Esercitazione di Dinamica

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1 Appunti di Elementi di Meccanica Esercitazione di Dinamica Il traghetto di Leonardo v 1.0 dicembre 008

2 Figura 1: Traghetto sull Adda tra Imbersago (LC) e Villa d Adda (BG) 1 Il traghetto Il traghetto di figura 1 collega la sponda lecchese a quella bergamasca del fiume Adda. Questo traghetto sfrutta la spinta della corrente per trasportare persone e automobili da una parte all altra del corso d acqua, senza ricorrere ad alcun motore. Il moto del traghetto è guidato da una fune che collega le due sponde. Il principio di funzionamento è attribuito a Leonardo da Vinci che ne studiò il progetto durante il suo soggiorno a Vaprio d Adda (MI) negli anni Modellazione Il traghetto è costituito da due scafi collegati rigidamente dalla parte superiore (non rappresentata in figura ). Nella parte di prua si trova il dispositivo che vincola il traghetto alla fune consentendone lo scorrimento e la rotazione relativa. Il traghetto è manovrato dall operatore tramite due timoni.

3 w fune scafo l timone l r Figura : Modello del traghetto 3

4 Figura 3: Traghetto in quiete 3 Principio di funzionamento Lo scafo e i timoni devono presentare un profilo simmetrico per consentire l attraversamento del fiume nelle due direzioni. Per questo motivo il traghetto durante la fase di sosta (ovvero quando l operatore non effettua alcuna manovra) si allinea al flusso della corrente (vedi figura 3). Per compiere l attraversamento del fiume l operatore deve inclinare lo scafo della barca rispetto al flusso della corrente. Ruotando il timone (per esempio in senso antiorario, vedi figura 4), l operatore devia il flusso dell acqua. La quantità di moto del flusso d acqua acquista così una componente perpendicolare alla direzione originale. A questa variazione di quantità di moto deve corrispondere una forza agente sullo scafo. Dato che alla barca è impedita la sola traslazione perpendicolarmente alla fune, questa comincia a ruotare in senso orario. Nel momento in cui lo scafo non è più allineato con il flusso della corrente, anch esso contribuisce alla deviazione del flusso stesso. In questo senso si può dire che lo scafo stesso funge da timone. Osservando la configurazione di figura 5, si nota che lo scafo devia il flusso d acqua verso sinistra e che il timone lo riallinea parzialmente verso destra. L effetto combinato di queste due azioni consente la traslazione del traghetto verso destra mantenendo costante l orientazione dello scafo rispetto al flusso d acqua. 4

5 Figura 4: Traghetto durante manovra di timone dallo stato di quiete Figura 5: Traghetto durante manovra di attraversamento 5

6 4 Studio della dinamica Lo studio della dinamica del moto del traghetto può essere suddivisa in tre fasi: la partenza, l attraversamento e l arresto. Il traghetto è schematizzabile come un sistema di tre corpi rigidi, due dei quali (i timoni) sono vincolati in maniera isostatica allo scafo(in realtà i timoni sono incernierati allo scafo ma la loro orientazione è fissata dall operatore a seconda della manovra da effettuare). Lo scafo può scorrere e ruotare rispetto alla fune: tale vincolo è quindi schematizzabile come un carrello. Partenza Alla partenza lo scafo si trova allineato con il flusso di corrente e l unica forza agente sul sistema è la forza di attrito viscoso F v tra lo scafo e l acqua. Questa forza, proporzionale alla velocità e alla viscosità dell acqua, dipendente inoltre dalla forma dello scafo, è equilibrata dalla reazione che la fune esercita, quindi R = F v Dal momento in cui il timone viene ruotato di un angolo β, compare una forza F r, approssimabile come perpendicolare al timone, che imprime un accelerazione al traghetto. Sfruttando il principio di d Alembert, si possono scrivere le equazioni di equilibrio dinamico: R F r sin β F v = 0 ma ( F r cos β = 0 ) ( ) l J ω 3 sin (60 β) + l r l F r 3 cos (β 30 ) + l r F r = 0 dove si è supposto che le linee congiungenti i vertici opposti degli scafi formino un angolo di 60. Il sistema è facilmente risolvibile: R = F r sin β + F v a = F r m( cos β ) ω = 1 l J 3 sin (60 β) + l 3 cos (β 30 ) + l r F r In questa fase lo scafo accelera verso sinistra (vedi figura 6) e accelera in senso orario. Nel momento in cui lo scafo assume una orientazione non più parallela alle linee di flusso della corrente è necessario utilizzare un modello differente per lo studio del problema. 6

7 J ω ma F v F r F r Figura 6: Schematizzazione della manovra di timone F h F v F h F r F r Figura 7: Schematizzazione della manovra di attraversamento 7

8 Attraversamento Quando lo scafo è ruotato rispetto alla fune (ad esempio di un angolo α), la corrente d acqua viene deviata e quindi compare una forza F h che agisce sullo scafo. Tale forza si oppone a quella agente sul timone, rendendo equilibrata la configurazione nella quale lo scafo è inclinato di un angolo 90 α rispetto al flusso. Si può supporre che esista una condizione per la quale il traghetto si muove a velocità costante verso sinistra (vedi figura 7). In tal caso le equazioni di equilibrio statico devono essere soddisfatte: F h sin α F r cos(β 90 + α) F v, = 0 R F h cos ( α F r sin(β 90 + ) α) F ( v, = 0 ) R l cos α l 3 sin (60 β ) + l r l F r 3 cos (β 30 ) + l r F r = 0 Queste equazioni ci forniscono la massima spinta di attraversamento che la corrente può fornire (che nel sistema di equazioni formulato è pari alla componente orizzontale della forza di attrito viscoso), la forza scambiata con la fune e l angolo β al quale il timone deve orientato per mantenere l equilibrio. Nella scrittura delle equazioni si è supposto che le forze generate sullo scafo e le forze di attrito viscoso non generino momenti sullo scafo. Questo sistema di equazioni è estremamente complesso da risolvere, in particolare per il fatto che anche i termini F h, F r, e F v dipendono dagli angoli α e β e dalla velocità del fluido. Un approccio più accurato al problema impone di formulare le forze propulsive scambiate tra fluido e scafo come dipendenti dall angolo di incidenza del fluido. Si possono supporre valide le seguenti relazioni: F h = F h cos α F r = F r sin β dove l angolo α varia tra 0 e π/, mentre l angolo β tra 0 e α (vedi figura 8). Supponendo inoltre proporzionalità tra le suddette forze e la lunghezza dello scafo si ottiene: F h = kl cos α F r = kl r sin β L equazione di equilibrio dei momenti consente di trovare gli angoli ai quali il sistema è in equilibrio. Considerando per semplicità solamente metà dello scafo si ottiene: 8

9 α F h F h β Figura 8: Equilibrio dei momenti del singolo scafo ( l F h F r l cos β + l ) r = 0 Tale equazione può essere riscritta come cos α = l r l sin(β ) + l r sin β l Supponendo che il rapporto tra la lunghezza dello scafo e la lunghezza del timone sia pari a 1.5, l equazione può essere risolta in via grafica (vedi figura 9). Si trovano così gli angoli all equilibrio ᾱ e β. Sommando la componente trasversale al flusso della corrente libera delle due forze propulsive si ottiene la forza P che spinge la barca attraverso il fiume. Nel modello di figura tale forza non è equilibrata perché non si sono incluse le forze di attrito viscoso. La risultante P può essere quindi calcolata come: ( ( π )) P = F h sin α F r cos β α = F h cos α 1 cos α F r (sin β cos β ) 1 cos α + sin β cos α 9

10 f(β ) cos α β ᾱ β AMM Figura 9: Condizione di equilibrio dei momenti P F h 0.3 P MAX F h β MAX β Figura 10: Risultante trasversale della spinta della corrente 10

11 Conoscendo l espressione di cos α, perché ricavata dall equazione di equilibrio dei momenti si può tracciare il diagramma della forza propulsiva risultante P (in figura 10 ne è tracciato l andamento normalizzato a F h ). Si ottiene quindi un valore di β, a cui corrisponde un valore di α, al quale la spinta è massima. Dato che la forza di attrito viscoso si può considerare in buona approssimazione proporzionale al quadrato della velocità, eguagliando le due forze si ottiene il valore della velocità di avanzamento v per una data coppia di angoli α e β : P P (β ) = cv (β ) v = c Più che una formulazione corretta del problema fluidodinamico, il sistema di equazioni scritto vuol sottolineare il fatto che un sistema a più gradi di libertà soggetto a moto a velocità costante deve essere in equilibrio statico. Le equazioni della statica devono essere quindi soddisfatte, anche se alcuni suoi termini sono dipendenti dalla velocità. Arresto Per arrestare il moto del traghetto è sufficiente che l operatore lasci il timone libero. Così facendo, il timone si allinea al flusso dell acqua e non fornisce più alcuna forza che impedisce la rotazione dello scafo. Il traghetto quindi tende ad allinearsi al flusso longitudinale della corrente d acqua rallentando progressivamente per effetto dell attrito viscoso. 11