Esercizi sintetici sull analisi cinematica di sistemi articolati

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1 Fondamenti di Meccanica Strutturale Aerospaziali AA 2012/2013 Esercizi sintetici sull analisi cinematica di sistemi articolati Analisi cinematiche sintetiche e complete. Abbreviazioni usate: AC = analisi cinematica CIR = centro di istantanea rotazione CR = corpo rigido GDVE = gradi di vincolo esterni o assoluti GDVI = gradi di vincolo interni o relativi GDL = gradi di liberta Si ricorda che (a) travi cerniera-carrello, (b) archi a tre cerniere e (c) quadrilateri articolati sono strutture in cui GDV = GDL (isostatiche) per definizione, ma che possono essere labili. Identificare una struttura come (a), (b) o (c) non e sufficiente a completare l analisi cinematica. 1. Esercizio Struttura a sinistra. Due CR (6 GDL) e tre vincoli doppi (6 GDV) che individuano un arco a tre cerniere. I tre CIR sono nel punto D (CIR assoluto per l asta BD), in direzione + /4 (CIR assoluto per l asta AB) e in direzione verticale (CIR relativo tra le due aste AB e BD). I tre CIR non sono allineati, perche la retta verticale passante per D non ha direzione + /4, quindi il sistema e non labile. Eseguire l AC per la struttura a destra.

2 2. Esercizio Struttura a sinistra. Singolo CR (3 GDL) con due vincoli doppi a terra (4 GDVE). Il sistema e una volta iperstatico. La struttura puo essere resa isostatica trasformando: (i) la cerniera in D in un carrello a scorrimento verticale; (ii) il pattino in A in carrello a scorrimento orizzontale; (iii) il pattino in A in pattino-manicotto. Indicare come rendere isostatica la struttura a destra. 3. Esercizio Singolo CR (3 GDL) con un vincolo triplo, uno doppio e uno semplice a terra (6 GDVE). Il sistema e tre volte iperstatico. L incastro e sufficiente a bloccare tutti gli spostamenti nel piano, cerniera e carrello sono ridondanti. La struttura puo essere resa isostatica (i) rimuovendo sia il carrello B sia la cerniera A; (ii) rimuovendo l incastro D.

3 4. Esercizio Struttura in alto. Due CR (6 GDL) con un vincolo doppio e due vincoli semplici a terra (4 GDVE) e con un vincolo doppio interno (2 GDVI). Il sistema isostatico. L asta CB e una trave-cerniera carrello non labile (la retta d azione del carrello e la retta in B inclinata a /4 e non passa per il CIR della cerniera in C). La cerniera in A non si puo muovere ed si comporta come vincolo assoluto. L asta AE e una trave-cerniera carrello non labile (la retta d azione del carrello e la retta in E inclinata di /4 che non passa per il CIR della cerniera in A). Eseguire l AC per la struttura in basso.

4 5. Esercizio Quattro CR (12 GDL) con due vincoli doppi esterni (4 GDVE) e con quattro vincoli doppi interni disposti nella tipica configurazione di quadrilatero articolato. Il sistema e isostatico. La labilita si verifica cercando la posizione della cerniera relativa tra le due aste a terra AC e GI, definita dalle due bielle CD e BI. La biella CD ha retta d azione inclinata a /4 passante per D. La biella BI ha retta d azione verticale passante per I. Le due rette di azione si intersecano nel punto D che e CIR relativo per le due aste AC e GI. Il sistema e equivalente a un arco a tre cerniere con CIR assoluti nei punti A e G e CIR relativo nel punto D. I tre CIR non sono allineati, il sistema e non labile.

5 6. Esercizio Quattro CR (12 GDL) con un vincolo triplo e un vincolo doppio esterni (5 GDVE) e con tre vincoli doppi e un vincolo semplice interni (7 GDVI). Il sistema e isostatico. Relativamente al resto della struttura, le aste GF e FC costituiscono un arco a tre cerniere non labile (i tre CIR nei punti G, F e C non sono allineati) e possono essere eliminate ai fini dell AC. L asta BG e vincolata a terra con incastro, e il carrello in B corrisponde a un vincolo semplice assoluto. L asta DB e una trave cerniera-carrello non labile: la retta d azione del carrello e l orizzontale in B e non passa per D.

6 7. Esercizio Tre CR (9 GDL) con un vincolo doppio e un vincolo quadruplo a terra (6 GDVE) e con due vincoli relativi doppi (4 GDVI). Il vincolo quadruplo e la cerniera in B che ha effetto sulle aste BG e BC. Il sistema e una volta iperstatico. Relativamente al resto della struttura, le aste BG e GE costituiscono un arco a tre cerniere non labile (i tre CIR nei punti B, G ed E non sono allineati) e possono essere eliminate ai fini dell AC. L asta BC e vincolata a terra con 4 vincoli ed e iperstatica esternamente. La struttura e resa isostatica non labile: (i) sostituendo il pattino in C con un carrello a scorrimento verticale oppure con un pattino-manicotto; (ii) sostituendo la cerniera in B con un carrello a scorrimento orizzontale (la cerniera che lega l asta BA e l asta BG non deve essere sconnessa, il vincolo interno deve continuare ad esistere; il vincolo in deve avere 3 GDV = 2 GDVI + 1GDVE); (iii) introducendo un manicotto a scorrimento orizzontale relativo in A.

7 8. Esercizio Tre CR (9 GDL) con due vincoli doppi e un vincolo semplice esterni (5 GDVE); e due vincoli doppi e un vincolo semplice interni (5 GDVI). Il sistema e una volta iperstatico. Relativamente al resto della struttura, l asta AF e una trave cerniera-carrello non labile (la retta d azione del carrello e la verticale in F che non passa per il CIR della cerniera in A), appoggiata alla struttura: puo essere eliminata ai fini della AC. Relativamente al resto della struttura, anche l asta DG e una trave cerniera-carrello non labile (la retta d azione del carrello e la verticale in G che non passa per il CIR in D), appoggiata a terra e al resto della struttura: puo essere eliminata ai fini della AC. L asta CB e vincolata a terra con due vincoli doppi, quindi una volta iperstatica esternamente. Puo essere resa isostatica non labile: (i) sostituendo il pattino in C con un carrello a scorrimento verticale; o (ii) sostituendo il manicotto in B con un carrello a scorrimento orizzontale. 9. Esercizio Cinque CR (15 GDL) con due vincoli doppi e un vincolo semplice esterno (5 GDVE) e tre vincoli doppi e un vincolo quadruplo interno (10 GDVI). La struttura e isostatica. Le aste AB e BD costituiscono un arco a tre cerniere non labile (i CIR sono la direzione orizzontale, la direzione verticale e il punto B, pertanto non sono allineati). Ne segue che le cerniere in C e in B si comportano come vincoli assoluti. L asta CE e una biella con retta d azione verticale passante per C. L asta BE e una biella con retta d azione orizzontale passante per E. Entrambe le bielle vincolano l asta EG come carrelli assoluti. L asta EG e vincolata a terra con due carrelli a scorrimento orizzontale (in C e in G) e con un carrello a scorrimento verticale in E. La struttura e non labile.

8 10. Esercizio Tre CR (9 GDL) con un vincolo triplo e un vincolo semplice esterni (4 GDVE) e con tre vincoli doppi interni (6 GDVI). Il sistema e una volta iperstatico. L asta GE e incastrata a terra, e la cerniera in E puo essere considerata assoluta. Il sistema risultante e equivalente a una trave cerniera-carrello non labile, con una cerniera assoluta in E e un carrello assoluto con retta d azione orizzontale passante per C. Le aste ED e BD formano un anello chiuso con due svincoli (cerniera in B e manicotto in D) una volta iperstatico internamente. Per rendere il sistema isostatico occorre introdurre uno svincolo nell anello chiuso. Ad esempio, si puo (i) introdurre una cerniera relativa in A tra ED e AB; (ii) trasformare il pattino in D in un carrello a scorrimento verticale; (iii) trasformare la cerniera in B in carrello a scorrimento orizzontale; (iv) introdurre una cerniera interna in C tra le aste CB e BD.

9 11. Esercizio Struttura in alto. Tre CR (9 GDL) con due vincoli doppi esterni (4 GDVE) e con tre vincoli doppi interni (6 GDVI). Il sistema e una volta iperstatico. Relativamente al resto della struttura, le aste CF e FA costituiscono un arco a tre cerniere non labile (i CIR sono in C, F, ed A e non stanno sulla stessa retta), che puo essere rimosso al fine dell AC. L asta DB e vincolata a terra con due cerniere in B e D ed e una volta iperstatica. Per renderla isostatica si puo trasformare una delle due cerniere in un carrello con scorrimento orizzontale o verticale. Eseguire l AC per la struttura in basso.

10 12. Esercizio Cinque CR (15 GDL) con due vincoli doppi esterni (4 GDVE) e con quattro vincoli doppi e un vincolo quadruplo interno (12 GDVI). Il sistema e una volta iperstatico. Relativamente al resto della struttura, le aste FG e GE sono un arco a tre cerniere non labile (i CIR sono i punti E e G e la direzione verticale, e non stanno sulla stessa retta), che puo essere rimosso al fine dell AC. Relativamente al resto della struttura, le aste CE e BE costituiscono un arco a tre cerniere non labile (i CIR sono i punti C, E e B e non stanno sulla stessa retta), che ancora puo essere rimosso al fine dell AC. L asta AC e vincolata a terra con due vincoli doppi ed e una volta iperstatica. Per renderla isostatica, si puo : (i) sostituire il pattino in C con un carrello a scorrimento verticale (o con un pattino-manicotto); (ii) la cerniera in A con un carrello a scorrimento orizzontale.

11 13. Esercizio Tre CR (9 GDL) con due vincoli tripli e un vincolo doppio a terra (7 GDVE) e con due vincoli doppi interni (4 GDVI). Il sistema e due volte iperstatico. L asta BF e incastrata a terra e la cerniera in F e il pattino in A si comportano come vincoli assoluti. L asta FE e una trave cerniera-carrello non labile (la retta d azione del carrello e la verticale in E e non passa per il CIR della cerniera in F). L asta DA e vincolata a terra con un incastro cedevole alle rotazioni (c e una molla rotazionale in D che impedisce parzialmente le rotazioni della cerniera), pertanto i due vincoli del pattino in A sono ridondanti. La struttura puo essere resa isostatica (i) rimuovendo il pattino in A (ma cosi si ottengono due strutture indipendenti); (ii) trasformando l incastro cedevole in un carrello a scorrimento verticale.

12 14. Esercizio Quattro CR (12 GDL) con due vincoli doppi e un vincolo semplice a terra (5 GDVE) e con quattro vincoli doppi interni (8 GDVI). Il sistema e una volta iperstatico. L anello chiuso costituito dalle aste FH e HA e isostatico non labile (i tre CIR dei vincoli interni, in F, in H e in direzione verticale, non sono sulla stessa retta) e puo essere considerato come un unico CR. La biella CA e equivalente a un carrello esterno applicato all asta BE nel punto A. L asta BE e vincolata a terra con 2 carrelli a scorrimento orizzontale e una cerniera, ed e una volta iperstatica. L iperstaticita e relativa al grado di liberta di traslazione verticale, che e ribadito dai due carrelli B e A e dalla cerniera E. Per rendere la struttura isostatica si puo rimuovere uno dei due carrelli in B e in A o sostituire la cerniera in E con un carrello a scorrimento verticale.

13 15. Esercizio Cinque CR (15 GDL) con due vincoli doppi a terra (4 GDVE) e sei vincoli doppi interni (12 GDVI). Il sistema e una volta iperstatico. Relativamente al resto della struttura, le aste EF e DF costituiscono un arco a tre cerniere non labile (i CIR sono il punto F e le direzioni orizzontale e verticale; essi non stanno sulla stessa retta), che puo essere rimosso al fine dell AC. La biella AB puo essere sostituita da un carrello passante per il punto B e con retta d azione orizzontale. Il sistema risulta vincolato a terra con un carrello a scorrimento verticale in B e un cerniera in G ed esternamente e isostatico non labile. L anello chiuso costituito dalle aste CD e CB ha due svincoli in C e in D ed e una volta iperstatico. Per rendere la struttura isostatica occorre introdurre uno svincolo nell anello chiuso: (i) trasformando una delle due cerniere in C o in D in un carrello a scorrimento orizzontale o verticale; (ii) introducendo una seconda cerniera in B tra le aste BC e BD (la cerniera in B diventa un vincolo quadruplo).

14 16. Esercizio Tre CR (9 GDL) con due vincoli doppi a terra (4 GDVE) e con tre vincoli doppi interni (6 GDVI). Il sistema e una volta iperstatico. La biella GH puo essere sostituita da un carrello passante per il punto G e con retta d azione verticale. Il sistema risulta vincolato a terra con un carrello a scorrimento orizzontale in G e un manicotto a scorrimento verticale in A ed esternamente e isostatico non labile. L anello chiuso costituito dalle aste CG ed AF ha due svincoli in C e in F ed e una volta iperstatico. Per rendere la struttura isostatica occorre introdurre uno svincolo nell anello chiuso: (i) trasformando una delle due cerniere in C o in F in un carrello a scorrimento orizzontale o verticale, (ii) introducendo una cerniera in E o in D.

15 17. Esercizio Quattro CR (12 GDL) con un vincolo doppio e due vincoli singoli a terra (4 GDVE) e con un vincolo triplo e tre vincoli doppi interni (9 GDVI). La molla rotazionale in C impedisce parzialmente le rotazioni relative delle aste AC e CE e ai fini dell AC solidarizza le due aste. Il sistema e una volta iperstatico. Relativamente al resto della struttura, le aste BH e HD costituiscono un arco a tre cerniere non labile (i CIR sono il punto H, la direzione verticale e la direzione orizzontale; essi non stanno sulla stessa retta), che puo essere rimosso ai fini dell AC. L asta AE ha quattro vincoli assoluti. Per renderla isostatica e necessario liberare un grado di liberta in verticale: (i) eliminando uno dei due carrelli; (ii) trasformando la cerniera in un carrello a scorrimento verticale; (iii) rimuovendo la molla rotazionale (si ottiene la trave cerniera-carrello non labile AC -la retta d azione del carrello in B non passa per il CIR della cerniera in A-, su cui poggia la trave cerniera-carrello non labile CE -la retta d azione del carrello in E non passa per il CIR della cerniera in C-).

16 18. Esercizio Quattro CR (12 GDL) con un vincolo triplo e due vincoli singoli a terra (5 GDVE) e con tre vincoli doppi e due vincoli singoli interni (8 GDVI). Il sistema e una volta iperstatico. L asta EB e incastrata a terra, quindi il carrello in D e il manicotto in B possono essere considerati come vincoli assoluti. L asta BJ e pertanto vincolata a terra con quattro vincoli ed e una volta iperstatica esternamente. La biella HF che collega l asta ID con l asta BJ e equivalente ad un carrello con retta d azione orizzontale passante per F. Quindi l asta ID e vincolata a terra con un carrello in D e all asta BJ con due carrelli, uno con scorrimento orizzontale in I e l altro con scorrimento verticale in F. I tre carrelli non hanno rette d azione che passano per il medesimo punto e, relativamente al resto della struttura, ID e un asta isostatica non labile. L iperstatica esterna sull asta BJ puo essere rimossa (i) eliminando il carrello in J; (ii) trasformando il manicotto in B in un pattino-manicotto; (iii) introducendo una cerniera in A, che collega le due aste AB e AJ, in modo da ridurre la struttura iperstatica a due travi cerniera-carrello non labili appoggiate una sull altra.

17 19. Esercizio Sette CR (21 GDL) con un vincolo triplo e un vincolo semplice a terra (4 GDVE) e con cinque vincoli doppi e due vincoli quadrupli interni (18 GDVI). Il carrello in E e interpretabile come un vincolo semplice esterno e vincolo doppio interno. Le cerniere in F e in H collegano le estremita di tre aste e pertanto sono vincoli quadrupli. Il sistema e una volta iperstatico. L asta AE e incastrata a terra e il carrello a terra in E e ridondante, e l asta AE e iperstatica esternamente. Le tre cerniere in B, D ed E possono essere considerate vincoli assoluti. Le tre bielle BF, CG ed EH sono equivalenti a tre carrelli con rette d azione inclinata a /4 passante per F, verticale passante per G e verticale passante per H, rispettivamente. L anello GFIH e vincolato a terra tre carrelli le cui rette d azione non hanno punti in comune e non ha movimenti relativi rispetto all asta AE. L anello chiuso GFIH ha tre svincoli in F, in H e G, a cui corrispondono tre CIR (i punti F ed H e la direzione orizzontale) non allineati, ed e pertanto un CR non labile. Per rendere la struttura isostatica si puo (i) rimuovere il carrello a terra in E; (ii) trasformare l incastro in una cerniera, o (iii) trasformare l incastro in un manicotto a scorrimento verticale.

18 20. Esercizio Quattro CR (12 GDL) con un vincolo doppio e tre vincoli semplici a terra (5 GDVE) e due vincoli doppi e un vincolo quadruplo interni (8 GDVI). La cerniera in D collega le estremita di tre aste e pertanto e un vincolo quadruplo. Il sistema e una volta iperstatico. La biella ED puo essere sostituita con un carrello passante per il punto D e con retta d azione orizzontale. L anello BDG e un anello chiuso con tre svincoli. I CIR (i punti D, G e la direzione inclinata a /3) non sono allineati, e l anello chiuso e un CR isostatico non labile. La struttura risultante e vincolata a terra con quattro vincoli semplici (carrelli in D, C e A con retta d azione orizzontale e carrello in H con retta d azione verticale) ed e una volta iperstatica esternamente. Il grado di liberta di traslazione orizzontale e bloccato da tre carrelli con scorrimento verticale. Per rendere isostatica la struttura si puo eliminare uno dei tre carrelli con scorrimento verticale in A, C o D.

19 21. Esercizio Tre CR (9 GDL) con un vincolo doppio e due vincoli semplici a terra (4 GDVE) e con tre vincoli doppi interni (6 GDVI). Il carrello in D e interpretabile come un vincolo semplice esterno e vincolo doppio interno. La struttura e una volta iperstatica. Relativamente al resto della struttura, le aste BI e ID costituiscono un arco a tre cerniere non labile (i tre CIR al finito in B, I e D non sono allineati) e possono essere eliminate ai fini dell AC. L asta AE e vincolata a terra con una cerniera in A e due carrelli a scorrimento orizzontale in E e in D, ed e iperstatica esternamente. Per renderla isostatica si puo (i) eliminare il carrello in E o il carrello in B; (ii) trasformare la cerniera in A in carrello con scorrimento verticale.

20 22. Esercizio Quattro CR (12 GDL) con due vincoli doppi a terra (4 GDVE) e con tre vincoli relativi (uno semplice, uno doppio e uno quadruplo, 7 GDVI). Il vincolo quadruplo e la cerniera in B che ha effetto sulle aste BA, BG e BD. Il sistema e una volta ipostatico. Relativamente al resto della struttura, l asta BD e una trave cerniera-carrello non labile (la retta d azione del carrello in D non passa per la cerniera in B) e puo essere eliminata ai fini dell AC. L asta GE e una biella con retta d azione passante per G e per E, inclinata + /4. L asta AB e una biella con retta d azione passante per A e per B. Ne segue che l asta BG e vincolata a terra con due carrelli a scorrimento in direzione - /4. Cinematicamente e come se fosse vincolata a terra con un pattino a scorrimento in direzione - /4. Il grado di liberta residuo e una traslazione di BG nella direzione - /4, a cui corrisponde una rotazione antioraria dell asta GE intorno a E e una rotazione oraria dell asta AB intorno ad A. La struttura puo essere resa isostatica introducendo in G, in C o in B un carrello a terra con piano inclinato a + /4. Analisi del cinematismo. Per studiare il cinematismo associato al GDL residuo, occorre ridurre il sistema a una struttura di semplice analisi eliminando tutte le parti isostatiche. Si individuano quindi i CIR assoluti delle aste che costituiscono la struttura semplificata. In questo caso, ci si riduce alle tre bielle AB,. BG e GE. Il CIR assoluto di AB e A. Il CIR assoluto di GE e E. Il CIR assoluto di BG e la direzione + /4, l asta puo solo traslare. Se si assegna una rotazione oraria - in A all asta AB, il punto B si muove in direzione /4 della quantita e l intera asta BG trasla rigidamente nella stessa direzione, incluso il punto G. Per consentire il movimento di G, l asta GE ruota in senso antiorario intorno alla cerniera in E di un angolo.

21 23. Esercizio Tre CR (9 GDL) con tre vincoli doppi e un vincolo semplice interni (7 GDVI). Il sistema e apparentemente due volte isostatico. Non essendoci vincoli a terra, la struttura e tre volte ipostatica esternamente. Sono presenti due anelli chiusi. Relativamente al resto della struttura, l asta DE e una trave cerniera-carrello non labile (la retta d azione del carrello in E non passa per il CIR della cerniera in D) e puo essere eliminata ai fini dell AC. L anello costituito dalle aste AD e AB ha due svincoli interni con CIR in A e in B, ed e una volta iperstatico. La struttura e una volta iperstatica internamente. Puo essere resa isostatica esternamente vincolando a terra il punto C (o F) con un incastro, ed isostatica internamente e introducendo una cerniera in D, cosi da trasformare l asta ADB nelle due aste AD e DB. La cerniera in D diventa pertanto un vincolo quadruplo che lega le tre aste DA, DB e DE. Analisi del cinematismo. La struttura possiede tre GDL di moto rigido nel piano, due di traslazione ed uno di rotazione. Non esistono cinematismi parziali.

22 24. Esercizio Quattro CR (12 GDL) con un vincolo doppio e un vincolo semplice esterni (3 GDVE) e quattro vincoli doppi interni (8 GDVI). Il carrello a terra deve essere visto come l insieme di una cerniera interna che agisce sulle aste CB e CF e un carrello esterno. Il sistema e una volta ipostatico. Le aste CB e BG sono un arco a tre cerniere non labile (CIR in C, in B e direzione orizzontale, quindi non allineate) appoggiato al resto della struttura e puo essere eliminato ai fini dell AC. Le aste CF e FH costituiscono un cinematismo detto biella-manovella, dotato di un grado di liberta. Studio del cinematismo. L asta FH ha CIR assoluto in H. L asta CF e vincolata a terra con un carrello in C e con la biella FH, cinematicamente equivalente a un carrello a scorrimento orizzontale in F. E come se CF fosse vincolata in modo assoluto con un manicotto a scorrimento orizzontale e puo solo avere spostamenti orizzontali. Se il carrello in B e spostato di una quantita u, l asta FH trasla rigidamente in direzione orizzontale. Anche la cerniera in F si sposta in orizzontale inducendo una rotazione oraria -u/b nella cerniera in H e il movimento della biella verticale.