DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI

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1 DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI Tema d esame Esercizio 1. Un disco di raggio R, massa m e momento d inerzia baricentrico J, posto in un piano verticale, rotola senza strisciare su una guida circolare di raggio, con coefficiente di attrito statico f s. Il centro A del disco, che corrisponde al suo baricentro, è collegato al centro O della guida da un asta elastica O A di massa trascurabile, precaricata con una tensione N, che mantiene il disco premuto sulla guida.ildiscoèazionatodaunmotorecheapplicaunacoppiamotrice C m tra disco e asta O A rotore solidale al disco, statore all asta). R, m, J A C m B φ O N a) Si calcoli la velocità angolare relativa tra disco e asta O A in funzione dell angolo θ; 1.b) si calcoli la coppia C m necessaria per avere costante; 1.c) si calcolino le forze scambiate al contatto in B tra disco e guida e si verifichi l aderenza del disco; θ g Esercizio. Un motore con inerzia J m genera una coppia C m che viene trasmessa ad un utilizzatore mediante la trasmissione T, con rapporto di trasmissione τ e rendimento diretto η. La trasmissione mette in rotazione un disco di raggio R e inerzia J sul quale rotola senza strisciare un secondo disco, identico. Su ogni disco si avvolge senza strisciare una fune inestensibile e di massa trascurabile. Le funi, a loro volta avvolgendosi su pulegge di inerzia trascurabile, trascinano rispettivamente verso destra un cilindro di massa M c e verso sinistra un pistone di massa M p e area A p che vi scorre dentro. Il movimento del pistone causa il trafilamento di fluido tra le due camere del cilindro attraverso un orifizio di area A o e coefficiente di efflusso turbolento C e, in modo che la portata tra la camera a pressione più alta e quella a pressione più bassa sia p q = sign p)c e A o ρ Tutti i dischi e le pulegge sono incernierati a terra. Si valuti: J m R, J C m M p A p A o a) la velocità di regime con coppia motrice costante e assegnata C m ;.b) l accelerazione allo spunto per la medesima coppia motrice del punto precedente;.c) la componente tangenziale della forza scambiata al contatto tra i due dischi nel caso.b). T M c Esercizio. Il punto medio B di un asta A C di lunghezza L e massa trascurabile, posta nel piano verticale, è incernierato ad un carrello che scorre su un piano orizzontale, a sua volta collegato al terreno da una molla di rigidezza. Nei punti A e B dell asta sono poste due masse puntiformi m. All estremo C dell asta agisce in direzione orizzontale una molla di rigidezza..a) Si calcoli la lunghezza indeformata delle molle affinché la posizione con l asta inclinata di θ 0 = 0 gradi e x 0 = 0 sia di equilibrio statico per zt) = 0;.b) si determini la condizione analitica che deve essere verificata perché tale posizione di equilibrio sia stabile;.c) si calcoli la risposta al movimento zt) = Ze jωt imposto al punto D. m zt) D A θ L x B m L C g E

2 Traccia della soluzione. Esercizio 1. 1.a) Velocità relativa tra disco e asta. Il punto A, centro del disco, percorre una traiettoria circolare con centro in O e raggio +R. La sua velocità in funzione di φ è va = R φ; in funzione di invece si ha v A = +R ). Ne consegue φ = 1+ R ) 1 1) R La velocità relativa tra disco e asta è ω m = φ = R ) 1.b) Coppia motrice. La potenza delle forze attive è Π = C m ω m mg +R )cosθ. ) L energia cinetica del sistema è E c = 1 J φ + 1 m +R ) Quando è costante l energia cinetica non varia, per cui si ha Π = 0, da cui ) C m = mg R + R cosθ 4) 5) 1.c) Verifica di aderenza. Si isoli il disco, mettendo in evidenza le componenti normale e tangenziale della reazione scambiata al contatto, R N diretta radialmente verso l esterno e R T diretta tangenzialmente in senso orario. All equilibrio alla traslazione in direzione radiale partecipano la reazione R N, il precarico N della molla, la forza centrifuga e il peso, R N N +m +R ) mgsinθ = 0 6) R N = N m +R ) +mgsinθ 7) Perché non si abbia distacco, ovvero perché N > 0, il precarico deve essere N > m +R ) mgsinθ Nota la velocità massima max, si ha N > max m +R ) ) mgsinθ = m +R ) ) max +g 8) 9) Tale condizione si verifica quando θ = π/. All equilibrio alla rotazione del disco attorno al punto A partecipano la coppia motrice, positiva in senso antiorario e la componente tangenziale della reazione al contatto, C m +R T R = 0 10)

3 R T = mg 1+ R ) cosθ 11) Si ha aderenza se f s > R T R N = mg1+r / ) cosθ N m +R ) +mgsinθ 1) Esercizio. Siaω m lavelocitàangolaredelmotore.siaω u = τω m lavelocitàangolaredelprimodisco,positivaquando ruota in senso antiorario. La velocità con cui il disco trascina la fune e quindi il cilindro è v = Rω u = Rτω m. Il secondo disco ruota con velocità angolare uguale ed opposta a quella del primo disco. Di conseguenza il pistone è trascinato con velocità v, in direzione opposta a quella del cilindro. Quindi la velocità relativa con cui cilindro e pistone si allontanano è v r = v = Rτω m..a) Velocità di regime. Il bilancio di portata nella camera di destra del cilindro, in assenza di perdite, è q = V, p sign p)c e A o = A p v r 1) ρ e quindi Ap p = ρ C e A o ) v r v r 14) Ne consegue che la potenza associata all efflusso è con Π e = A p pv r = v r = ω m 15) = 4ρA prτ) C e A o ) 16) La potenza erogata dal motore a regime è Π m = C m ω m. Il bilancio di potenza a valle della trasmissione, assumendo ω m > 0 e quindi moto diretto, dà ηc m ω m ω m = 0 17) ω m = ηcm 18).b) Accelerazione allo spunto. Allo spunto, ovvero a velocità nulla, la potenza assorbita dall utilizzatore è dovuta alle sole forze e coppie d inerzia. L energia cinetica dell utilizzatore è E cu = 1 Jω u + 1 M cr ωu + 1 M pr ωu = 1 J +Mc +M p )R ) ωu 19) {{ J

4 La potenza uscente dal motore ora è Π m = ηc m J m ω m )ω m 0) Il bilancio di potenza dà Si ricava ηc m J m ω m )ω m J ω u ω u = 0 1) ω m = ηc m ηj m +τ J ).c) Reazione al contatto tra i dischi. Allo spunto la tensione nella fune di sinistra è pari alla forza d inerzia associata al pistone, T s = mrτ ω m. Sia R T la componente tangenziale della reazione vincolare al contatto tra i dischi che agisce sul disco di sinistra, positiva verso il basso. L equilibrio alla rotazione del disco di sinistra dà T s R Jτ ω m +RR T = 0 ) R T = T s + J R τ ω m = mr+ J ) τ ω m 4) R Esercizio..a) Precarico. Sia u l allungamento per il quale è scarica la molla B E; sia u 0 l allungamento per il quale è scarica la molla C D. L allungamento della molla B E è u 1 = x u ; L allungamento della molla C D è u = x+lsinθ z u 0. La quota del punto A è h A = Lcosθ. L energia potenziale è E p = mgh A + 1 u u = mglcosθ + 1 x u ) + 1 x+lsinθ z u 0) 5) Il suo gradiente dà E p x = x u )+x+lsinθ z u 0 ) 6) E p θ = mglsinθ +x+lsinθ z u 0)Lcosθ 7) Si consideri la soluzione x = 0, θ = π/6 e ovviamente anche per z = 0); si ottiene u = mg 8) u 0 = L mg 9).b) Condizione per stabilità. Si consideri ora la matrice hessiana valutata nella configurazione di equilibrio E p E p x L x θ E p E p = x θ θ L 4 L mgl 0)

5 Perché la soluzione sia stabile si deve avere > mg L ).c) Risposta a forzamento. La velocità del punto B è v B = ẋ; la velocità del punto A è v A = { ẋ 0 L energia cinetica è { cosθ + sinθ L E c = 1 mẋ + 1 ) ) ) m ẋ cosθl + sinθl = 1 mẋ ) mlcosθẋ +ml T [ = 1 { ẋ m mlcosθ mlcosθ ml ]{ ẋ ) ) Il problema linearizzato si ottiene utilizzando la matrice di massa valutata nella configurazione di equilibrio e la matrice hessiana come matrice di rigidezza; i contributi a termine noto si ricavano dall espressione del gradiente dell energia potenziale che dipendono da z, valutati anch essi nella configurazione di equilibrio ovvero m ml ml ml { ẍ θ + L L { 4 L mgl x = θ L z 4) [M]{ q+[k]{q = {Bzt) 5) La soluzione ha la forma {q = {Qe jωt, ove {Q si ottiene da {Q = [K] Ω [M] ) 1 {B 6) nell ipotesi che Ω sia diversa dalle frequenze caratteristiche del problema.