Università di Pavia Facoltà di Ingegneria Esame di Meccanica Razionale Appello del 26 febbraio 2004 Soluzioni: parte II

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1 Università di Pavia Facoltà di Ineneria Esame di Meccanica Razionale ppello del 26 febbraio 2004 Soluzioni: parte II Q1. Un corpo è formato da due aste omoenee:, di massa m e lunhezza 4l, e, di massa m e lunhezza 6l, saldate ad anolo retto in modo che si trovi a distanza l da (Fiura 1). alcolare il momento centrale d inerzia complessivo I z nella direzione di un asse perpendicolare al piano contenente le due aste. 2 1 Fi. 1 Poiché viene chiesto di calcolare il momento centrale d inerzia complessivo I z, conviene scrivere il tensore centrale d inerzia II G (ossia calcolato nel centro di massa G del sistema) mediante il teorema di composizione, che consente di evitare di determinare esplicitamente la posizione di G; in base al teorema, usando l indice i = 1 per ciò che si riferisce all asta e i = 2 per ciò che si riferisce all asta, possiamo scrivere che: II G = II 1 + II 2 + µd 2 (I e e), (1) dove II i (con i = 1, 2) indica il tensore centrale d inerzia di ciascun corpo (ossia calcolato nel rispettivo centro di massa), µ = m1m2 m 1+m 2 è la massa ridotta del sistema, d := 1 2 è la distanza fra i due centri di massa delle aste ed e = 1 2 d è un versore diretto come la coniunente i due punti 1 e 2. Il tensore centrale d inerzia per ciascuna asta è: II i = 1 12 ν iλ 2 i (I e i e i ), (2) dove ν i è la massa di ciascuna asta, λ i la corrispondente lunhezza ed e i un versore orientato come l asta. 1

2 Non è necessario determinare esplicitamente i versori nelle (1, 2), poiché tutti iacciono nel piano di {, } e, quindi: e z e = e z e 1 = e z e 2 = 0. () Il quadrato della distanza d può essere calcolato semplicemente dal trianolo rettanolo G 1 G 2 ; in base ai dati eometrici forniti, abbiamo: la massa ridotta, inoltre, risulta essere d 2 = (G 1 ) 2 + (G 2 ) 2 = 4l 2 + 4l 2 = 8l 2 ; (4) µ = m 1m 2 m 1 + m 2 = m2 2m = m 2. (5) Sostituendo le (4, 5) nella (1) otteniamo, ricordando le condizioni (): I z = e z II e z = 1 12 m(16l2 ) m(6l2 ) m(8l2 ), (6) cioè, svolendo i calcoli: I z = 25 ml2. (7) Q2. Dati i tensori = + 2 e z, e = + e z, calcolare [, ] :=. Ricordando la reola di contrazione delle diadi calcoliamo i due prodotti fra tensori: (a b)(c d) = (b c)a d, = + = e z e z e z ; (8a) (8b) dalle (8) si ha immediatamente: [, ] := = + e z e z e z. (9) lternativamente, si potrebbe rappresentare i tensori in forma matriciale, eseuire i prodotti fra matrici, e ritornare alla forma diadica dopo avere eseuito il calcolo della (9). Q. La struttura riida chiusa riportata in Fiura 2 è posta in un piano verticale ed è composta da tre aste omoenee rettilinee. L asta, di massa m e lunhezza l, inclinata di π sull orizzontale, è incernierata a terra in ; l asta, di massa trascurabile e lunhezza l, disposta orizzontalmente, è incernierata a terra in e vincolata in da un carrello orizzontale; infine, l asta, di massa trascurabile e lunhezza l, ha li estremi incernierati ali estremi corrispondenti delle altre aste. Se su aisce una coppia di momento M = mle z, determinare il valore assoluto dello sforzo assiale cui è soetta l asta nel punto. ominciamo ad aprire la struttura staccando l asta dalla cerniera a terra; sul punto dell asta, quindi, dobbiamo considerare applicata la reazione complessiva Φ = Φ x +Φ y, con 2

3 M Fi. 2 due componenti inconite. Queste inconite possono essere determinate imponendo l equilibrio del momento M calcolato in delle forze aenti sull asta e quello del momento M in delle forze aenti sulle aste e (si veda la Fiura 2a): M M := M e z = m 1 4 l Φ 1 y 2 l + Φ x 2 l = 0 (10a) := M e z = m 4 l Φ yl + ml = 0. (10b) m mle z Φ y Φ x Fi. 2a Dalla (10b) si ricava immediatamente il valore di Φ y, che, sostituito nella (10a), permette di determinare Φ x ; a conti fatti si ha: Φ x = 7 m 12 Φ y = 1 4 m. (11a) (11b) Proiettando le (11) nella direzione di si ricava subito che l asta è soetta ad uno sforzo assiale N di compressione in dato da: N = 1 2 Φ x + 2 Φ y = 2 12 m. (12)

4 Q4. In un piano verticale, una lamina, avente la forma di un trianolo rettanolo isoscele, omoenea di massa m e cateto l ha il vertice dell anolo retto incernierato su un pianale orizzontale di massa 2m ed ha un altro vertice V appoiato senza attrito su questo pianale. Il pianale è vincolato a scorrere luno una uida orizzontale, ed il suo estremo è attratto da una molla di costante elastica 2 m l e lunhezza a riposo nulla verso un punto fisso, posto alla sua stessa quota (Fiura ). Se, ad un dato istante, il sistema viene messo in moto a partire dalla quiete con =: x 0, qual è il valore limite di x 0 compatibile con il contatto fra la lamina ed il pianale in V durante tutto il moto? V Fi. nzitutto, ricaviamo l equazione oraria del moto del sistema, che, fino a che permane il contatto, si comporta come un unico corpo riido; detta x l ascissa di rispetto ad, possiamo scrivere l equazione differenziale del moto usando la prima equazione cardinale della dinamica proiettata nella direzione : (2m + m)ẍ = mẍ = 2 m l x ; (1) interando la (1) con le condizioni iniziali date nel testo, avendo posto otteniamo: ω 2 0 := 2 l, (14) x(t) = x 0 cos (ω 0 t). (15) La reazione vincolare dovuta all appoio in V è data da una forza Φ = Φ, con Φ 0. Poniamoci ora nel sistema di riferimento non inerziale solidale con il pianale ; possiamo dire che sulla lamina aisce, allora, una forza apparente f a = f a = 2mẍ ; proiettando la seconda equazione cardinale della statica nella direzione perpendicolare al piano del sistema, otteniamo l equilibrio dei momenti M l calcolati rispetto a delle forze aenti sulla lamina in questo riferimento (si veda la Fiura a): M l = M l e z = Φl m l f l a = Φl m l + mẍ l (16) = 0, 4

5 G f a Φ V m Fi. a dove abbiamo sfruttato il fatto che il centro di massa G si trova all interno del trianolo rettanolo, ad una distanza da ciascun cateto pari a 1/ della lunhezza dell altro, e che, poiché il moto è traslatorio, la f a può essere applicata in G. Ricavando ẍ dalla (15) e sostituendo il risultato nella (16), possiamo risolvere quest ultima equazione in Φ. La condizione di appoio è verificata se: Φ(t) = 1 m + 1 [ mω2 0 x 0 cos (ω 0 t) 0 t 0, 2π ]. (17) ω 0 La (17) è verificata se la disuualianza è soddisfatta per il minimo di Φ(t), che occorre per cos (ω 0 t) = 1; il valore limite di x 0 richiesto è quello che rende nullo tale minimo, ossia, tenendo conto della (14): x 0 = 2 l. (18) 5