = 2ε 13 = u 1,3 + u 3,1 = 2ε 12 = u 1,2 + u 2,1 = ed il campo di spostamenti è definito dalle relazioni: u 1 = νmf 1 x 1 (1.2) u 2 = M f 1 x 2 2EI 3 + ν u 3 = M f 1 x 3 Considerando la componente ε 33 del tensore di deformazione, si deduce che la dilatazione lineare lungo l asse della trave è una funzione lineare di, per cui la generica sezione retta della trave resta piana a deformazione avvenuta. Inoltre, tenendo conto che gli scorrimenti angolari γ 23 =2ε 23 e γ 13 =2ε 13 sono nulli, si ha che l angolo retto definito da una generica fibra della trave e la sezione retta resti inalterato a deformazione avvenuta. In definitiva si può affermare che la trave si deforma in modo tale che, a deformazione avvenuta, la generica sezione retta resti piana ed ortogonale alla deformata dell asse della trave. In altre parole viene convalidata l ipotesi di Eulero- Bernoulli introdotta per la formulazione della teoria tecnica della trave nel paragrafo

6 13CAPITOLO 1. SFORO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE (PROF. ELIO SACCO) 2.1, che afferma che: la generica sezione trasversale della trave a deformazione avvenuta è ancora piana ed ortogonale alla linea media. La rotazione ϕ della generica sezione retta x 3 = z della trave si determina applicando il principio dei lavori virtuali. Si considera come sismtema spostamenti la schema del problema della flessione e come sistema forze la trave soggetta ad una coppia unitaria lungo l asse x 1 in corrisposndenza della sezione z. Il lavoro virtuale esterno ed interno valgono: L ve =1 ϕ (1.21) z z L vi = σ SF 33 ε SS 1 M f 1 33 dadx 3 = dadx 3 I 11 = z A M f 1 dx 3 = M f 1 x 3 Eguagliando il lavoro virtuale interno con quello esterno e tenendo conto della seconda equazione delle (1.2), si ottiene: ϕ = M f 1 x 3 = du 2 (1.22) dx 3 A x1 = = la trave ruota quindi di un angolo ϕ pari alla derivata prima cambiata di segno dello spostamento in direzione dell asse di flessione. Si considerino due sezioni rette della trave poste a distanza dx 3 l una dall altra. Tenendo conto della terza relazione delle (1.19), come schematicamente illustrato in figura 1.1, la rotazione relativa dϕ tra le due sezioni vale: dϕ = ε 33 dx 3 = M f 1 dx 3 (1.23) Assumendo nulla la rotazione per x 3 =, la rotazione della generica sezione si determina integrando la relazione (1.23): Dalla relazione (1.23) si ricava allora: ϕ = M f 1 EJ 22 x 3 dϕ dx 3 = M f 1 EJ 22 (1.24)

7 1.3. FLESSIONE RETTA 131 dϕ l=(1+ε 33 )dx 3 x 3 l =dx 3 Figura 1.1: Curvatura flessionale. Si consideri l asse geometrico della trave inflessa, detta ζ un ascissa curvilinea che la percorre, il suo raggio di curvatura R è definito dalla relazione: d 2 u 2 c = 1 R = d2 u 2 dζ 2 d 3 = " µ # du2 1+ dx 3 (1.25) Per l ipotesi di piccoli spostamenti e piccoli gradienti di spostamento (du 2 /dx 3 << 1) si può supporre valida: c = 1 R ' d2 u 2 d 3 = M f 1 (1.26) nota come legge di Bernoulli 1 : la curvatura dell asse baricentrico di una trave inflessa è direttamente proporzionale al momento flettente applicato. E chiaro che, per l approssimazione fatta nel calcolo della curvatura, secondo tale legge l asse della trave si atteggerebbe come un arco di cerchio e non come un arco di parabola. Ma, vista la piccolezza degli spostamenti, R è molto grande se confrontato 1 Jacques Bernoulli (Basilea ), professore di matematica all Università di Basilea, apparteneva alla famiglia di famosi matematici e scienziati originaria di Anversa,ma stabilitasi a Basilea verso la fine del sec. XVI. Col fratello Jean sviluppò il calcolo infinitesimale, introdotto da Leibniz e Newton, indicandone numerose applicazioni alla meccanica e alla geometria.

8 132CAPITOLO 1. SFORO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE (PROF. ELIO SACCO) con qualsiasi dimensione lineare della trave, per cui la differenza tra la curva parabolica e l arco di cerchio risulta essere proporzionale ad una quantità del secondo ordine e quindi trascurabile. 1.4 Flessione deviata Si ha flessione deviata quando lo sforzo normale è nullo ed il vettore momento flettente agisce lungo una direzione non principale d inerzia. Lo studio della flessione deviata si effettua considerando la sovrapposizione degli effetti di due flessioni rette. Quindi, considerando un sistema di riferimento che sia principale d inerzia, il momento flettente agente è scomposto nelle due componenti M f = M f 1 e 1 + M f 2 e 2. Inquestocasola componente di tensione non nulla è fornita dalla relazione: σ 33 = M f 1 I 11 M f 2 I 22 x 1 (1.27) L asse del momento flettente è definito dal versore m = M f / M f, mentre asse di sollecitazione s = m.l asse neutro della distribuzione di tensioni da flessione deviata si ottiene ponendo: con σ 33 = α Ã! M f 1 n 2 M f 2 n 1 = n = I 11 I 22 v u à D = t M f 1 I 11! 2 Ã! M f I 22 ( M f 1 I 11 D M f 2 I 22 D ) (1.28) La (1.28) mostra che l asse neutro della flessione deviata risulta ortogonale all asse di sollecitazione se e solo se I 11 = I 22. L asse di flessione è individuato dal versore f = n.in figura 1.2 è riportato schematicamente il caso della flessione deviata. 1.5 Flessione composta Per flessione composta o sforzo normale eccentrico si intende la sollecitazione di sforzo normale e momento flettente. Si definisce eccentricità, o anche centro di pressione, della sollecitazione composta il punto individuato dal vettore e di componenti: ½ ¾ e1 = 1 ½ M f ¾ 2 e 2 N M f (1.29) 1

9 1.5. FLESSIONE COMPOSTA 133 f (asse di flessione) x 1 n G n (asse neutro) M η δ ξ f s s (asse di sollecitazione) Figura 1.2: Asse di sollecitazione ed asse neutro in flessione deviata. La formula (1.11) che fornisce la tensione nella sezione della trave si può allora riscrivere, sfruttando la definizione di eccentricità, come: µ 1 σ 33 = N A + e 1 x 1 + e 2 (1.3) I 22 I 11 Introducendo i raggi d inerzia ρ 2 1 = I 22 /A e ρ 2 2 = I 11 /A, l asse neutro è individuato dalla retta descritta dal vettore n tramite d equazione: Si consideri il caso e 2 =, per la (1.31) si ottiene: 1+ e 1 x ρ e 2 x 1 ρ 2 2 = (1.31) 2 x 1 = ρ2 1 e 1 (1.32) che rappresenta l equazione dell asse netru per una sollecitazione di flessione composta caratterizzata da momento flettente M f 1 =. Dalla formula (1.32) si deduce che l asse neutro corrispondente ad all eccentricità {e 1, } è una retta parallela all asse coordinato posta dalla parte opposta dell eccentricità rispetto al baricentro della sezione; inoltre, dalla formula (1.32) si nota che l asse neutro tende all infinito per e 1 etendeazeropere 1.

10 134CAPITOLO 1. SFORO NORMALE E MOMENTO FLETTENTE (PROF. ELIO SACCO) Si consideri ora l equazione di una retta tangente la frontiera della sezione retta del tipo: ax 1 + b + c = si assumi che tale retta rappresenti l asse neutro di una sollecitazione composta; semplici calcoli mostrano che l eccentricità associata a tale asse neutro è fornita dall espressione: e 1 = a c ρ2 1 e 2 = b c ρ2 2 Al variare della retta tangente considerata, cambia l eccentricità associata. L insieme di tutte le eccentricità associate a tutte le tangenti alla sezione retta descrive una linea chiusa. L insieme dei punti interni a tale linea chiusa viene chiamato nocciolo d inerzia. Si nota quanto segue: per un eccentricità interna al nocciolo d inerzia, l asse neutro della sollecitazione di flessione composta è esterno alla sezione retta; per un eccentricità sulla frontiera del nocciolo d inerzia, l asse neutro della sollecitazione di flessione composta è esterno tangente la sezione retta; per un eccentricità esterna al nocciolo d inerzia, l asse neutro della sollecitazione di flessione composta è esterno alla sezione retta. Il nocciolo d inerzia assume particolare importanza per travi realizzate con materiale caratterizzato da differente comportamento a trazione ed a compressione. E questo il caso, ad esempio, dei materiali non reagenti a trazione.