Forze di contatto. Forze. Sistemi in moto relativo. Forze apparenti

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1 di contatto Le forze di contatto o reazioni vincolari sono forze efficaci che descrivono l interazione tra corpi estesi (dotati di una superficie!) con un modello fenomenologico. La validità della descrizione è legata a quanto il modello si discosta dalla realtà che viene osservata. Le forze di contatto agiscono tra due corpi ideali: indeformabili - durante il contatto non si modifica la geometria del vincolo, cioè della superficie di contatto. impenetrabili - il vincolo impedisce il movimento dei corpi nella direzione vincolata, in modo da evitare che occupino lo stesso spazio. lisci - non sono presenti altre interazioni tranne quella che impedisce il movimento nella direzione vincolata. 1 / 36 Da queste premesse derivano le caratteristiche delle forze vincolari tanto più valide quanto più i corpi sono vicini al modello ideale.

2 di contatto La direzione e il verso di una forza di contatto esercitata da un corpo su un altro corpo è quella della sua superficie nel punto di contatto, diretta verso l esterno del corpo. superficie piano tangente vettore normale 2 / 36 Si tratta quindi di forze che corpi indeformabili e lisci esercitano perpendicolarmente alla propria superficie.

3 di contatto Il punto di contatto è anche il punto di applicazione della forza: se i corpi sono a superficie piana esiste un indeterminazione sul punto di applicazione. La forza di contatto impedisce il perpendicolarmente al vincolo: la sua intensità non è nota se non quando sono note le altre forze che agiscono sul corpo - non a caso si chiama anche reazione vincolare! La impenetrabilità di un corpo garantisce che la forza di contatto sia sempre sufficiente a dare una risultante delle forze perpendicolarmente al vincolo nulla. mg + N 1 = ma = 0 mg N 1 = 0 N 1 = mg 3 / 36

4 di contatto Il punto di contatto è anche il punto di applicazione della forza: se i corpi sono a superficie piana esiste un indeterminazione sul punto di applicazione. La forza di contatto impedisce il perpendicolarmente al vincolo: la sua intensità non è nota se non quando sono note le altre forze che agiscono sul corpo - non a caso si chiama anche reazione vincolare! La impenetrabilità di un corpo garantisce che la forza di contatto sia sempre sufficiente a dare una risultante delle forze perpendicolarmente al vincolo nulla. mg + F 2 + N 2 = ma = 0 mg + F 2 N 2 = 0 N 2 = mg + F 2 4 / 36

5 di contatto Il punto di contatto è anche il punto di applicazione della forza: se i corpi sono a superficie piana esiste un indeterminazione sul punto di applicazione. La forza di contatto impedisce il perpendicolarmente al vincolo: la sua intensità non è nota se non quando sono note le altre forze che agiscono sul corpo - non a caso si chiama anche reazione vincolare! La impenetrabilità di un corpo garantisce che la forza di contatto sia sempre sufficiente a dare una risultante delle forze perpendicolarmente al vincolo nulla. mg + F 2 + N 2 = ma mg + F 2 cos(π/4) N 2 = 0 N 2 = mg + F 2 cos(π/4) F 2 sin(π/4) = ma 5 / 36

6 Forza di attrito Le forze di attrito sono forze di contatto tra due corpi (eventualmente tra un corpo e un mezzo) che in generale si oppongono al. Come nel caso delle reazioni vincolari sono forze per le quali sono stati sviluppati modelli fenomenologici che ne descrivono approssimativamente le caratteristiche. Per le forze di attrito che derivano dal contatto tra le superfici di due corpi parliamo di attrito statico e attrito dinamico Per le forze di attrito che derivano dall interazione tra un corpo e il fluido nel quale il corpo è immerso e nel quale è in movimento parliamo di attrito viscoso 6 / 36

7 Forza di attrito statico L attrito statico è un fenomeno che si verifica quando due corpi hanno una superficie (piana, approssimativamente piana, possibilmente non puntiforme!) a contatto e non sono in movimento l uno rispetto all altro ( statico ) La forza di attrito statico può essere vista come una forza che impedisce il di un corpo rispetto all altro. La forza di attrito statico è diretta in direzione perpendicolare al versore normale alla superficie dell altro corpo ( lungo la superficie). Il verso della forza di attrito statico è quello che permette alla forza di bilanciare le altre forze agenti sul corpo sul quale agisce in modo da avere una risultante nulla lungo la superficie. 7 / 36

8 Forza di attrito statico L intensità è quella sufficiente ad avere una risultante nulla delle forze lungo la superficie Esiste una intensità massima oltre la quale la forza di attrito statico non è più in grado di impedire il movimento. Sperimentalmente si osserva che l intensità massima della forza di attrito tra due corpi dipende linearmente dalla forza di contatto tra i due corpi e attraverso una costante dal materiale di cui sono composti i corpi. In formule F Amax = µ s N Valori del coefficiente di attrito statico per alcune superfici. Notare che il valore del coefficiente può essere maggiore di 1. 8 / 36

9 Forza di attrito statico N 1 + mg = 0 9 / 36

10 Forza di attrito statico N 2 + mg 0 10 / 36

11 Forza di attrito statico N 2 + mg + F A = 0 11 / 36

12 Forza di attrito statico N 2 + mg + F A = 0 12 / 36

13 Forza di attrito statico N 2 + mg + F A = 0 N 2 mg cos(θ 0) = 0 F A = mg sin(θ 0) 13 / 36

14 Forza di attrito statico N 2 + mg + F A = 0 N 2 mg cos(θ 0) = 0 F A = mg sin(θ 0) F Amax = µ sn 2 = µ smg cos(θ 0) F A < F Amax µ s > tan(θ 0) 14 / 36

15 Forza di attrito statico N 2 + mg + F A = 0 N 2 mg cos(θ 0) = 0 F A = mg sin(θ 0) F Amax = µ sn 2 = µ smg cos(θ 0) F A > F Amax θ 0 > arctan(µ s) 15 / 36

16 Forza di attrito dinamico L attrito dinamico è un fenomeno che si verifica quando due corpi hanno una superficie (piana, approssimativamente piana, possibilmente non puntiforme!) a contatto e sono in movimento l uno rispetto all altro ( dinamico ). Sperimentalmente si osserva che l intensità della forza di attrito dinamico tra due corpi dipende linearmente dalla forza di contatto tra i due corpi e attraverso una costante dal materiale di cui sono composti i corpi. In formule F Adyn = µ d N. Il coefficiente di attrito dinamico tra due superfici non può essere maggiore del coefficiente di attrito statico - altrimenti il corpo non si metterebbe in movimento... All interno del suo campo di validità l espressione per l attrito dinamico mostra come la forza non sia dipendente dalla velocità dei corpi 16 / 36

17 Forza di attrito viscoso L attrito viscoso è un fenomeno cui va incontro un corpo in movimento all interno di un fluido. A differenza dell attrito tra due superfici, la forza di attrito viscoso cresce al crescere della velocità del corpo nel fluido, e tende a zero quando la velocità diventa nulla. La dipendenza funzionale dalla velocità dipende dal regime del nel fluido, nonchè dalla forma e dimensioni del corpo, e dalla viscosità del fluido. Per uno stesso corpo e uno stesso fluido, a velocità piccole l attrito è proporzionale alla velocità, mentre a velocità grandi è proporzionale al quadrato della velocità. 17 / 36

18 Forza di attrito viscoso Se una velocità sia piccola o grande dipende dal numero di Reynolds: La viscosità calcolata in unità di misura del SI assume valori caratteristici: Al variare del numero di Reynolds R e si ha: R e = ρvl µ ρ densità del fluido v velocità scalare relativa tra fluido e particella L lunghezza caratteristica del sistema (raggio se sfera, larghezza se lamina...) µ viscosità, definita in base alla forza necessaria per dare velocità al fluido: µ = F d A u 18 / 36

19 Forza di attrito viscoso Se una velocità sia piccola o grande dipende dal numero di Reynolds: La viscosità calcolata in unità di misura del SI assume valori caratteristici: Al variare del numero di Reynolds R e si ha: per fluidi poco viscosi come l acqua, µ Ord (10) 3 per fluidi molto viscosi come l olio, µ O(1), Ord (10) 1 per gas, µ Ord (10) 5 19 / 36

20 Forza di attrito viscoso Se una velocità sia piccola o grande dipende dal numero di Reynolds: La viscosità calcolata in unità di misura del SI assume valori caratteristici: Al variare del numero di Reynolds R e si ha: R e < 1 Forza di attrito proporzionale alla velocità, e.g. legge di Stokes per sfere in fluido: F a = 6πµrv 20 / 36

21 Forza di attrito viscoso Se una velocità sia piccola o grande dipende dal numero di Reynolds: La viscosità calcolata in unità di misura del SI assume valori caratteristici: Al variare del numero di Reynolds R e si ha: R e Ord (10) 3 Moto in regime turbolento, indipendente dalla viscosità ( inerziale ), forza di attrito proporzionale al quadrato della velocità: F a = 1 2 caeroρatrasvv2 21 / 36

22 Forza di attrito viscoso Se una velocità sia piccola o grande dipende dal numero di Reynolds: La viscosità calcolata in unità di misura del SI assume valori caratteristici: Al variare del numero di Reynolds R e si ha: R e < Ord (10) 3 Moto in regime laminare, forza di attrito proporzionale alla velocità stimabile con la legge di Stokes: 22 / 36

23 Forza di attrito viscoso: esempi 23 / 36 Goccia di acqua microscopica (r 10 µm) in aria R e = ρvl µ = O(1)Ord(10) 2 Ord(10) 5 Ord(10) 5 << 1 con attrito viscoso proporzionale alla velocità secondo la legge di Stokes Biglia di acciaio del diametro di un centimetro che cade dentro l olio di glicerina ad una velocità tipica di circa un metro al secondo. R e = ρvl µ = Ord(10)3 O(1)Ord(10) 2 O(1) 10 laminare se attrito viscoso proporzionale alla velocità secondo la legge di Stokes, l intensità della forza di attrito F a = 6πµrv 0.10 N se attrito viscoso proporzionale alla velocità al quadrato l intensità della forza di attrito F a = 1 2 caeroρatrasvv N In regime laminare si preferisce usare la legge di Stokes Proiettile di pistola in acqua: R e = ρvl µ = O(1000)Ord(10)2 Ord(10) 2 Ord(10) con attrito viscoso proporzionale al quadrato della velocità F a = 1 2 caeroρatrasvv2 500 N

24 Due sistemi di riferimento cartesiani L esperienza ci porta a considerare possibile la scelta del sistema di riferimento cartesiano a nostro piacere - eventualmente il più comodo. La posizione di un sistema di riferimento rispetto ad un altro è specificata una volta individuata l origine e l orientamento degli assi dell uno rispetto all altro. La posizione P di un punto in un sistema di riferimento (x, y, z) è esprimibile in termini della posizione P del punto nell altro sistema di riferimento (x, y, z ) e della posizione dell origine del sistema (x, y, z ) nel sistema (x, y, z) OO. 24 / 36

25 Due sistemi di riferimento cartesiani L esperienza ci porta a considerare possibile la scelta del sistema di riferimento cartesiano a nostro piacere - eventualmente il più comodo. La posizione di un sistema di riferimento rispetto ad un altro è specificata una volta individuata l origine e l orientamento degli assi dell uno rispetto all altro. La posizione P di un punto in un sistema di riferimento (x, y, z) è esprimibile in termini della posizione P del punto nell altro sistema di riferimento (x, y, z ) e della posizione dell origine del sistema (x, y, z ) nel sistema (x, y, z) OO. 25 / 36

26 Due sistemi di riferimento cartesiani L esperienza ci porta a considerare possibile la scelta del sistema di riferimento cartesiano a nostro piacere - eventualmente il più comodo. La posizione di un sistema di riferimento rispetto ad un altro è specificata una volta individuata l origine e l orientamento degli assi dell uno rispetto all altro. La posizione P di un punto in un sistema di riferimento (x, y, z) è esprimibile in termini della posizione P del punto nell altro sistema di riferimento (x, y, z ) e della posizione dell origine del sistema (x, y, z ) nel sistema (x, y, z) OO. 26 / 36

27 Due sistemi di riferimento cartesiani L esperienza ci porta a considerare possibile la scelta del sistema di riferimento cartesiano a nostro piacere - eventualmente il più comodo. La posizione di un sistema di riferimento rispetto ad un altro è specificata una volta individuata l origine e l orientamento degli assi dell uno rispetto all altro. La posizione P di un punto in un sistema di riferimento (x, y, z) è esprimibile in termini della posizione P del punto nell altro sistema di riferimento (x, y, z ) e della posizione dell origine del sistema (x, y, z ) nel sistema (x, y, z) OO. P = OO + P 27 / 36

28 Posizione, velocità e accelerazione relativa In generale in un sistema di riferimento possiamo prendere due vettori posizione x 1 e x 2, e poi domandarci quale è la posizione del punto 2 se consideriamo come origine il punto 1 ( la posizione relativa del punto 2 rispetto al punto 1 ): la posizione relativa x 1x 2 o x 12 è il vettore spostamento x = x 2 x 1. La velocità del punto 2 rispetto al punto 1 è la velocità relativa v 2,1 ottenuta dalla derivata della posizione relativa: v 2,1 = dx12 d(x2 x1) = = v 2 v 1. dt dt La accelerazione relativa a 2,1 è analogamente ottenuta dalla derivata della velocità relativa: a 2,1 = dv2,1 d(v2 v1) = = a 2 a 1. dt dt Invertendo il ragionamento otteniamo che: x 21 = x 1 x 2 = x 12 v 1,2 = v 2,1 a 1,2 = a 2,1 28 / 36

29 Posizione, velocità e accelerazione in due sistemi di riferimento Se ora il punto 1 rappresenta l origine di un sistema di riferimento e il punto 2 rappresenta la posizione di un punto - eventualmente l origine del sistema di riferimento 2, possiamo dire che x 1x 2 è la posizione del punto 2 nel sistema di riferimento 1 : x 1 x 2. Per evitare fraintendimenti tra elevazione al quadrato e sistema di riferimento si indicano i sistemi di riferimento con degli apici: per cui se x 1 P (o più semplicemente x P ) è una posizione nel sistema di riferimento 1 (senza apici) abbiamo che x P è la posizione dello stesso punto espressa nel sistema di riferimento 2. Analogamente definiamo velocità e accelerazione di 2 in 1 come v 1 2 o v 2 e a 1 2 o a 2. Considerando le cose relativamente dal punto di vista di 2 abbiamo: x 1 x 2 = x x2 = x x 1 v 2 = v 1 a 2 = a 1 29 / 36

30 Trasformazione delle velocità Se ora il punto descritto dal vettore posizione P (t) nel sistema di riferimento (x, y, z) è in possiamo esprimere la sua dp (t) velocità V P = vista nel sistema di riferimento (x, y, z ): dt V P = dp (t) = d(p (t) OO ) = V P. Ovvero: la velocità dt dt di un corpo descritta in due sistemi di riferimento diversi, immobili tra di loro, è uguale. 30 / 36

31 Sistemi di riferimento in translatorio tra di loro Quando due sistemi sono in traslatorio tra di loro si ha che il dell origine O del sistema (x, y, z ) può essere descritto come il di un corpo nel sistema (x, y, z), fermo restanto che l orientamento degli assi cartesiani dei due sistemi rimanga immutato nel tempo. In un traslatorio non è necessario che la velocità relativa dei sistemi di riferimento sia costante. 31 / 36

32 Sistemi di riferimento in translatorio tra di loro Quando due sistemi sono in traslatorio tra di loro si ha che il dell origine O del sistema (x, y, z ) può essere descritto come il di un corpo nel sistema (x, y, z), fermo restanto che l orientamento degli assi cartesiani dei due sistemi rimanga immutato nel tempo. In un traslatorio non è necessario che la velocità relativa dei sistemi di riferimento sia costante. OO (t) = OO (0) + V O t OO (t) = OO (0) + V O (t)dt 32 / 36

33 Sistemi di riferimento in translatorio tra di loro Quando due sistemi sono in traslatorio tra di loro si ha che il dell origine O del sistema (x, y, z ) può essere descritto come il di un corpo nel sistema (x, y, z), fermo restanto che l orientamento degli assi cartesiani dei due sistemi rimanga immutato nel tempo. In un traslatorio non è necessario che la velocità relativa dei sistemi di riferimento sia costante. OO (t) = OO (0) + V O t OO (t) = OO (0) + V O (t)dt O O(t) = O O(0) + V O t O O(t) = O O(0) + V O (t)dt O O(t) = OO (0) V O t O O(t) = OO (0) V O (t)dt 33 / 36

34 Trasformazione delle velocità È facile per sistemi in traslatorio ottenere l espressione per la velocità di un punto espressa in uno dei due sistemi, una volta note la velocità nell altro e la velocità relativa dei due sistemi: questa operazione si chiama trasformazione Galileiana delle velocità. V P = d(p (t) OO ) = V P V O (t) dt V P = V P + V O (t) V P = d(p (t) O O) dt = V P V O (t) 34 / 36

35 Trasformazione delle accelerazioni Sempre per sistemi in traslatorio otteniamo l espressione per le accelerazioni derivando ulteriormente: A P = A P A O (t) A P = A P + A O (t) A P = A P A O (t) Per sistemi in uniforme traslatorio - sistemi inerziali - le accelerazioni sono uguali nei due sistemi di riferimento. A P = A P 35 / 36

36 traslatorio rettilineo accelerato Un corpo di massa m soggetto a forze reali in un sistema inerziale F I si muove con accelerazione ma I = F I. Prendiamo lo stesso corpo, soggetto sempre alle stesse forze reali, questa volta in un sistema di riferimento non inerziale che si muove in rettilineo accelerato misurato con accelerazione a IT R in un altro sistema di riferimento (il più possibile) inerziale. Per le accelerazioni abbiamo: a NI = a I a IT R Chi si trova nel sistema di riferimento non inerziale misurerà un accelerazione quindi pari a quella che aveva nel sistema inerziale, ed una accelerazione dovuta all accelerazione del suo sistema. In termini di forze, applicando il secondo principio, abbiamo: ma NI = F I ma IT R ma NI = F I + F AP P F AP P = ma IT R 36 / 36