DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI

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1 DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI Tema esame 7 giugno 011 Esercizio 1. Nel meccanismo in figura una massa puntiforme m è vincolata a scorrere orizzontalmente a una scanalatura orizzontale, per effetto el movimento ella guia scanalata incernierata in P avente massa M a e momento inerzia baricentrico J a, con baricentro G posto alla istanza al punto P. Meiante un asta i lungezza L, la massa m è collegata in D al centro i un isco i raggio, massa M e momento inerzia baricentrico J, ce rotola senza strisciare lungo il piano orizzontale. Una molla i rigiezza k collega la periferia el isco alla struttura fissa. Si assuma precarico nullo ella molla nella conizione i guia scanalata in posizione verticale =0 ): in tale configurazione il punto P si trova alla istanza b al sistema i riferimento fisso. Si trascurino gli attriti tra massa m e le ue scanalature presenti nel sistema. PARTE A. Si etermini: 1) la velocità e l accelerazione angolare el isco in funzione elle coorinate t) e yt) e elle relative erivate temporali, tracciano i corrisponenti iagrammi vettoriali elle velocità e elle accelerazioni; lo spostamento yt) è arbitrario ma è imposto con tutte le sue erivate; ) il valore istantaneo i una coppia a applicare alla guia scanalata a partire alla posizione verticale ella guia stessa, affincé si abbia velocità angolare costante assumeno y t y t y t 0 ) 3) la tensione ell asta ce connette il isco alla massa puntiforme nella conizione al punto assumeno y t y t y t ) 0 4) le posizioni i equilibrio statico el sistema iscutenone la stabilità assumeno y t y t y t 0 PARTE B. Consierano uno spostamento i vincolo imposto in P, yt ) ysin t, si etermini: 0 ) 5) l equazione i moto linearizzata el sistema attorno alla conizione i equilibrio con asta verticale; 6) la frequenza propria el sistema linearizzato attorno alla conizione i equilibrio con asta verticale; 7) l ampiezza elle oscillazioni a regime nel punto D; 8) la forza a applicare al vincolo in P per ottenere lo spostamento imposto. Esercizio. Un trattore i massa complessiva M baricentro in G) si muove lungo una salita con penenza sollevano, per mezzo i una fune inestensibile, un corpo i massa m. La fune si avvolge senza strisciare su una puleggia i rinvio i raggio R c e momento inerzia J c. Il trattore è a trazione posteriore con ruote posteriori i raggio R p e momento inerzia J p per ogni ruota. Le ruote anteriori anno invece raggio R a e momento inerzia J a ciascuna. Si supponga il sistema i trasmissione costituito al motore avente momento inerzia J m, al cambio avente rapporto i trasmissione c e renimento iretto c e al ifferenziale avente rapporto i trasmissione p e renimento iretto p. Nelle ipotesi i resistenza al rotolamento efinito al coefficiente f v per tutte e quattro le ruote e trascurano la resistenza aeroinamica, si etermini: 1) la coppia motrice nella conizione i regime a velocità costante V; ) l accelerazione el trattore allo spunto a fermo con una coppia motrice pari al oppio i quella i regime; 3) le conizioni i aerenza elle ue ruote posteriori nella conizione i funzionamento el punto f s coefficiente i attrito statico); 4) la reazione el cuscinetto ella puleggia i rinvio in C nella conizione i funzionamento el punto.

2 DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI TRACCIA DELLA SOLUZIONE Tema esame Soluzione Es. 1 1.A.1) Cinematica. Il isco rotola su un piano orizzontale i un angolo α = x m /, ove x m è lo spostamento ella massa m. Questo, a sua volta, è x m = yt) + tan θt). La velocità e l accelerazione angolare el isco sono rispettivamente α = ẏt) tan θt) ) θt) 1) α = ÿt) tan θt) ) θt) + tan θt) 1 + tan θt) ) θ t) ) 1.A.) Coppia. Nella posizione inicata la molla è scarica. Si consieri il teorema ell energia cinetica. Quest ultima vale E c = 1 M a v G v G + 1 J a θ + 1 m + M ) ẋ m + 1 J α, 3) con v G v G = θ, mentre la potenza elle forze attive, tranne quelle inerzia, è Π = C θ mgẏ G. 4) La erivata ell energia cinetica à E c t = M a + J a ) θ θ + m + M ) R + J ) α α. 5) Siccome nel caso consierato θ eve essere costante, allora θ = 0. Inoltre, per θ = 0, ance α = 0. Ne consegue ce la erivata ell energia cinetica è nulla. Siccome la velocità v G per θ = 0 è orizzontale, ance la potenza el peso è nulla. Ne consegue C = 0. Se si consiera una configurazione generica, con y G = cos θ e u = α, si a ẏ G = θ sin θ; quini, ata la relazione tra α e θ in caso i yt) = 0, è immeiato scrivere Ma + J a ) θ + m + M ) R + J ) 1 + tan θ ) α = C + mg sin θ 4k α 1 + tan θ ) 6) a cui si ricava C = M a ) + J a θ mg sin θ tan θ ) m + M ) R R + J ) α + 4kR α ), 7) ove α e α sono noti in funzione i θ e elle sue erivate. 1.A.3) Tensione. Per θt) = 0 la tensione è nulla per esempio, si scriva l equilibrio alla rotazione el isco rispetto al punto i contatto; nel caso generale, la stessa equazione consente i ricavare agevolmente la tensione, in quanto ipene solo alla forza nella molla e alle forze inerzia sul isco). 1.A.4) Equilibrio e stabilità. L energia potenziale el sistema è E p = M a gy G + 1 ku 8)

3 la quota elle altre masse non può cambiare). Si a E p θ = M ag sin θ + ku u θ = M ag sin θ + 4k 1 + tan θ ) tan θ. 9) Nell intervallo π/ < θ < π/) c è una soluzione per θ = 0. La penenza el contributo in sin θ iminuisce al tenere i θ verso π/. Invece la penenza el contributo in tan θ cresce sensibilmente tene a infinito). Matematicamente è possibile ance il montaggio tale per cui θ = π è soluzione non consierato nel seguito). Si consieri ora E p θ = M ag cos θ + 4k 1 + tan θ ) tan θ ) 10) Quano θ = 0 si a E p θ = M a g + 4k. θ=0 Ne consegue ce la soluzione è staticamente stabile solo se k > M a g/4 ). Questo significa ce la penenza per θ = 0 el contributo in tan θ è maggiore i quella el contributo in sin θ cambiato i segno. Ne consegue ce sarà sempre maggiore, quini altre intersezioni elle ue curve non sono possibili. Viceversa, se la soluzione fosse staticamente instabile, la penenza per θ = 0 el contributo in tan θ sarebbe minore i quella el contributo in sin θ. Di conseguenza sono possibili ue altre intersezioni, simmetrice rispetto a θ = 0, per θ < π/, per 4k θ = acos 3 1) M a g ce a loro volta risulteranno staticamente stabili in quanto la penenza el contributo in tan θ crescente, tenente a + per θ ce tene a ±π/) è sicuramente maggiore i quella el contributo in sin θ calante, tenente a 0 per θ ce tene a ±π/). 1.B.5) Equazione moto linearizzata. Per comoità si consieri un problema a ue grai i libertà, θ e y; l energia cinetica scritta in preceenza e valutata per θ = 0, y = 0 è E c = 1 M a = 1 { θ ẏ L energia potenziale è θ ) 1 ẏ + J a θ + 1 m + M ) θ ) 1 + ẏ + J θ ) + ẏ } ) M a + J a + m + M ) + J R M a + m + M ) + J R M a + m + M ) + J R M a + m + M + J R E p = M a g cos θ + 1 k θ + y)). 14) { θ ẏ 11) }. 13) La matrice essiana corrisponente, per θ = 0 e y = 0, è [ Ma g + 4k [K] = ] 4k. 4k 4k 15)

4 A questo punto, siccome y non è un grao i libertà, si consieri solo la prima equazione, in θ, portano i termini in y a termine noto, M a + J a + m + M + J ) ) R θ + 4k M a g ) θ = M a m + M + J ) ) R ÿ 4ky 16) ovvero J θ + Kθ = m y ÿ + k y y 17) con ovvio significato ei simboli. 1.B.6) Frequenza propria. È ω = K/J. 1.B.7) Ampiezza oscillazioni. Nell ipotesi ce Ω ω, si a θ = θ 0 sinωt), con θ 0 = k y Ω m y K Ω J y 0 18) 1.B.8) Forza necessaria. Il lavoro ella forza F ce occorre applicare in P è δl = δyf ; quini la secona equazione ell ipotetico sistema a ue grai i libertà è ) ) ) M a + m + M + J R θ + M a + m + M + J R a cui è immeiato ricavare F noto il movimento el sistema. ÿ + 4kθ + 4ky = F, 19) Soluzione Es. Si ipotizza ce il problema sia simmetrico rispetto al piano i simmetria el trattore. Questo, a rigore, è vero soltanto a regime, in quanto, in caso i moto vario, l accelerazione angolare el motore fa sì ce la coppia inerzia, iretta come la irezione i avanzamento, comporti una ifferenza tra le reazioni scaricate a terra alle ue ruote i uno stesso asse. Il calcolo i queste ultime, a sua volta, riciee i scrivere ance l equilibrio el veicolo attorno all asse i rollio. Per semplicità, si sceglie i non consierare questo aspetto, ma i tener conto ell inerzia el motore solo ai fini ei bilanci i potenza. L accettabilità ella semplificazione anrebbe verificata, alla fine, valutano l entità ell errore ce si commette. Il problema presenta ue trasmissioni in cascata. Dal momento ce in nessun caso, nel moello consierato, possono essere introotte coppie i alcuna natura tra le ue trasmissioni, esse sono equivalenti a un unica trasmissione ce abbia rapporto i trasmissione τ = τ c τ p e renimento η = η c η p..1) Coppia a regime. Si consieri il teorema ell energia cinetica. Nel caso in esame, a regime la variazione i energia cinetica è nulla. La potenza elle forze attive è Π = C m ω m 1 η) C m C vps + C vp ) ω p C vas + C va ) ω a mgv Mg sin αv, 0) nell ipotesi i moto iretto. Sia ω p = τω m, v = R p ω p = τr p ω m, ω a = v/r a = τr p /R a ω m, ω c = v/r c = τr p /R c ω m. Per l approssimazione illustrata all inizio, C vps = C vp e C vas = C va. La potenza issipata per resistenza al rotolamento è C vi ω i = f v R Nps + R Np ) R p ω p + R Nas + R Na ) R a ω a ) = f v RNi v = f v Mg cos αv Ne consegue C m = τ η M sin α + f v cos α) + m) gr p. ) 1)

5 Per 0 < α < π/ la coppia è positiva, quini l ipotesi i moto iretto è verificata..) Accelerazione. L energia cinetica el sistema è E c = 1 J mωm + 1 Mv + 1 mv + 1 J pωp + 1 J aωa + 1 J cωc = 1 J m + τ Rp M + m + J p Rp + J a Ra + J )) c Rc ωm. 3) Nell ipotesi i moto iretto si a con ω m = ηc m regime τ M sin α + f v cos α) + m) gr p J = τ M sin α + f v cos α) + m) gr p J, 4) J = ηj m + τ Rp M + m + J p Rp + J a Ra + J ) c Rc, 5) aveno tenuto conto ella correzione ell inerzia per la potenza peruta alla trasmissione..3) Verifica aerenza. Si calcoli la tensione T nella fune in uscita al trattore, scriveno l equilibrio alla rotazione i massa e puleggia rispetto alla puleggia stessa, ovvero v T R c + mgr c + m vr c + J c = 0, 6) R c T = mg + m + J ) c Rc v Dall equilibrio alla rotazione el trattore rispetto al punto i contatto elle ruote anteriori si ottiene R Np p + T + M v + Mg b cos α + sin α) + J p ω p + J a ω a + C vp + C va = 0, 8) in cui si è sfruttata la semplificazione enunciata all inizio. Consierano ance l equazione i equilibrio el trattore alla traslazione in irezione perpenicolare al piano, si può esprimere C va in funzione i R Np ; quini, a questa equazione, è immeiato ricavare R Np. Si isoli ora una ruota posteriore. Coerentemente con la semplificazione iniziale, si assuma una ripartizione uniforme i potenza tra le ue ruote posteriori. La potenza ce fluisce al motore alle ruote è η C m J m ω m ) ω m, mentre quella assorbita alle ruote posteriori è Cω p. Ne consegue ce sulla singola ruota agisce la coppia C = η τ C m J m ω m ). A questo punto è immeiato, all equilibrio alla rotazione ella singola ruota attorno al proprio asse, R T p R p + J p ω p + C vp C = 0 30) ricavare la componente tangenziale ella reazione vincolare, 7) 9) R T p = C J p R p Rp v f v R Np. 31) Le ue componenti ella reazione evono verificare la iseguaglianza R T p R Np < f s, 3)

6 con R Np > 0 percé si abbia contatto..4) Reazioni ella puleggia. La tensione T Z nella fune a valle ella puleggia è T Z = mg + v). Dall equilibrio alla traslazione ella puleggia in irezione orizzontale e verticale si ricava H = T cos α V = T sin α T Z M c g. 33) 34)