FISICA MATEMATICA (Ingegneria Civile) V APPELLO ( ) A.A.2017/18

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1 FISICA ATEATICA Ingegneria Civile V APPELLO A.A.207/8 COGNOE E NOE N.Ro ATR LUOGO E DATA DI NASCITA Sia R un disco circolare rigido omogeneo pesante di centro C massa e raggio r che presenta una cavità circolare di raggio r/2 e tangente internamente al bordo del disco stesso. Siano A il centro della cavità e ξ l asse solidale dato da C vers AC. Nello spazio terrestre supposto inerziale il corpo R è vincolato a muoversi su un piano verticale fisso rispetto a terra. Sia x y tale piano con y verticale e orientato verso l alto. Il centro C del disco è vincolato a scorrere lungo una guida circolare fissa nel piano x y avente centro nell origine O del sistema di riferimento e raggio R =: βr con β >. Sia θ l anomalia che il vettore OC forma rispetto al versore e2 contata positivamente nel verso antiorario rispetto a e 3 sia B il punto fisso sul bordo del disco e di coordinate relative r 0 0 e sia φ l anomalia che il vettore CB forma rispetto al versore e contata positivamente nel verso antiorario rispetto a e 3. Tutti i vincoli sono realizzati senza attrito. Sul sistema oltre ai pesi e alla sollecitazione vincolare agisce una forza elastica di costante elastica k applicata al punto B e avente centro nel punto D del sistema di riferimento che ha coordinate 0 R 0. Si assumano come coordinate lagrangiane le due anomalie θ e φ si introduca la costante positiva ρ tale che g =: ρ k R e si risolvano i seguenti punti usando le costanti r ρ β. 0 Facoltativo Dimostrare che sussistono le relazioni ξ G = r/ e J G e3 = r2. Esprimere le energie cinetica e potenziale del sistema e ricavarne le equazioni di Lagrange. 2 Determinare le condizioni di equilibrio;in particolare studiare lastabilità degli equilibri che sono presenti quando g = k R. ostrare poi che se g k R quelle già trovate risultano le uniche posizioni di equilibrio. 3 Scrivere le equazioni cardinali e facoltativo verificare le equazioni trovate nel Punto. Ancora per g = k R ricavare esplicitamente le espressioni globali F v v G della sollecitazione vincolare con la quale la guida agisce sul disco in un istante in cui si hanno θ 0 = 0 φ 0 = 0 θ0 = g/r φ0 = g/r e specificare il valore assunto in tale istante dalla costante c tale che v G = c g r e 3. 5 Imponendo l ulteriore vincolo θ = θ π π] discutere qualitativamente il moto al variare del parametro ρ := g/kr. Si suggerisce di affrontare tale studio introducendo la variabile φ + α con α un opportuna costante. SCRITTO Riservato alla Commissione di Esame ORALE

2 2 Ancora per g = k R ricavare esplicitamente le espressioni globali F v v G della sollecitazione vincolare con la quale la guida agisce sul disco in un istante in cui si hanno θ 0 = 0 ϕ 0 = 0 θ0 = g/r ϕ0 = g/r e specificare il valore assunto in tale istante dalla costante c tale che v G = c g r e 3. 5 Imponendo l ulteriore vincolo θ = θ π π] discutere qualitativamente il moto al variare del parametro ρ := g/kr. Si suggerisce di affrontare tale studio introducendo la variabile ϕ + α con α un opportuna costante. Risoluzione dell Esercizio Punto 0 L ascissa ξ G del baricentro e il momento d inerzia J G e3 del corpo R sono conseguenze delle seguenti µπ r 2 r2 2 0 = µπ r2 µπ r2 Pertanto ξ 2 G + J G e3 = 3 8 r + µπ 2 r 2 / + r2 2 µπ r2 r2 e J G e3 = r r 2 r2 ξ G con µπ = ξ 2 G + J G e3 ξ G = µπ r2 e quindi dato che r 2 r2 r 2. = µ π r2 = 3 seguono ξ G = r = r2 insieme con ξ 2 G + J G e3 = 3 2 r2. Punto Sussistono le relazioni nelle quali non verrà scritta la terza componente dei vettori se questi sono sul piano x y sin θ cos ϕ cos ϕ OC e = R ε cos θ e = CB e = r sin θ cos ϕ sin θ cos ϕ OG e = R + ξ cos θ G OB e = R + r cos θ v C e = R θ cos θ v sin θ G e = R θ cos θ + ξ sin θ G ϕ cos ϕ θ cos θ a C e = R θ2 sin θ R sin θ r cos ϕ θ sin θ + θ BD 2 cos θ e = R + R cos θ r θ cos θ a G e = R θ2 sin θ ϕ θ sin θ + θ 2 + ξ ϕ2 cos ϕ G cos θ ϕ cos ϕ ϕ 2. Di conseguenza si hanno le V = g y G + 2 k R sin θ + r cos ϕ 2 + R + R cos θ r 2 = g R cos θ + ξ G + 2 k 2RR cos θ r + 2Rr sinθ ϕ + cost. = gr + kr 2 cos θ + gξ G krr + krr sinθ ϕ + cost. T = 2 R2 θ2 + 2 ξ2 G ϕ 2 + Rξ G ϕ θ sinθ ϕ + 2 J G e 3 ϕ2 = 2 R2 θ2 + 2 e quindi V θ = gr + kr2 sin θ + krr cosθ ϕ V ϕ = + gξ G krr cos ϕ krr cosθ ϕ r2 3 2 ϕ 2 + Rr ϕ θ sinθ ϕ T θ = R2 θ + Rr ϕ sinθ ϕ T 3 = ϕ 2 r2 ϕ + Rr θ sinθ ϕ Lo Schiavo 8 Aprile 208 pagina 2

3 3 2 V θ 2 = gr + kr2 cos θ krr sinθ ϕ 2 V ϕ 2 = gξ G krr krr sinθ ϕ 2 V = +krr sinθ ϕ θ ϕ 2 T θ = 2 R2 2 T 3 = ϕ 2 2 r2 2 T θ ϕ = Rr sinθ ϕ T θ = Rr ϕ θ cosθ ϕ T ϕ = Rr ϕ θ cosθ ϕ L θ L ϕ Dalle seguono anche le equazioni di Lagrange: R 2 θ + Rr ϕ sinθ ϕ Rr ϕ 2 cosθ ϕ = gr + kr 2 sin θ krr cosθ ϕ Rr θ sinθ ϕ Rr θ 2 cosθ ϕ = gξ G krr cos ϕ + krr cosθ ϕ e qualora fossero richieste le loro linearizzate nella posizione θ e ϕ e : R 2 θ + Rr sinθ e ϕ e ϕ = Rr sinθ e ϕ e θ + 3 gr + kr 2 cos θ e krr sinθ e ϕ e + krr sinθ e ϕ e ϕ ϕ e 2 r2 ϕ = krr sinθe ϕ e θ θ e gξ G krr e + krr sinθ e ϕ e θ θ e ϕ ϕ e Punto 2 Dalle si ricavano le condizioni di equilibrio: { gr + kr 2 sin θ krr cosθ ϕ = 0 gξ G krr cos ϕ + krr cosθ ϕ = che con g =: ρkr ed R = β r forniscono le { a sin θ = b cos ϕ a sin θ = cos θ cos ϕ + sin θ ovvero se a 0 e b 0 ne segue che o è sin θ = 0 oppure con a b cos θ sin θ ± sin θ { a sin θ = cosθ ϕ b cos ϕ = cosθ ϕ a := k R2 g R k R r b := k R r g ξ G k R r da cui = β ρ = ρ/ a2 b 2 sin2 θ = a sin θ ; ± b 2 a 2 + a 2 cos 2 θ = a b + a cos θ che dà 2a 2 b cos θ = a 2 b 2 + a 2 b 2. Pertanto dato che è ξ G < r < R dalle e si hanno i seguenti casi: g = k R che implica a = 0 e b 0 con cosθ ϕ = 0 e quindi cos ϕ = 0 e sin θ = 0 ;. Lo Schiavo 8 Aprile 208 pagina 3

4 2 g ξ G = k R 2 e a 0 b = 0 che implica di nuovo cosθ ϕ = 0 e quindi cos ϕ = 0 e sin θ = 0 ; 3 a 0 e b 0 e le e implicano: o che sin θ = 0 e dunque anche cos ϕ = 0 cos θ e = b2 a 2 + a 2 2a 2 b = b 2 oppure che a 2 + b 2 =: χ purché sia χ [ +]. È facile concludere che se ρ allora a e b e quindi χ χ + := +. In definitiva se g = k R e cioè ρ = dalle segue come si è detto cosθ ϕ = 0 e quindi cos ϕ = 0. Pertanto sin θ sin π = 0 da cui sin θ = 0 e viceversa. Ne seguono quattro posizioni di equilibrio θ = 0 θ2 = 0 θ3 = π θ = π C = C 2 = C 3 = C =. ϕ = +π/2 ϕ 2 = π/2 ϕ 3 = +π/2 ϕ = π/2 Dalle seguono poi in particolare e ancora con g = ρkr le R a = 2 Rr sinθ ϕ Rr sinθ ϕ 3 2 r2 b = gr + kr 2 cos θ krr sinθ ϕ +krr sinθ ϕ +krr sinθ ϕ gξ G krr krr sinθ ϕ ovvero b = krr βρ cos θ sinθ ϕ sinθ ϕ sinθ ϕ ρ/ sinθ ϕ e nelle quattro posizioni dette si hanno le b βρ + = krr b ρ/ + 2 = krr b 3 = krr Queste con ρ = diventano βρ + + ρ/ b b 3 = krr = krr / + + / b = krr b 2 = krr b = krr e se ne conclude che in tal caso la C = 0 π/2 è l unica posizione stabile. Punto 2 bis βρ + + ρ/ βρ + ρ/ / / Nella posizione θ = 0 ϕ = π/2 le equazioni linearizzate diventano: che per ρ = sono: R 2 θ Rr ϕ = gr kr 2 + krr θ krr ϕ π/2 Rr θ r2 ϕ = krr θ g r/ krr krr ϕ π/2 3 2 β k θ 3 k θ k ϕ = 2 θ 2 ϕ π/2 k ϕ = 2 θ ϕ π/2 3. Lo Schiavo 8 Aprile 208 pagina.

5 5 Per trovare i modi normali occorre quindi risolvere l equazione 3 2 β 2 9 k β k Det λ k λ k λ k λ 3 λ k 22 λ 3 + = 0 e cioè = 0 e gli autovettori sono allora le soluzioni delle 2 2 β k λ α β k λ 2 α k λ β = 0 k λ 2 β 2 = 0 da cui segue la relativa matrice di trasformazione p. Con questa p e con le ν 2 := λ 2 si calcolano le θ lin t ϕ lin = p cos ν t 0 t π/2 0 cos ν 2 t p θ 0 + p ν sin ν t 0 ϕ 0 π/2 sin ν 2 t p θ0 ϕ 0 0 ν 2 Punto 3 Sussistono le equazioni cardinali: a G K G = g k DB + F v = GB k DB + GC F v + v C dalle quali ricavare siccome i vincoli sono tutti senza attrito che Fz v = 0 e che v C è nulla. Poi dovendo essere F v OC = a G g + k DB OC = 0 F v CG = K G GB k DB dalle stesse ne seguono le condizioni a G g + k DB y C a G g + k DB x C = 0 x y a G g + k DB y G y C a G g + k DB x G x C x y 5 = J G e3 ϕ + r ε k R sin θ + r cos ϕ e R + R cos θ r e 2 e 3 ovvero: ẍ G + kr sin θ + kr cos ϕ R cos θ = ÿ G + g kr + R cos θ r R sin θ r r ẍ G + kr sin θ + kr cos ϕ ÿ G + g kr + R cos θ r cos ϕ = r2 ϕ kr R sin θ + r cos ϕ + R + R cos θ r cos ϕ o anche ẍ G cos θ + ÿ G sin θ = g + kr + R cos θ r R sin θ kr sin θ + kr cos ϕr cos θ r r ẍ G + ÿ G cos ϕ + g kr + R cos θ r cos ϕ kr sin θ + kr cos ϕ r = kr R + R cos θ r cos ϕ + R sin θ + R cos ϕ Lo Schiavo 8 Aprile 208 pagina 5

6 cioè R θ + r ϕ sinθ ϕ ϕ2 cosθ ϕ = g + kr + R cos θ r R sin θ kr sin θ + kr cos ϕr cos θ R θ sinθ ϕ + cos 2 θ cosθ ϕ + r ϕ kr cosθ ϕ + r cos ϕ = equazioni queste che coincidono con le provare per credere. kr R + R cos θ r cos ϕ + R sin θ + R cos ϕ Punto Dalle si ricava allora F v = a G g + k DB con la quale è possibile calcolare la G v = C v + GC F v = F v CG. D altra parte per θ0 = 0 e ϕ 0 = 0 si hanno θ a G e = R ϕ2 θ 2 + ξ G ϕ 0 g e = k 0 DB g e = k 2R e quindi se ne conclude che per tali valori si ha F v e = R θ R θ 2 + ξg ϕ2 0 k r + +. ξ G ϕ g 2kR A loro volta i valori delle θ 0 e ϕ 0 si possono ricavare a partire dalle equazioni di Lagrange: Infatti per θ 0 = 0 e ϕ 0 = 0 quelle diventano: R 2 θ Rr ϕ 2 = k R r e dunque θ0 = 0 e ϕ0 = 0 2 g 3 r. F v e = e questa fornisce K G + GB k DB = 3 2 Rr θ 2 = g r + 2k R r Tramite queste si ricava la R θ ξ ϕ2 G + k r R θ 2 + ξ G ϕ + g 2k R = β g + β k R + 2 g 2kR v G = F v CG = c g r e3 con c = Punto 5 L imposizione dell ulteriore vincolo θ = θ assegna per la ϕ un unica equazione che si calcola specificando la seconda delle nella Introducendo: 3 2 r2 ϕ = gξg krr cos ϕ + krr cosθ ϕ = gξ G + krr + krr cos θ cos ϕ + krr sin θ. δ 2 := gξ G + krr + krr cos θ 2 + krr sin θ 2 =: c 2 + c 2 2 e α tale che { cos α : = c2 /δ sin α : = c /δ l equazione diviene ϕ = δ sinϕ + α r2 la quale a seconda del valore della costante ρ = g e sfruttando l integrale primo: kr E := 39 3 r2 ϕ2 + δ cosϕ + α = E 0. Lo Schiavo 8 Aprile 208 pagina