DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI

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1 DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIAI Esercizio 1. Il meccanismo di fiura, posto nel piano verticale, è costituito dalle aste BC e BD, di massa trascurabile, e dall asta CD, di massa m e momento d inerzia baricentrico J. Tutte le aste hanno lunhezza. asta AC, anch essa di massa trascurabile, ha lunhezza a variabile. 1.a) Nella condizione di fiura, in cui a, si calcolino la posizione e la velocità del punto D nell ipotesi che ȧ sia costante; Tema d esame A a C, m. J b) se la lunhezza a dell asta AC è comandata da un motore elettrico a corrente continua mediante una vite senza fine di passo p, tale per cui l allunamento a è leato alla rotazione da a θ p/π), si calcoli la coppia C m richiesta dalla condizione di funzionamento al punto precedente; 1.c) si calcolino le reazioni vincolari scaricate a terra dalla cerniera in B; 1.d) si calcoli la tensione di alimentazione necessaria perché il motore erohi la coppia richiesta. B D Esercizio. a macchina di fiura, posta nel piano verticale, mediante una fune inestensibile e di massa trascurabile solleva un corpo di massa M che striscia luno un piano scabro, inclinato di un anolo α rispetto all orizzontale. e due trasmissioni sono rispettivamente caratterizzate dai rapporti di trasmissione τ 1 e τ e dai rendimenti η 1 e η..a) si calcoli la coppia motrice C m a reime, dato il coefficiente di attrito radente f d ; J m J u, R ω u ω m ω v T 1 T τ 1, η 1 τ, η J v f d M α.b) si dimensioni l inerzia del volano J v perché, in presenza di una coppia motrice C m maiore di C m ricavata al punto.a), l accelerazione della massa M sia inferiore ad un valore a max fissato;.c) si calcoli la tensione nella fune nella condizione al punto precedente. Esercizio. Il sistema di fiura, posto nel piano verticale, è costituito da due aste uniformi di massa m e lunhezza. e aste sono incernierate a terra nello stesso punto, e sono colleate da una molla rotazionale di riidezza K θ..a) Si calcoli il precarico della molla in modo da avere, in condizioni di equilibrio statico, un anolo relativo di 90 radi tra le due aste; m,.b) si scrivano le equazioni del moto linearizzate attorno alla posizione di equilibrio statico;.c) si calcolino le frequenze caratteristiche e i modi propri di vibrare, assumendo K θ m /4, e si tracci una rappresentazione rafica dei modi propri. K θ m,

2 Traccia di soluzione Esercizio 1. Sia α l anolo formato dal semento AC rispetto all orizzontale π/ in fiura). Sia β l anolo formato dal semento BD rispetto all orizzontaleπ/ in fiura). Sia γ l anolo formato dal semento BC rispetto all orizzontale π/ in fiura). Sia δ l anolo formato dal semento DC rispetto all orizzontale π in fiura). 1.a) Moto del punto D. Equazione di chiusura del trianolo ABC: AB +BC AC +e jγ ae jα 0. 1) Da questa si ricavano +cosγ acosα 0 ) sinγ asinα 0. Queste, per a, danno α π/, γ π/. a derivata prima dell equazione di chiusura è ) j γe jγ ȧe jα j αae jα 0. 4) Da questa si ricavano γsinγ ȧcosα+ αasinα 0 5) γcosγ ȧsinα αacosα 0 6) che, nella condizione in esame, diventano γ ȧ1 + α 0 7) ovvero γ 1 ȧ α1 0, la cui soluzione dà α ȧ γ ȧ. { α γ Nel caso enerale, [ asinα sinγ acosα cosγ ]{ α γ 1 ȧ, 9) { cosα sinα 8) 10a) 10b) ȧ 11) da cui α cosα γ) ȧ sinα γ) a 1 ȧ γ sinα γ) 1a) 1b)

3 Dato che β γ π/, il movimento del punto D si ricava come BD e jβ e jγ π/) ; 1) la velocità è v D j βe jβ j γe jγ π/) 1.b) Coppia motrice. Si consideri il teorema dell eneria cinetica. a potenza motrice è Π m C m θ Cm π p ȧ. Il baricentro dell asta CD è a metà lunhezza. Nella confiurazione in esame si trova sulla verticale della cerniera B, in P G ejγ π/6), 16) con velocità v G j γ ejγ π/6). 17) Siccome il trianolo BCD ruota riidamente attorno al punto B, nella confiurazione in esame la traiettoria del baricentro di CD è istantaneamente orizzontale, con velocità v G γ /, quindi il peso non compie lavoro. eneria cinetica dell asta CD è ) E c 1 m γ + 1 J γ 1 m ) 4 +J γ. 18) Il teorema dell eneria cinetica dà m 4 +J de c dt ) γ γ C m π p ȧ 19) Dalla 10b) si ricava γ in funzione di ȧ; l accelerazione anolare γ si può ricavare eventualmente dalla 1b). Si ottiene m ) 4 +J γ ȧ C π m p ȧ 0) ovvero C m p 4π m ) 4 +J γ 1) 1.c) Azioni interne in B. Si scrivano l equilibrio alla rotazione del trianolo BCD rispetto al punto C e l equilibrio alla rotazione di tutto il sistema rispetto al punto A, dopo aver rimosso la cerniera in B sostituendola con le componenti orizzontale e verticale della reazione scambiata con il telaio. All equilibrio partecipano le forze d inerzia e il peso. 1.d) Tensione di alimentazione. Dall equilibrio alla malia del circuito equivalente, di e a a dt +R ai+k θ ) si ricava direttamente la tensione di alimentazione dopo aver scritto la corrente in funzione della coppia motrice i C m /K. In linea di principio la derivata della corrente si può valutare per derivazione della coppia motrice; spesso, è possibile semplicemente trascurare il contributo dell induttanza quando la variazione della corrente sia lenta rispetto alla dinamica della parte elettrica, la cui costante di tempo è stimabile come τ a /R a. 14) 15)

4 Esercizio. Siassumamotodiretto.apotenzauscentedalmotoreedentrantenellatrasmissione1èC m J m ω m )ω m. a potenza uscente dalla trasmissione 1 che si trova a monte del volano è η 1 C m J m ω m )ω m. a potenza a valle del volano ed entrante nella trasmissione è η 1 C m J m ω m )ω m J v ω v ω v. a potena uscente dalla trasmissione è η η 1 C m J m ω m )ω m J v ω v ω v ). Sommata alla potenza associata all utilizzatore, C u J u ω u )ω u, deve dare zero. Considerando ω v τ 1 ω m, ω u τ 1 τ ω m, v τ 1 τ Rω m, l inerzia dell utilizzatore ridotta alla velocità anolare ω u è J u J u +mr, mentre la coppia dell utilizzatore è C u msinα+f d cosα)r. Si ricava ω m η 1η C m τ 1 τ msinα+f d cosα)r η 1 η J m +η τ 1 J v +τ 1 τ J u +mr ) ).a) Coppia a reime. Posto ω m 0 si ricava C mreime τ 1τ η 1 η msinα+f d cosα)r 4).b) Dimensionamento volano. Posto ω m a max /Rτ 1 τ ), C m C m > C mreime e a max > Rτ 1 τ η 1 η C m τ 1 τ msinα+f d cosα)r η 1 η J m +η τ 1 J v +τ 1 τ J u +mr ) > 0 5) si ricava η1 η C m τ 1 τ msinα+f d cosα)r J v > max a max η τ1 η 1 τ1 J m τ Ju +mr ) ),0 η 6).c) Tensione nella fune. a tensione nella fune si ricava dalla scrittura dell equilibrio alla traslazione in direzione parallela al piano inclinato, T msinα+f d cosα)+a max ) 7) Esercizio. Sia θ 1 l anolo formato dall asta di sinistra rispetto alla verticale, positivo verso sinistra. Sia θ l anolo formato dall asta di destra rispetto alla verticale, positivo verso destra. anolo relativo tra le molle è θ θ 1 +θ..a) Precarico della molla. eneria potenziale è E p 1 K θθ θ 0 ) m cosθ 1 m cosθ, 8) ove θ 0 è l anolo per cui la molla è scarica. Il radiente dell eneria potenziale rispetto alle coordinate è K θ θ 1 +θ θ 0 )+m sinθ 1 0 9) K θ θ 1 +θ θ 0 )+m sinθ 0. 0) Sottraendo la seconda dalla prima si ricava sinθ 1 sinθ ; sceliendo entrambi li anoli nel primo quadrante si ha θ θ 1 e quindi K θ θ 1 θ 0 )+m sinθ )

5 Ponendo quindi θ 1 π/4, metà dell anolo relativo, si ha θ 0 π + m. 4 K θ ).b) Equazioni del moto linearizzate. a linearizzazione del radiente dell eneria potenziale comporta sostanzialmente la linearizzazione dei contributi associati al peso, sinθ i π ) π sin +cos θ i 4 4) π ) 4 + θ i. ) eneria cinetica è E c 1 ) m θ J G θ ) m θ + 1 J G θ 1 m θ 1 + θ ), 4) ove si è posto J G m /1. Siccome è quadratica nelle derivate prime delle coordinate, ne conseue che le equazioni linearizzate del moto sono m { θ1 K θ m K { { θ θ1 0 θ. 5) K θ K θ + 4 m θ 0.c) Frequenze caratteristiche e modi propri. Con la sostituzione proposta per K θ il problema, ià omoeneo, diventa { θ1 θ Gli autovalori sono + 4 [ 1 1 ]{ θ1 θ { ) λ 4 { 1. 7) Gli autovettori corrispondenti sono {X 1 [1; 1] e {X [1; 1]. Il primo, associato all autovalore più piccolo in modulo, corrisponde ad una oscillazione riida del sistema, in cui l anolo relativo non varia. Il secondo, associato all autovalore più rande in modulo, corrisponde ad una oscillazione simmetrica rispetto alla verticale. Data la simmetria del problema, era lecito attendersi una soluzione simmetrica ed una antisimmetrica. {X 1 {X