III - Lavoro ed energia. Conservazione dell energia.

Transcript

1 III - Lavoro e eneria. Conservazione ell eneria. Il lavoro W copiuto a una forza F variabile che aisce su un punto ateriale spostanolo a un punto a un punto luno una linea γ è ato a: W F l,γ ove l è lo spostaento infinitesio luno il percorso ella particella. L eneria cinetica i una particella i assa che si uove con velocità v è ata a: Ec v Il teorea ell eneria cinetica affera che il lavoro totale copiuto su un punto ateriale alla forza risultante per spostarlo a un punto a un punto è uuale alla variazione i eneria cinetica el punto ateriale: W v v E c Il lavoro fatto a una forza conservativa su i una particella ipene solo ai ue punti i partenza e i arrivo e non al caino percorso alla particella. Il lavoro fatto a una forza conservativa è recuperabile, cosa che non è vera per una forza non conservativa, coe l attrito. ssociato a una forza conservativa si introuce il concetto i variazione i eneria potenziale. Sotto l azione i una forza conservativa F si efinisce la variazione i eneria potenziale coe l opposto el valore el lavoro copiuto alla forza: E E E F l p p p Solo le variazioni ell E p sono sinificative al punto i vista ella fisica, per cui si può sostituire E p () con E p () C, con C costante arbitraria, oni volta che conviene. Quano aiscono solo forze conservative, l eneria eccanica totale E, efinita coe la soa elle enerie cinetica e potenziale, si conserva: E E E costante. c p Se aiscono anche forze non conservative, entrano in ioco altri tipi i eneria. Quano si incluono tutte le fore eneria, l eneria si conserva sepre (lee i conservazione ell eneria). Esepi i forze conservative per le quali si parla i eneria potenziale sono: forza peso e sua eneria potenziale. Quest ultia vale y per una particella posta a un altezza y al i sopra i un riferiento orizzontale scelto a arbitrio.

2 Forza elastica ( F );eneria potenziale elastica E p / per una olla con costante elastica, allunata o copressa i una lunhezza rispetto alla posizione i riposo. Forza ravitazionale (escritta alla lee i ravitazione universale i Newton).L eneria potenziale i una particella i assa ovuta alla forza ravitazionale esercitata su i essa alla Terra è ata a: E p ( r) M γ r ove M T è la assa ella Terra e r la istanza ella particella al centro ella Terra (r>raio ella Terra). E p ( ) 0 è il riferiento i zero per E p. T Problea Un punto ateriale i assa scene (parteno a fero) luno la saoa in fiura, che è opportunaente raccorata nel punto in oo che la velocità el punto ateriale in cabi in irezione a non in oulo. Il coefficiente i attrito inaico tra punto ateriale e piani vale µ. Sapeno che la velocità nel tratto C è costante: Quanto tepo ipiea il punto ateriale per scenere a a C? Quanto vale il lavoro copiuto alla forza i attrito? Risolvere la parte b) sia usano la efinizione i lavoro, sia ricorano che il lavoro copiuto alla forza i attrito è uuale alla variazione ell eneria eccanica tra e. [ C l ; α 30 ; µ 3 ; 9,8 /s ; 0,5 ] α l β l C

3 Innanzi tutto calcoliao β. Poichè la velocità nel tratto C è costante, la forza i attrito uualia la coponente el peso parallela a C: Da cui: µ sinβ cos β t β µ a) L accelerazione ella assa nel tratto a a è ata a: Quini il tepo richiesto a a è: ( α µ sinα) a cos 5,8 /s. l l t 0,8 s a ( cosα µ sin α) entre in la velocità è: v at 4,6 /s. Il tepo t ipieato per percorrere C è l/ v 0,4 s, quini il tepo totale t t è t t t t,s. b)il lavoro copiuto alla forza i attrito è: W µ ( sin α sinβ )l 7,7 J Oppure, il lavoro copiuto alla forza i attrito si può ottenere alla variazione ell eneria eccanica: W E l( cosα cos β ) v 7,7 J, l è l eneria potenziale el punto rispetto al punto C. Si noti che nel tratto C varia solo l eneria potenziale. ove ( cos α cosβ ) Problea Un cavallo tira una slitta su una straa ripia, coperta i neve. La slitta ha una assa e il coefficiente i attrito inaico fra la slitta e la neve è µ. Se il cavallo tira parallelaente alla superficie ella straa e eroa una potenza P: quanto vale la velocità (costante) assia v a con cui il cavallo riesce a tirare la slitta? Che frazione ella potenza el cavallo viene spesa per copiere lavoro contro la forza attrito? Che frazione viene spesa per copiere lavoro contro la forza i ravità? 3

4 [penenza :7; 300 ; µ 0,; P 746 W] T F a θ Diaraa i corpo libero Se la velocità è costante, la tensione T ella fune vale: ( µ cosθ sinθ ) T µ cos θ sinθ 765 N. La potenza P è il prootto scalare ella forza T per la velocità v, che nel nostro caso sono parallele: P Tv ( µ cosθ sinθ ) v a Quini: a) v a è: P v a 0,98 /s ( µ cosθ sinθ ) b) il rapporto fra la potenza issipata all attrito e quella el cavallo è uuale al rapporto elle forze: µ cosθ 46%. µ θ cosθ sinθ t µ il rapporto fra la potenza ella ravità e quella el cavallo è: sinθ 54%. µ cosθ sinθ µ tθ Problea 3 Un secchio pieno acqua i assa coplessiva 0 viene portato a un pozzo nel ezzo i un cortile fino alla cia i una torre alta h. Esseno però bucato, quano arriva sulla torre contiene solo età ell acqua che conteneva inizialente. Supponeno che la velocità i salita sulla torre e la perita in assa el secchio siano costanti, e che il peso el secchio vuoto possa essere t trascurato, eterinare il lavoro copiuto esprienolo in joule. 4

5 [ 0 3,78 ; h 50 ] Sueriento: Si ricori che, etto il tratto percorso al secchio e v la sua velocità, t * * costante, t t v per cui () è una funzione lineare. Osservato che () è una funzione lineare, con (0) 0 e (h) 0 /, si ha: Il lavoro è unque ato a: h ( ) 0. W h h h F ( ) h Calcolano l interale, si trova: W 3 0 h 389, J 4 Problea 4 Una uia DEF è tenuta in un piano verticale y. I tratti (i lunhezza h) e EF sono rettilinei, entre il tratto DE è circolare, i centro C, raio R, e anolo al centro π/ θ. Un corpo puntifore i assa, in rao i scorrere senza attrito luno la uia, viene rilasciato nel punto con velocità iniziale nulla. Deterinare la velocità el corpo nei punti,d,e,f, supponeno che non vi sia attrito luno tutta la uia. Calcolare la reazione ella uia nel punto D. Se il tratto EF presenta un coefficiente i attrito inaico µ, eterinare l eneria cinetica el corpo nel punto F. Perchè le velocità in e in F risultano essere uuali nel quesito a)? 5

6 C F θ θ D E a) Per il teorea ell eneria cinetica, in vale: Quini la velocità el punto ateriale in è: Il islivello fra e D è R h, quini: e: v h v h ( h R) v D ( h R) v D Il islivello fra e E è h R cosθ, quini: v E ( h R cosθ ) e: ( h ) v E R cosθ Il punto ateriale si trova in F alla stessa quota che in, per cui ha la stessa eneria eccanica (che in assenza i attrito si conserva) e la stessa eneria potenziale, quini anche la stessa eneria cinetica e la stessa velocità. b) La reazione vincolare in D eve sia bilanciare per intero il peso el corpo puntifore, sia fornire la forza centripeta necessaria per antenere il corpo in traiettoria: 6

7 F N v R D yˆ R ( h R) y ˆ c) Detta l la lunhezza i EF, l eneria eccanica el punto ateriale in F è ata all eneria totale in iinuita el lavoro copiuto alla forza i attrito inaico luno EF : Problea 5 E F v lµ cosθ v Una assa scivola senz attrito luno la uia inicata in fiura. Il raio ella circonferenza è R. Se la assa parte a fera al punto ( 5R), quanto vale la reazione vincolare nel punto P? Qual è l altezza inia a cui eve partire la assa affinchè, nella posizione O, la reazione vincolare sia nulla? Quesito: Riscrivere le oane a) e b) supponeno i stuiare il problea nel sistea i riferiento non inerziale associato alla assa. F 5R O R P a) In un riferiento inerziale, la reazione vincolare in P eve solaente fornire la forza centripeta che antiene in traiettoria: F P v R P Presa coe quota i riferiento per l eneria potenziale quella el punto, alla conservazione ell eneria eccanica si trova: Da cui: v P 5 R R 4 R 7

8 F P 8 b) In un riferiento inerziale, la reazione vincolare in O è nulla se la forza centripeta che antiene in traiettoria è fornita interaente alla ravità: v R Detta l altezza cercata, e sostitueno nell equazione i conservazione ell eneria v ( O R ): cioè: O R R R R 5 R a) Nel riferiento non inerziale soliale con, la reazione vincolare in P eve solaente equilibrare la forza centrifua per antenere in traiettoria. Ciò porta a un calcolo ientico a quello ià svolto, perchè l unica ifferenza tra forza centrifua e centripeta è un seno che non influisce sul calcolo eesio. b) Nel riferiento non inerziale soliale con, la reazione vincolare in O è nulla se la forza centrifua aente su è equilibrata interaente alla ravità. ncora una volta, e per lo stesso otivo el punto a), il calcolo è ientico a quello ià svolto nel riferiento inerziale. Problea 6 Il sistea inicato in fiura (acchina i twoo) è inizialente a riposo con la assa a terra e la assa a altezza h a terra. Deterinare la velocità con cui tocca terra e la tensione ella fune, trascurano l attrito e l inerzia ella carrucola. Sueriento: Questo problea, analoo al n 7 el capitolo II, può essere risolto utilizzano la lee i conservazione ell eneria eccanica. Per calcolare la tensione ella fune è counque necessario scrivere l equazione i corpo libero per una elle ue asse. 8

9 9 Equazioni i corpo libero: Risolveno il sistea, si trova l accelerazione i e (in oulo): Quini la tensione ella fune è: Poichè il oto elle ue asse è uniforeente accelerato con velocità iniziale nulla, la velocità terinale i è: Si può eterinare v anche alla conservazione ell eneria, osservano che inizialente le enerie cinetiche sono nulle e l eneria potenziale el sistea, rispetto al suolo, è h, entre alla fine le ue asse hanno velocità i uual oulo: v h h cioè: ( ) h v a T a T a ( ) a T h ah v

10 Problea 7 Un penolo i lunhezza L oscilla in un piano verticale. La cora urta un piolo fissato a una istanza al i sotto el punto i sospensione (veere fiura) Se il penolo è lasciato libero a un altezza h al i sotto el piolo, quale altezza h* raiune opo aver urtato il piolo? Se il penolo è lasciato libero alla posizione orizzontale (θ 90 ) e escrive una circonferenza copleta centrata nel piolo, quale eve essere il valore inio i? y P L a) Per conservazione ell eneria, h* h. b) Conservazione ell eneria nel punto P (fiura): L v ( L ) In P la forza centripeta eve essere aleno uuale alla ravità: v L quini: L ( L ) ( L ) Sviluppano i calcoli: 3 L 5 0

11 Problea 8 Un estreo i una olla priva i assa è posto su i una superficie piatta, con l altro estreo che punta verso l alto(vei fi. a). Una assa è posta elicataente sopra la olla e perette i copriere la olla i, a una nuova posizione i equilibrio (fi. b). Successivaente, la assa viene riossa e sostituita con una assa. La olla è poi copressa con le ani cosicchè l estreo ella olla si trova in una posizione rispetto alla posizione oriinale i riposo (quella occupata alla olla senza nessuna assa appoiata)(vei fi. c). La olla è poi rilasciata. Quanto vale la costante ella olla? Qual è la assia eneria cinetica ella assa? [,0 ;,0 ; 7 c; 4 c] Quesito: risolvere il problea sia scriveno l equazione el oto el punto ateriale, sia scriveno la conservazione ell eneria eccanica. y a) Riferita l eneria potenziale ravitazionale all asse elle ascisse (fiura), la costante elastica ella olla vale: 57,6 N/ b) Per conservazione ell eneria, la assia eneria cinetica ella assa corrispone alla inia eneria potenziale. L eneria potenziale ha un anaento parabolico: Questa parabola ha il vertice in: E p E * p in

12 L eneria totale è ata a: E c a E ecc E p in E piniz E p in quini l eneria cinetica assia è: 0, J E c a Il problea può essere risolto anche utilizzano irettaente l equazione el oto: La soluzione enerale è: sen ( ωt φ) (si noti che * è la soluzione i equilibrio ell equazione el oto, entre sen ( ω t φ ) è l oscillazione enerica: la olla oscilla attorno alla posizione i equilibrio * anzichè attorno a 0). Iponeno le conizioni iniziali: si ottiene: ove: v v ( t) ( t) ( ) ( 0) senφ ωcosφ 0 0 cosωt ω senωt ω La velocità è assia per sen ω t o, cioè quano l eneria cinetica vale: E c ω 0, J