(a) Sull anello 1 agiscono la forza peso P = mg, diretta verso il basso, e la forza F 21 esercitata dall anello 2, diretta verso l alto, per cui:

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1 Esercitazione n 5 ISICA SPERIMENALE I (Prof. Gabriele ava) A.A. / (C.L. Ing. Ei.) Dinaica. Una catena costituita a cinque anelli, ciascuno i assa = g, viene sollevata in verticale con una accelerazione a =,5 /s. Deterinare: (a) le forze che agiscono tra gli anelli aiacenti; (b) la forza esterna esercitata sull anello più alto. s 3 (a) Sull anello agiscono la forza peso P = g, iretta verso il basso, e la forza esercitata all anello, iretta verso l alto, per cui: P P g = a = (g + a) =,3 N Sull anello agiscono tre forze: il peso P, iretto verso il basso, la forza 3 esercitata all anello 3, iretta verso l alto, la forza = esercitata all anello, iretta verso il basso. Si ha: 3 g = a 3 = + (g + a) =,46 = Ragionano in oo analogo si ottengono: 43 = 3,69 N = 3 ; 54 = 4,9 N = 4 (b) Infine 5 = = 5 (g +a) = 6,5 N

2 . Un corpo i assa scivola senza attrito lungo un arco i circonferenza i raggio R. Supponeno che in A la velocità el corpo sia nulla, eterinare, in funzione i, il punto in cui il corpo si stacca alla guia. R n a C θ P P R Nel generico punto P, applicano il principio ella inaica, si ha: a n ove R n è la reazione vincolare ortogonale al vincolo (non c è attrito). Proiettano lungo il raggio OP, si ottiene: R n si annulla quano gsin R n a C v gsin R R n sin v gr v R In tale posizione il corpo si stacca alla guia; per valori ell angolo non c è la forza centripeta necessaria a antenere il punto sulla guia. Si noti, infatti, che, an ano che il corpo scene, g sin iinuisce, entre v /R auenta, e oltre ovrebbe essere R n <, il che non ha senso fisicaente.

3 3. Un filo inestensibile e i assa trascurabile passa nella gola i una puleggia fissa, aveno ai sui estrei, rispettivaente, la assa = 7 kg e la = 9 kg. Deterinare l accelerazione elle ue asse e la tensione nel filo. P s P Consierano che le ue asse hanno la stessa accelerazione, applicano il Principio ella inaica all intero sistea si ha: P + + P = ( + ) a Da cui si ricava: a g,5 / s Applicano ora il Principio ella inaica, a esepio, alla assa che sale con accelerazione a, si ottiene: a cui si ricava: P = a = ( g + a ) = 77,75 N N.B. Allo stesso risultato si giunge operano su. Infatti: P = a = ( g a ) = 77,75 N 3

4 4. Una forza è applicata irettaente a una puleggia i assa trascurabile coe in figura. Le asse =, kg e =,9 kg sono collocate agli estrei i una fune inestensibile e i assa trascurabile. La assa è appoggiata a terra. Calcolare: (a) il assio valore i che consente alla assa i rianere a terra; (b) la tensione ella fune se = N; (c) l accelerazione elle ue asse in corrisponenza al valore i el punto preceente. P P (a) La conizione affinché si sollevi è > g. Il assio valore i perché ciò non avvenga è, unque, = = g = 37 N. (b) Nel caso in cui = N = / = 55 N. ( c ) In corrisponenza a tali valori si avrà: a g,3 / 36 s a g,4 / 9 s 4

5 5. Un piano inclinato i assa M e angolo θ è appoggiato su un piano orizzontale e sostiene un corpo i assa. Supponeno nulli gli attriti, eterinare: (a) l accelerazione a M che eve avere il piano inclinato rispetto al piano appoggio affinché il corpo i assa rianga in quiete sul piano inclinato stesso; (b) la forza orizzontale che occorre applicare al piano inclinato per ottenere questo risultato. y R R y P n R x P P t M θ x (a) Se è fera rispetto a M vuol ire che i ue corpi hanno la stessa accelerazione, cioè a x = a Mx ; a y = a My =. Rispetto agli assi si ha: ASSE X R x = R senθ = a x = a Mx ASSE Y R y - g = R cosθ - g = a y = a My = Dalle ue equazioni preceenti si ricava; g R cos a x a Mx g tg (b) La forza orizzontale necessaria è = (M +) a Mx = (M +) g tgθ iretta nel verso positivo all asse x. 5

6 6. Un corpo A i assa è posto su un piano inclinato scabro e è collegata eiante un filo ieale a un corpo B i pari assa tenuto sospeso in orizzontale. Lasciano libero il corpo B, si osserva che A inizia a uoversi verso l alto quano il filo i collegaento fora un angolo α con l orizzontale. Deterinare il coefficiente i attrito statico. s h = r senα Per il corpo A, nelle conizioni i oto incipiente, si ha: g senθ μ S g cosθ = a cui = g senθ + μ S g cosθ (I) Per il corpo B, che percorre una traiettoria circolare, nella irezione centripeta el oto si ha: v r v g sen g sen (II) r enuto conto che v gh gr sen, alle (I) e (II) si ottiene: 3sen sen S cos S 3sen sen cos 6

7 7. Un corpo i assa = 5 kg può uoversi lungo una guia orizzontale scabra, sottoposto alla azione i una olla i costante k = 5 N /. Il corpo, inizialente in quiete a una istanza = 5 c a O, punto in cui la forza elastica è nulla. Il corpo, lasciato libero, passa per O e si fera in un punto B. Sapeno che il coefficiente i attrito inaico è μ =,, eterinare il inio valore el coefficiente i attrito statico affinché il corpo resti fero in B. K A O x Lungo l asse x el oto si ha: (I) kx + μ g = a. Si tratta, quini, i un oto oscillatorio, originato a una forza elastica e a una forza costante, con centro che si ottiene per a =, g x. k Introuceno la nuova variabile x = x x la (I) iventa: k x' a' x' equazione ifferenziale la cui soluzione è t x ' Acos t v' A sen t Deteriniao apiezza e fase eiante le conizioni iniziali (t = ) Acos x v' A sen x ' Si ottengono i valori: A = x ; φ =, pertanto, tornano alla vecchia variabile, le equazioni iventano x t v x sen t x x cos Quano il corpo raggiunge B la sua velocità si annulla, perciò 7

8 x sen t t v In corrisponenza g xb x k 3 x x, Affinché il corpo rianga fero in B occorre che la forza i attrito statico sia aleno uguale alla forza elastica in quel punto g S k x B S k x B g,3 8. Un punto ateriale i assa si uove lungo una guia circolare orizzontale i raggio r = 8 c. sapeno che il coefficiente i attrito inaico e la velocità iniziale sono rispettivaente μ =, e v = /s, eterinare opo quanti giri la velocità si iezza e il corrisponente oulo ell accelerazione. R n R t v s O Sceglieno il sistea i ascisse curvilinee coe in figura e ricorano che R t = μ R n e che R t = A ; R n = c = v / r, si ha: v v (I) t r equazione a integrare poneno, etto θ l angolo i rotazione, v t v v v v così la (I) iventa t r v v v. v 8

9 Integrano si ottiene ln v c, ove la costante c va eterinata in base alle conizioni iniziali θ =, v = v, per cui ln v c. In efinitiva ln v ln v v v e (II). Poneno nella(ii) v = v /, l angolo θ * per il quale la velocità si * * ln iezza risulta ln. Il nuero i giri è * ln n, giri. v Il oulo ella accelerazione è ato a: a at an, r v v v v v esseno at ; an. t r r r Per v = v / si ottiene il valore v a 4r,3 s. 9. Due asse =,67 kg e = 3,33 kg, poste agli estrei i un filo ieale scivolano lungo un piano scabro inclinato i θ = 3. I coefficienti i attrito inaico tra asse e piano sono rispettivaente μ =,5 e μ =,3. Calcolare l accelerazione el sistea e la tensione el filo. R n R t R t P n P R n P t P n P P t θ x 9

10 Si noti che ai ati el problea si ricava l uguaglianza R t = R t, per cui urante il oto il filo riane teso e le ue asse si uovono con la stessa accelerazione e la tensione è la stessa ai ue capi el filo. Applicano il Principio ella inaica al sistea, si ottiene: g sen g cos g sen g cos a a cui cos a g sen cos g,37 g 3,63 La tensione si ricava applicano i nuovo il Principio ella inaica a una elle ue asse, a esepio, scelta, si ha: g sen g cos a a cui s. g sen g cos,37g, 6 N. Un punto ateriale i assa è salato alla estreità i un asta rigia i assa trascurabile che ruota in un piano verticale attorno all altro estreo O con velocità angolare costante. Nel punto più basso ella traiettoria l asta esercita sul corpo una reazione R B N, entre, se la velocità angolare raoppia, la reazione iventa R B = N. Calcolare nei ue casi le reazioni R A e R A nel punto più alto ella traiettoria. A ω r O B

11 Assueno coe positivo il verso centripeto, nel punto B si ha: B O R B P R B g = a = ω r R B g = a = 4 ω r (I) Nel punto A valgono le relazioni seguenti: A P R A R A + g = a = ω r R A + g = a = 4 ω r (II) Dalle (I) si ricava: g ' 4R B R B ; 3 ' R B RB r. 3 Sostitueno nelle (II) si ottiene: R R ' B 5RB 5 R ' ' B 8RB N ; RA 3 N. 3 3 A 6

12 . Due corpi uguali i assa =, kg sono collegati eiante una olla i costante elastica k = 6 N/ e lunghezza a riposo =,5. All istante t =, quano essi sono in quiete e istanti, viene applicata a uno ei ue corpi una forza = 8 N, costante e iretta coe in figura. Deterinare, in assenza i attrito, coe varia nel tepo la istanza tra i ue corpi. el el O x y Inicate con x e x le posizioni ei ue corpi e con y = x x la loro istanza (è anche la lunghezza istantanea ella olla), le equazioni el oto sono: x x k y a ; k y a t t Sottraeno la secona alla pria si ha: t y t k k x x k y y Posto k ra / s, la soluzione ell equazione ifferenziale è k y ysen k k Le conizioni iniziali sono: t y sen t y y sen ; y cos k t ; y in conclusione y cos t,65,5 cost t. k.