IV APP LUG 2018 IV APP LUG 2018

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1 IV APP LUG 28 IV APP LUG 28

2 7 Pertanto M ξ 2 G + J G e = 8 ξ G = r µπ 4 e J G e = M r 2 24 e quindi dato che = 9 72 = 24 = 7 72 M insieme con M ξ 2 G + J G e = 24 M. Punto Sussistono le relazioni nelle quali non verrà scritta la terza componente dei vettori se questi sono sul piano x y sin θ cos φ cos φ OC e = R ε cos θ e = CB e = r sin θ cos φ sin θ cos φ OG e = R + ξ cos θ G OB e = R + r cos θ v C e = R θ cos θ v sin θ G e = R θ cos θ + ξ sin θ G φ cos φ θ cos θ a C e = R θ2 sin θ θ sin θ + θ BD 2 cos θ e = R + R cos θ r θ cos θ a G e = R θ2 sin θ φ θ sin θ + θ 2 + ξ φ2 cos φ G cos θ φ cos φ φ 2. Di conseguenza si hanno le V = M gy G + 2 k R + R cos θ r 2 equindi = M g R cos θ + ξ G + R 2 k 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 φ +2R 2 cos θ 2Rr 2Rr cos θ + cost. = 2 kr2 cos 2 θ + 2 k sin 2 φ + M g + kr R cos θ +Mg/ kr r krr cos θ + cost. T = 2 M R2 θ2 + 2 M ξ2 φ G 2 + M Rξ G φ θ sinθ φ+ 2 J G e φ2 = 2 M R2 θ2 + 2 M 24 φ 2 + M Rr φ θ sinθ φ V θ = kr2 cos θ sin θ M g + kr R sin θ + krr sin θ = R kr krcos θ +Mg kr sin θ = β kr 2 β cos θ + βρ sin θ V φ = k cos φ +Mg/ kr r cos φ krr cos θ cos φ = r kr krcos θ + M g kr cos φ = kr 2 β cos θ + β ρ cos φ 5..2 T θ = M R2 θ + M Rr φ sinθ φ T = φ 24 M φ + M Rr θ sinθ φ T θ = + M Rr φ θ cosθ φ T φ = M Rr φ θ cosθ φ. 5.. M. Lo Schiavo 8 Aprile 28 pagina 7

3 8 Dalle 5..2 e 5.. seguono le equazioni di Lagrange: L θ L φ M R 2 θ + M Rr φ sinθ φ M Rr φ 2 cosθ φ = R kr krcos θ +Mg kr sin θ + M Rr θ sinθ φ+ 24 M φ + M Rr θ 2 cosθ φ = r kr krcos θ + M g kr cos φ 5..4 Punto 2 Dalle 5..2 si ricavano le condizioni di equilibrio: R kr krcos θ +Mg kr sin θ = r kr krcos θ + M g kr cos φ = ovvero essendo kr = kβ r le β cos θ + βρ sin θ = β cos θ + β ρ cos φ = Pertanto con i dati ρ =8 e β = 2 esse diventano: 2 cos θ + 4 sin θ = 2 cos θ + 2 cos φ = e forniscono sin θ = come condizione necessaria; a questa si aggiunge cos φ +2 + il cui coefficiente è comunque diverso da zero. Rimangono quindi solo le seguenti quattro posizioni di equilibrio θ = θ2 = θ = π θ4 = π C = C 2 = C = C 4 =. φ = π/2 φ 2 = π/2 φ = π/2 φ 4 = π/2 D altra parte dalle 5..2 e 5.. si ricavano anche le 2 V θ 2 = R kr krcos θ +Mg kr cos θ + kr 2 sin 2 θ 2 V kr φ 2 = r krcos θ + M g kr + kr 2 cos 2 φ 2 V = krr sin θ cos φ θ φ 5.. oltre che le 2 T θ 2 = M R 2 2 T φ = 2 24 M 2 T θ φ = M Rr sinθ φ Ne seguono in particolare con M g =: ρkr e con β := R/r le M R a = 2 M Rr sinθ φ M Rr sinθ φ 24 M b = kr 2 β β cos θ + βρ cos θ + β2 sin 2 θ β sin θ cos φ β sin θ cos φ β cos θ + β ρ + cos 2 φ 5..8 M. Lo Schiavo 8 Aprile 28 pagina 8

4 9 o anche Queste si specializzano nelle ecioènelle 4 cos 2θ +2sinφcos θ + 28 cos θ 2 sin θ cos φ b = kr 2 2 sin θ cos φ cos 2θ + 2 cos θ 2 b = kr 2 β + βρ 2 + β ρ 2 b = kr 2 β + ρβ + ρ β b 2 = kr 2 β +βρ 2 +β ρ 2 b 4 = kr 2 β +ρβ + ρ β b = kr 2 2 che permettono di concludere che la b 2 = kr b = kr 2 4 b 4 = kr 2 5 C = π/2 è l unica posizione di equilibrio stabile. Punto Le equazioni cardinali sono invece M a G = M g k DB + F v K G = GB k DB + GC F v + M C v 5..9 dalle quali ricavare siccome i vincoli sono tutti senza attrito che Fz v = echequindi M v C e è nulla. Poi dovendo essere F v OC = M a G M g + k DB OC = F v CG = K G + GB k DB 5..2 dalle stesse 5..9 si deducono le condizioni M a G M g + k DB y C = M a G M g + k DB x C x y M a G M g + k DB y G y C M a G M g + k DB x G x C x y 5 = J G e φ r ε kr + R cos θ r e 2 e ovvero: M R ẍ G cos θ = M ÿ G + M g kr + R cos θ r R sin θ M r r ẍg M ÿ G + M g kr + R cos θ r cos φ o anche = 7 72 M 5 φ kr R + R cos θ r cos φ M R ẍ G cos θ +ÿ G sin θ = M g + kr + R cos θ r R sin θ M r r ẍ G +ÿ G cos φ+ M g kr + R cos θ r cos φ 5..2 = 7 72 M 5 φ + kr R + R cos θ r cos φ equazioni queste che coincidono provare per credere con le D altra parte proiettando la prima equazione cardinale lungo la tangente alla guida: T cos θ e = si ha: sin θ M β r θ cos 2 θ M β r θ 2 sin θ cos θ M r φ cos θ M r φ 2 cos φ cos θ+ +M β r θ sin 2 θ + M β r θ 2 sin θ cos θ + M r φ cos φ sin θ M r φ 2 sin θ = kr sin θ β cos θ + β M g sin θ. M. Lo Schiavo 8 Aprile 28 pagina 9

5 che è la prima Lagrange. A sua volta e usando la matrice di trasformazione p = ottenere le ε -componenti dei vettori: a G ε = GC ε = β r θ cosθ φ β r θ 2 sinθ φ r φ 2 β r θ sinθ φ+βr θ 2 cosθ φ+ r φ 2 r/ GC ε = r/ r/ cos φ cos φ per GB = 5 GC l equazione: K G = GC M a G M g k BD con BD ε = r β cos θ + β r cos φ β cos θ + β proiettata lungo ε fornisce la seconda equazione di Lagrange. Punto 4 Dalle 5..9 si ricava allora F v = M a G M g + k DB con la quale è possibile calcolare la M G v = M C v + GC F v = F v CG.Maperθ = e φ = π/2 si hanno θ M a G e = M R φ θ 2 + M ξ G φ 2 M g e = k DB M g e = k 2R + r e quindi se ne conclude che per tali valori si ha F v M R e = θ M R θ 2 + M ξg φ + +. M ξ G φ2 M g 2kR + kr D altra parte i valori delle θ e φ si possono ricavare a partire dalle equazioni di Lagrange: Infatti per θ = e φ = π/2 quelle diventano: M R 2 θ M Rr φ = M Rr θ + 24 M φ = e dunque necessariamente θ = φ =. Tramite queste si ricava la e questa fornisce F v e = M R θ M ξ G φ M g β +Mg 2kR+ kr = M g 2 β 2kR + kr = M g 2 β 2 ρ + βρ M v G = F v CG = c M gr e con c = dato il parallelismo fra i due vettori. Punto 5 Le linearizzate delle 5..4 nella posizione θ = φ = π/2 ancora con β =2 e ρ =8 sono a r + b r = per r := θ φ π M R 2 e con a = 2 M Rr sinθ φ M Rr sinθ φ 24 M che diviene a 4M r 2 = M M 24 M e con b = 2 k. Dunque esse sono: k 4M θ M φ = 2 k θ M θ + 24 M φ = k φ π M. Lo Schiavo 8 Aprile 28 pagina.

6 Per trovare i corrispondenti modi normali occorre poi risolvere l equazione Det b λ a 2 k 4 λm = Det λ M λ M k 24 λ M = che diviene 9 M 2 λ 2 M k o anche 74 M 2 k 2 λ M k λ + 2 = da cui le ν 2 = λ 2. Autovettori sono allora le soluzioni delle 2 k 4 λ M α + λ M β = 2 k 4 λ 2 M α 2 + λ 2 M β 2 = λ + 2 k2 = da cui segue la corrispondente matrice di trasformazione p. Con questa e con le ν 2 := λ 2 si calcolano le θ lin t φ lin = p cos ν t t π/2 cos ν 2 t p Esercizio 5.. θ + p ν sin ν t φ π/2 sin ν 2 t p θ φ ν 2