DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI

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1 DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI Tema d esame m, J, L C r M, R O ϑ(t), ϑ(t) α(t) O Esercizio 1. Il sistema in figura è posto nel piano orizzontale ed è costituito da un disco uniforme incernierato in O avente raggio R e massa M, uniformemente distribuita. Il disco ruota velocità angolare costante ϑ Ω. Un sedo disco di centro C, raggio r e massa trascurabile, rotola senza strisciare rispetto al primo disco e ad una guida circolare esterna fissa. Un glifo di massa uniformemente distribuita m, momento d inerzia baricentrico J e lunghezza L può ruotare rispetto alla cerniera in O. Il centro di massa del glifo è posto a metà dello stesso. Il centro C del sedo disco è vincolato a scorrere sul glifo. Determinare: 1.a) rotazione e velocità angolare del glifo α, α in funzione del moto imposto ϑ, ϑ; 1.b) la coppia da applicare al glifo affinché si verifichi il moto imposto, supponendo nota l accelerazione α. Esercizio. Il motore in figura, posto in un piano verticale, ha momento d inerzia J m ed eroga una coppia C m A Bω m (A > 0, B > 0). È rigidamente fissato a distanza d dall estremità vincolata alla fusoliera di un ala di massa uniformemente distribuita M a, e lunghezza L a. La cedevolezza del vincolo alla fusoliera è rappresentata da una molla rotazionale di rigidezza k T. Il motore mette in rotazione, attraverso una trasmissione di rapporto τ e rendimento η, un elica a quattro pale, ognuna di massa M p e momento d inerzia J p rispetto all asse di rotazione. Sull elica agisce una coppia resistente C u Dω u ω u. g k T M a, L a.a) Determinare la velocità di rotazione a regime del motore e discutere d la stabilità del moto, siderando infinita la rigidezza k T ;.b) stabilire il valore della rigidezza k T che sente una rotazione inferiore ad un valore fissato α all ala, nelle dizioni di moto del punto precedente. C m, ω m M p, J p M m, J m η, τ, R C u ω u O k, c Ω H α G M b, J b Esercizio 3. Il sistema in figura rappresenta una pala del rotore di un elicottero, posta nel piano orizzontale. Il sistema ruota velocità angolare costante Ω rispetto al polo O. La pala inoltre può ruotare rispetto alla cerniera di ritardo H a distanza OH l dal polo O. La pala ha massa M b, momento d inerzia baricentrico J b e centro di massa G a distanza HG d dalla cerniera H. Il tratto OH ha massa trascurabile. Attorno alla cerniera di ritardo H è introdotto un elemento viscoelastico angolare di caratteristiche k e c, scarico quando α 0. 3.a) Scrivere l equazione di moto del sistema trascurando le forze aerodinamiche; 3.b) Determinare il valore di k e c affinchè, siderando le piccole oscillazioni nell intorno della dizione di equilibrio α 0, la frequenza naturale e il fattore di smorzamento siano pari a ˆω n e ˆξ. Esercizio 4. Un ascensore viene rappresentato attraverso un disco incernierato nel suo centro inerzia baricentrica J e raggio R. Sul disco si avvolge un filo inestensibile e alle due estremità sono appese rispettivamente le masse m e M. Il sistema è azionato da una coppia C m agente sul disco, generata da un motore elettrico in corrente tinua. Si richiede di: 4.a) determinare le equazioni di moto agli stati del sistema elettromeccanico e la tensione di alimentazione e a necessaria affichè la massa M salga velocità costante pari a ˆv; 4.b) studiare la stabilità del sistema e determinare la funzione di trasferimento tra la tensione di alimentazione del motore (ingresso) e la posizione della massa M (uscita). m C m J, R M N.B.: si definisca e si commenti opportunamente qualsivoglia dato ritenuto mancante.

2 Traccia di soluzione Esercizio 1. Cinematica Al fine di esprimere i legami cinematici esistenti fra il moto del disco di raggio R e il moto del glifo, si può procedere in cascata evidenziando in prima battuta il legame fra il moto del centro C del disco di raggio r e il moto del glifo, e successivamente il legame fra il moto di C e la rotazione del disco di raggio R. Si ponga il sistema di riferimento assoluto in O, asse reale diretto come la giungente OO. Chiamando la distanza OO L, la distanza O C x, e l angolo formato dalla giungente (C O) l asse reale β, La chiusura vettoriale L + xe iα (R + r)e iβ permette di esprimere la rotazione incognita α in funzione di β. Chiamando K il punto di tatto fra i due dischi e ϕ la rotazione propria del disco di raggio r è poi possibile osservare, uguagliando l espressione del modulo della velocità di K vista dai due dischi, che: v K R ϑ r ϕ allo stesso modo, il modulo della velocità di C è esprimibile sia in funzione di β sia in funzione di ϕ: v C (R + r) β r ϕ Mettendo insieme la () e la (3) si ottiene la relazione cercata fra β e ϑ: (1) () (3) β R ϑ (R + r) κ ϑ e la chiusura vettoriale (1), proiettata sugli assi reale e immaginario, diventa L + x cos α (R + r) cos (κϑ(t)) x sin α (R + r) sin (κϑ(t)) (4) (5) sistema di equazioni algebriche non lineari nelle incognite α, x, in cui il moto imposto è rappresentato da ϑ(t). Derivando nel tempo la (1) si ottiene ẋe iα + ix αe iα i R ϑe iκϑ (6) ovvero, siderando le proiezioni sugli assi e raccogliendo [ ] ẋ cos α x sin α R sin (κϑ) ϑ(t) (7) sin α x cos α α R cos (κϑ) sistema lineare che ammette soluzione istante per istante pari a ẋ [ ] 1 cos α x sin α R sin (κϑ) ϑ(t) (8) α sin α x cos α R cos (κϑ) Equazione del moto L equazione di moto del sistema si scrive facilmente attraverso il Teorema dell Energia Cinetica. Quest ultima è pari a E c 1 MR ϑ + 1 mv G + 1 Jω G La potenza delle forze e coppie attive è ridotta in questo caso ad un unico termine Π a C α Da cui, chiamando l la lunghezza totale del glifo: ( ) dec dt MR ϑ ϑ ml J α α C α (11) (9) (10) e infine ( ) ml C 4 + J α (1)

3 Esercizio. Velocità di moto a regime Il carico è puramente dissipativo, quindi il moto a regime sarà certamente diretto. Le componenti di potenza motrice, persa e resistente sono W m (A Bω m ) ω m J m ω m ω m W p (1 η) (A Bω m ) ω m W u Dω u ω u J u ω u ω u (13a) (13b) (13c) ω u τω m e J u 4J p. L equazione di moto del sistema è quindi η (A Bω m ) J m ω m Dτ 3 ω m ω m J u τ ω m 0 (14) che a regime diventa η (A Bω m ) Dτ 3 ω m ω m 0 (15) Equazione che ammette come unica soluzione ω m,0 ηb + η B 4τ 3 ηa Dτ 3 Dal momento che il sistema opera in regime assoluto ed è quindi retto da un equazione differenziale ordinaria del primo ordine, lo studio della stabilità statica risulta sufficiente. Indicando f( ω m, ω m ) 0 l equazione di moto, sarà quindi: f ω m ηb Dτ 3 ( ω m,0 + sign(ω m,0 )ω m,0 ) (17) (0,ωm,0) ovvero, tenendo to che ω m,0 > 0: f ω m ηb Dτ 3 ω m,0 < 0 (18) (0,ωm,0) Quindi la soluzione di moto a regime è stabile. Rigidezza elemento elastico rotazionale A regime sull ala si scaricano la coppia utilizzatore C u,0 Dτ 3 ω m,0 e le forze peso di motore, trasmissione ed elica. Pensando la massa della trasmissione tenuta nel parametro M m e siderando α positivo in senso orario, un bilancio di momenti intorno alla radice dell ala fornisce k T α M a gl a / cos α (M m + 4M p ))gd cos α + C u,0 0 (19) che può essere semplificata ipotizzando α abbastanza piccolo k T α M a gl a / (M m + 4M p ))gd Dτ 3 ω m,0 0 (0) Al fine di tenere il modulo di α al di sotto di un valore massimo α, la rigidezza flessionale dell ala dovrà essere (16) k T > 1 ( Ma gl a / + (M m + 4M p ) gd + Dτ 3 ω ) m,0 α (1) Esercizio 3. Equazione del moto Si sideri un sistema di riferimento cartesiano ortogonale centrato in O, asse x positivo verso destra e asse y verso l alto. L angolo tra l asse orizzontale e l asta OH è pari a ψ Ωt, Ω imposto, mentre l angolo tra l asse orizzontale e l asta GH è pari a (ψ α), α positivo in senso orario. Il sistema ha un solo grado di libertà: α. Per ricavare l equazione di moto è possibile utilizzare il formalismo lagrangiano. Il vettore posizione (G O) è pari a : (G O) (G H) + (H O), l cos ψ (H O) l sin ψ (G H) d cos(ψ α) d sin(ψ α). () (3) (4)

4 Sommando i due tributi e derivando rispetto al tempo si ottiene la velocità del centro di massa della pala, mentre la velocità angolare in modulo è pari a (Ω α). L energia cinetica risulta: T 1 M b(l Ω + d (Ω α) + ldω cos α(ω α)) + 1 J b(ω α), (5) mentre il potenziale e la funzione dissipativa tengono solo i termini legati al richiamo visco-elastico in k e c, V 1 kα, D 1 c α. (6) (7) (8) Le equazioni di Lagrange restituiso un equazione di moto non lineare, (M b d + J b ) α + M b dlω sin α + c α + kα 0, (9) dove è possibile identificare la coppia d inerzia della pala proporzionale al momento d inerzia rispetto alla cerniera di ritardo H, J H (M b d + J b ), e il tributo centrifugo in Ω dipendente dal prodotto tra il momento statico della pala rispetto alla cerniera H, S H M b d, e l eccentricità l. Dimensionamento elemento viscoelastico Per lo studio delle piccole oscillazioni nell intorno della dizione di equilibrio è necessario linearizzare l equazione di moto. Le perturbazioni vengono effettuate nell intorno della dizione di riferimento α 0 0. L unico termine da linearizzare è goniometrico, J H α + c α + (S H lω + k)α 0, (30) da cui si evince che la forza centrifuga introduce nella dinamica della pala un effetto di irrigidimento. Dividendo l equazione per J H è possibile definire le relazioni per dimensionare k e c, k J H ˆω n S H lω, c ˆξˆω n J H. (31) (3) (33) che restituiso una soluzione fisica solo se J H ˆω n > S H lω. Esercizio 4. Forma di stato ed equilibrio Si definisca l angolo di rotazione ϑ, positivo in senso antiorario, del disco. La velocità angolare sarà ω ϑ, la massa M salirà velocità pari a Rω mentre la massa m scenderà velocità pari in modulo ma segno opposto. Il sistema è soggetto alle forze d inerzia, al peso e alla coppia C m generata dal motore elettrico. L equazione di moto del sistema sarà: (J + (M + m)r ) ω C m + (m M)Rg, (34) C m Ki a, da accoppiare all equazione del motore elettrico in corrente tinua L a di a dt + R ai a + Kω e a. Entrambe le equazioni differenziali sono lineari al primo ordine. Definiti J G (J + (M + m)r ), il vettore degli stati x ω ia T e l ingresso u ea, la forma di stato sarà: (35) ẋ [ A ] x + B u +, [ ] [ ] 0 K/J A G, K/L a R a /L a 0 B, 1/L a (m M)Rg/JG 0. (36) (37) (38) (39)

5 Affinché la massa M salga velocità costante è necessario imporre la relazione cinematica Rω ˆv. La dizione di equilibrio si ottiene per ẋ 0. Il sistema differenziale di Eq. 36 diventa puramente algebrico, restituendo la dizione di equilibrio x0 [ A ] 1 ( B u + ), (40) (M m)rg î a, K ê a R a(m m)rg K + Kˆv R. (41) (4) (43) Stabilità e funzione di trasferimento fra posizione massa e tensione di alimentazione del motore elettrico Lo studio della stabilità si effettua calcolando gli autovalori della matrice [ A ]. Il polinomio caratteristico è del sedo ordine λ + R a λ + K 0, L a L a J G (44) ed essendo tutti i coefficienti positivi non è necessario valutare le radici per dimostrare l asintotica stabilità del sistema. Per determinare la funzione di trasferimento si definisce prima la relazione d uscita [ ] y C x + D u, (45) [ ] [ ] C 1 0, 0 D. 0 (46) (47) In questo modo si determina la funzione di trasferimento tra la tensione di alimentazione e a e la velocità angolare ω G(s) ω(s) e a (s) [ C ] (s [ I ] A) 1 B. (48) Essendo la posizione della massa M pari a Rϑ, e ricordando che ϑ ω/s nel dominio di Laplace, la funzione di trasferimento richiesta si ottiene pre-moltiplicando G(s) per R/s, da cui si ottiene H(s) Rϑ(s) e a (s) RK/(L a J G ) s(s + R a /L a s + K /(L a J G )). (49)