Gli indici tensoriali in corsivo (i, j, k, ) hanno il range (1,2,3). L insieme dei numeri reali

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1 Introdzione I.3 SHEMA DI NOTAZIONE Vettori e tensori insieme a nzioni aventi come valori qantità di qesto tipo sono indicati con lettere in grassetto. Le componenti di qeste qantità sono indicate con lettere normali provviste di indici. I pnti, gli scalari ed i campi scalari sono indicati anch essi con lettere normali. Gli scalari sono indicati con lettere normali minscole o maiscole in corsivo (α, β, γ. Γ,, a, b A, B). I vettori sono indicati con lettere minscole in grassetto ed in corsivo (a, b, c, ). I pnti dello spazio sono indicati con le segenti lettere: X, Y, Z, x, y, z. I tensori ed i campi tensoriali sono indicati con lettere maiscole in grassetto ed in corsivo (A, B,, ). Nello spazio eclideo le regioni sono indicate con lettere maiscole in corsivo (B, D, ), mentre le sperici e gli insiemi con lettere del tipo Script (S,, V, ). Gli indici tensoriali in corsivo (i, j, k, ) hanno il range (1,2,3). L insieme dei nmeri reali sarà indicato con. Qando gli indici sono ripetti si intendono, di norma, sommati. Nel presente lavoro si indicherà con V lo spazio vettoriale associato allo spazio eclideo di dimensione tre, con Lin lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari da V in V chiamate tensori del secondo ordine. In particolare, si tilizzerà la segente notazione: Lin + = l insieme di ttti i tensori con determinante positivo; Orth = l insieme di ttti i tensori ortogonali; Orth + = l insieme di ttte le rotazioni; Sym= l insieme di ttti i tensori simmetrici; PSym= l insieme di ttti i tensori simmetrici deiniti positivi; Skw= l insieme di ttti i tensori antisimmetrici; I-13

2 Introdzione. Indice dei simboli più tilizzati nel presente lavoro Simbolo a œ v (i) (i) λ i Descrizione Ampiezza della singolarità per n onda di accelerazione Appartenenza Assi principali Eleriani Assi principali Lagrangiani Atovalori di U ampo di spostamenti D( ) ampo dierenza SE SSE SD SM SM B B χ δ ij ondizione di ellitticità orte del tensore dei modli ondizione di Legendre-Hadamard o di semi-ellitticità orte ondizione di stabilità materiale dinamica ondizione di stabilità materiale ininitesima o deinitezza positiva (1) del tensore ondizione di stabilità materiale ininitesima o deinitezza positiva del tensore onigrazione corrente del corpo onigrazione di rierimento del corpo Deormazione dalla conigrazione di rierimento Delta di Kronecker det P ρ Derivata convettiva di Derivata corotazionale di Derivata materiale di Determinante Direzione del lsso plastico Distribzione di massa nella conigrazione B ρ Distribzione di massa nella conigrazione B Div, div Divergenza valtata rispetto a X o x, rispettivamente Eqivalenza G(F) Fnzione di risposta di n materiale elastico H(F) Fnzione di risposta nominale di n materiale elastico Fnzione scala (Hill, 1968) I-14

3 Introdzione F Gradiente della deormazione F ( ) ( t ) τ Gradiente della deormazione relativa al tempo t L Gradiente delle velocità H Gradiente dello spostamento Grad, grad Gradiente preso rispetto a X o x, rispettivamente l Implicazione χ, χ Incremento di deormazione Intersezione J Jacobiano della trasormazione x i =χ i (X j ) E (-2) E (1) Misra di deormazione di Almansi -Hamel Misra di deormazione di Biot E, E (2) Misra di deormazione di Green-St. Venant o di Green-Lagrange E () F (V) Misra di deormazione di Hencky Misre di deormazione Eleriane alla Hill F(U) k m h l g n n θ β ϖ r A m x X Misre di deormazione Lagrangiane alla Hill Modlo di comprimibilità volmetrica Modlo di elasticità tangenziale Modlo di hardening Modlo di Lamè Modlo di Modlo plastico Normale all elemento di spericie nella conigrazione deormata Normale all elemento di spericie nella conigrazione di rierimento Normale alla spericie del potenziale plastico Normale alla spericie di snervamento nello spazio delle deormazioni Normale alla spericie di snervamento nello spazio delle tensioni Parametro che deinisce la amiglia dei solidi di conronto di aniecki Parte simmetrica del tensore A Polarizzazione di n onda piana ininitesima Posizione della particella nella conigrazione attale Posizione della particella nella conigrazione di rierimento I-15

4 Introdzione. U q T x Potenziale del gradiente della deormazione incrementale introdotto da Hill (1959) Pressione idrostatica nel legame costittivo in termini del tensore di achy per n materiale incompressibile Primo tensore di Piola-Kirchho Prodotto diadico Prodotto scalare Prodotto vettoriale $ Qantiicatore esistenziale " Qantiicatore niversale T (2) E (m) E Ψ Φ t i,σ i ( ) Secondo tensore di Piola-Kirchho Sottoclasse delle misre di deormazione alla Hill Spazio tridimensionale eclideo Spericie di snervamento nello spazio delle deormazioni Spericie di snervamento nello spazio delle tensioni Tensione principale di achy Q n Tensore acstico associato alla direzione di propagazione n nel caso in ci a conigrazione di rierimento coincide con qella corrente N Tensore associato al vincolo di incompressibilità per il tensore di achy N Tensore associato al vincolo di incompressibilità per il tensore delle tensioni generalizzato T (m) Tensore dei modli associati alla coppia conigata (T (m),e (m) ) Tensore dei modli associati alla coppia conigata (T,F(U)) * Tensore dei modli associati alla coppia conigata (T,F(U)) per il solido di conronto Tensore dei modli associati alla coppia conigata (T,F) * Tensore dei modli associati alla coppia conigata (T,F) per il solido di conronto e Tensore dei modli elastici istantanei per n materiale elastoplastico associati alla coppia conigata (T,F) e Tensore dei modli elastici istantanei per n materiale elastoplastico associati alla coppia conigata (T,F(U)) e e Tensore dei modli elastici per n materiale elasto-plastico associati alla coppia conigata (T,F) Tensore dei modli elastici per n materiale elasto-plastico associati alla coppia conigata (T,F(U)) (m) Tensore dei modli istantanei associati alla coppia conigata (T (m),e (m) ) I-16

5 Introdzione Tensore dei modli istantanei associati alla coppia conigata (T,F(U)) = [ + -q 1 (1) ] I Tensore dei modli istantanei associati alla coppia conigata (T,F(U)) per n materiale incompressibile Tensore dei modli istantanei associati alla coppia conigata (T,F) Tensore dei modli istantanei associati alla coppia conigata (T,F) per n materiale incompressibile Tensore dei modli istantanei associato all incremento corotazionale del tensore di achy E Tensore delle deormazioni ininitesime T () T (1) T T K U Tensore delle tensioni conigato con la deormazione logaritmica Tensore delle tensioni di Biot Tensore delle tensioni di achy Tensore delle tensioni di Kirchho Tensore destro della deormazione Tensore destro di achy-green Tensore di rotazione della decomposizione polare di F 1 Tensore identità I Tensore identità del qarto ordine ( ) -1 Tensore inverso V B D T T (m) o( ) tr Tensore sinistro della deormazione Tensore sinistro di achy-green Tensore velocità di deormazione Tensori delle tensioni conigati alle misre di deormazione F(U) Tensori delle tensioni conigati con la misra di deormazione E (m) o( ) Termine che va a zero più velocemente di, i.e. im = Traccia di n tensore» Unione d c Variazione prima di Velocità di propagazione di n onda piana ininitesima o di n onda di accelerazione I-17