DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI

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1 DINAICA DI SISTEI AEROSPAZIALI Tema d esame g f s, f d α G B A J, R d, J l ω d g O T l τ, η Esercizio 1. La gondola motore di un convertiplano, posta nel piano verticale, ha massa e momento d inerzia baricentrico J, col baricentro in G, a distanza d da O. Un attuatore lineare tra A e B, di lunghezza variabile x, comanda la rotazione rispetto al polo fisso O. 1.a) Determinare posizione, velocità e accelerazione di G in funzione di x, ẋ, con ẋ = cost, dell attuatore, quando G è sulla verticale di O; 1.b) determinare la forza F richiesta all attuatore nella condizione di moto del punto precedente. ω m C m J m Esercizio 2. Il motore della macchina in figura, posta in un piano verticale, ha momento d inerzia J m ed eroga una coppia C m = A Bω m (A > 0, B > 0). È collegato ad una trasmissione di rapporto di trasmissione τ, rendimento η. A valle della trasmissione è collegato un disco di inerzia J e raggio R, su cui si avvolge un filo inestensibile di massa trascurabile che trascina una massa su un piano inclinato di un angolo α, con coefficiente di attrito statico f s e dinamico f d. Determinare: 2.a) il termine A della coppia motrice necessario a vincere l attrito statico e avviare il sistema in moto diretto; 2.b) la velocità a regime del sistema considerando la coppia motrice calcolata al punto precedente. Si discuta la stabilità della condizione di regime. Esercizio 3. Il sistema in figura, posto nel piano orizzontale, è costituito da un disco di massa d e momento d inerzia baricentrico J d e raggio R, da una massa e due elementi elastici di rigidezza k, collegati al telaio ad un estremo e alla massa all altro. Il disco è incernierato nel suo baricentro e rotola senza strisciare sulla massa. Si richiede di: 3.a) scrivere l equazione di moto del sistema e determinarne la frequenza propria; 3.b) determinare il valore del precarico P da applicare fra disco e massa perché sia garantita, in condizioni di moto libero, l aderenza quando lo spostamento della massa è massimo e la sua velocità nulla. k O k d, J d, R Esercizio 4. Un pistone di massa m e sezione A p, che scorre in un cilindro riempito di fluido comprimibile con modulo di comprimibilità volumetrica β, deve vincere un carico costante f. Il cilindro è alimentato da una sorgente di pressione p s attraverso un orifizio con coefficiente di efflusso laminare C o e sezione A o. Tra cilindro e pistone trafila fluido verso l esterno, a pressione p e = 0, con coefficiente di efflusso C t e sezione A t. Si richiede di: 4.a) scrivere le equazioni della dinamica del sistema, determinare l area dell orifizio A o che consente l equilibrio statico (velocità del pistone nulla), quindi impostare lo studio della stabilità (come variabili di stato si usino la posizione e la velocità del pistone, e la pressione nella camera); 4.b) scrivere la funzione di trasferimento che esprime la perturbazione di pressione nella camera in funzione della perturbazione di velocità del pistone, con sezione A o costante, e formularne una approssimazione stazionaria (a che cosa corrisponde?). p S x p C A 0, C el A t, C t f p e m, A p N.B.: si definisca e si commenti opportunamente qualsivoglia dato ritenuto mancante.

2 Traccia di soluzione Esercizio 1 Punto 1.a) Sia α l angolo formato da AB rispetto all orizzontale (α = π/2 nel disegno). Sia β l angolo formato da OB rispetto all orizzontale (β = 5π/4 nel disegno). Il movimento di G è P G = de j(β π/4) v G = jd βe j(β π/4) a G = ( d β 2 + jd β)e j(β π/4) (1) L equazione di chiusura AB + BO = AO dà xe jα l 2e jβ = l + i(l + x 0 ) (2) x cos α l 2 cos β = l x sin α l 2 sin β = l + x 0 (3) (4) Nelle condizion iniziali α = π/2, β = 5π/4, x = x 0 l equazione è soddisfatta; nelle condizioni finali α = π/2, β = 3π/4, si ha x = x 0 + 2l. Derivata dell equazione di chiusura: (ẋ + ix α)e jα il 2 βe jβ = 0 (5) ẋ cos α x α sin α + l 2 β sin β = 0 (6) ẋ sin α + x α cos α l 2 β cos β = 0 (7) Nelle condizioni finali α = ẋ/x, β = ẋ/l. Derivata seconda dell equazione di chiusura: (ẍ x α 2 + i(2ẋ α + x α))e jα + (l 2 β 2 il 2 β)e jβ = 0 (8) (ẍ x α 2 ) cos α (2ẋ α + x α) sin α + l 2 β 2 cos β + l 2 β sin β = 0 (9) (ẍ x α 2 ) sin α + (2ẋ α + x α) cos α + l 2 β 2 sin β l 2 β cos β = 0 (10) Nelle condizioni finali β = ẋ2 (x 0 + l) l 2 (x 0 + 2l) (11) Punto 1.b) L energia cinetica è E c = 1 2 J β v G v G = 1 2 (J + d2 ) β 2 (12) La potenza delle forze esterne è Π = fẋ gd β cos(β π/4) Quindi dal teorema dell energia cinetica si ha cond. finale = fẋ (13) ovvero (J + d 2 ) β β = fẋ f = 1 l (J + d2 ) β = (J + d 2 ) ẋ2 (x 0 + l) l 2 (x 0 + 2l) (14) (15)

3 Esercizio 2 Punto 2.a) In assenza di movimento, la trasmissione non dissipa alcuna potenza e le forze d inerzia sono nulle, per cui C m ω m g sin αrω u T Rω u = 0 (16) ove T è la componente tangenziale della reazione scambiata (per attrito) al contatto tra massa e guida. Siccome ω m = 0, C m = A, si ottiene A = (g sin α + T )Rτ (17) In condizioni di limite di aderenza, T = Nf s, con N = g cos α, per cui la coppia motrice deve essere A > g(sin α + f s cos α)rτ (18) perché il movimento possa iniziare. Punto 2.b) In condizioni di regime, ηc m ω m (g sin α + T )Rω u = 0 (19) Ora si ha T = Nf d = g cos αf d, per cui ηc m g(sin α + f d cos α)rτ = 0 (20) si ottiene ω m = A B g(sin α + f d cos α)rτ ηb (21) Perché il moto sia sicuramente diretto e in salita, deve valere ω m > 0; questo richiede A > g(sin α + f d cos α)rτ η (22) Considerando anche la precedente condizione su A, ovvero un valore di A appena sufficiente ad ottenere il distacco, si ottiene η > sin α + f d cos α sin α + f s cos α (23) Il valore a destra è sicuramente compreso tra 0 e 1 (minore di 1 se f s > f d ). Il rendimento, quindi, deve essere sufficientemente elevato se si intende usare il minore valore di A che consente il distacco. Lo studio della stabilità statica è in questo caso sufficiente dal momento che la radice del polinomio caratteristico ha la forma generale η C m ω m λ = ωm0 ηjm + τ 2 Ju in questo caso vale C m ω m = B < 0, per cui il sistema è stabile. (24)

4 Esercizio 3 Punto 3.a) Sia x lo spostamento della massa, positivo verso destra. Sia θ la rotazione del disco in senso orario, per cui x = Rθ. Il sistema sia in equilibrio statico quando x = 0. L energia cinetica è E c = 1 2 ẋ J d θ 2 = 1 2 (J d + R 2 ) θ 2 (25) L energia potenziale è Si ottiene E p = Kx2 = KR2 θ 2 (26) (J d + R 2 ) θ + 2kR 2 θ = 0 (27) La frequenza caratteristica è 2kR ω 0 = 2 J d + R 2 (28) Punto 3.b) Il movimento libero è armonico, con frequenza ω 0. Quindi, quando lo spostamento è massimo (ad esempio x = x max > 0), la velocità è nulla e l accelerazione, negativa, è minima, ẍ = ω 2 0 x max. Perché si abbia aderenza deve valere la reazione P > f s T, detta T la componente tangenziale della forza scambiata. Dall equilibrio alla rotazione del disco rispetto al proprio centro, si ricava T = J d θ /R = J d ω 2 0 x max/r 2, quindi P > f s J d R 2 ω2 0x max (29) Esercizio 4 Punto 4.a) L equilibrio alla traslazione del pistone in direzione orizzontale dà mẍ + A p p C f = 0 (30) L equazione del moto del pistone è quindi mẍ A p p C = f (31) Il bilancio di portata nella camera dà β ṗc + A p ẋ = C o A o (p s p C ) C t A t (p C p e ) (32) L equazione della dinamica del fluido è quindi β ṗc + (C o A o + C t A t )p C + A p ẋ = C o A o p s (33) Nella condizione richiesta, ẍ = 0, ẋ = 0, ṗ C = 0, quindi p C = f/a p e A o = C ta t f/a p C o (p s f/a p ) (34) nell ipotesi che p s > f/a p.

5 La linearizzazione delle equazioni rispetto alla soluzione statica dà m ẍ A p p C = 0 (35) β ṗ C + (C o A o + C t A t ) p C + A p ẋ = 0 (36) Nel dominio di Laplace si ottiene s 2 m x A p p C = 0 (37) (s β + C oa o + C t A t ) p C + sa p x = 0 (38) Ricavando p C dalla prima e sostituendolo nella seconda si ottiene ( s sm (s β ) ) + C oa o + C t A t + A 2 p x = 0 (39) che ammette le radici s = 0 (40) s = C oa o + C t A t 2/β ± (Co A o + C t A t 2/β ) 2 A2 p m/β (41) La soluzione è stabile ma non asintoticamente stabile a causa della radice s = 0. Punto 4.a) La funzione richiesta si ottiene dal bilancio di portata A p p C = v s/β + C o A o + C t A t (42) ove con v si è indicata la perturbazione di velocità ( v = ẋ nel dominio del tempo). La sua approssimazione stazionaria è p C s = A p C o A o + C t A t v (43) e corrisponde, dal punto di vista fisico, a considerare il fluido come incomprimibile.