Temi di Fisica Generale per l Ingegneria. Prof. U. Scotti di Uccio

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1 Tei di Fisica Generale per l Ineneria Prof. U. Scotti di Uccio a. Cineatica Esercizio Un piccolo oetto si uove di oto circolare. La lee oraria è espressa dalla relazione θ sen ( Ω t), con, Ω costanti assenate. Detto r il raio della traiettoria circolare, si deterini il valore delle seuenti variabili cineatiche all istante t o : a) la velocità v(t o ); b) l accelerazione centripeta a c (t o ); c) l accelerazione tanenziale a t (t o ) ; Ω 0.3 s - ; r c ; t o.0 s (Sueriento: si faccia attenzione che la calcolatrice sia ipostata per il calcolo delle funzioni onioetriche di variabili espresse in radianti) θ La velocità anolare si ottiene dalla relazione: dθ ω Ω cos ( Ω t), da cui ω ( t o ) Ω cos ( Ω t o ) 0.4 s - dt La velocità v(t o ) è allora data da: v ( t o ) ω ( t o ) r 0.06 s L accelerazione centripeta vale: v t o a c ( t o ) s r ( ) L accelerazione anolare vale: d ω Ω sen ( Ω t) dt α, da cui α ( t ) Ω sen ( Ω t ) 0.05 s L accelerazione tanenziale vale infine: a t (t o ) α(t o ) r s - o o

2 Esercizio Una palla viene lasciata cadere (da fera) dall altezza h nell istante t 0, e ribalza fino all altezza h. Deterinare in che istante t tocca il suolo la seconda volta, trascurando la durata del prio urto. Si assua un sistea di riferiento con l oriine al livello del suolo, e l asse orientato verso l alto. h.5 ; h. Il oto della palla può essere diviso in due fasi. Nella pria fase, si ha una caduta libera dall altezza h. Detto t il tepo necessario a toccare il suolo, vale l equazione: h t, da cui t 0.55 s 0 h Della seconda fase, si sa che l altezza assia raiunta è h, e il oto ha inizio da un altezza 0. Detto t il tepo necessario per arrivare all altezza h, valono le equazioni: h' v 0 v o o t t t da cui h' t 0.49 s Infine, detto t 3 il tepo necessario per toccare nuovaente il suolo: t 3, da cui t s 0 h' Il tepo totale vale dunque: t t t t 3.54 s h' Esercizio 3 Una particella si uove su una circonferenza di raio r. La lee oraria, espressa in terini dell anolo θ forato dal vettore posizione con l asse polare è: θ ( t) θo cos ( Ω t ) Deterinare le coponenti centripeta a c e tanenziale a t dell accelerazione all istante t t o. θ r., θ o ; Ω.5 s - ; t o 0.34 s Derivando rispetto al tepo la lee oraria si ottiene pria la velocità anolare ω, poi l accelerazione anolare α: ω( t) Ω θo sen ( Ω t ) α( t) Ω θo cos ( Ω t ) Quindi, ricordando che a t r α ; a c r ω, seue che: a c ( t o ) r Ω θo sen ( Ω t o ) 4. s a t ( t o ) r Ω θo cos ( Ω t o ).3 s

3 Esercizio 4 Un punto ateriale P si uove con velocità iniziale v o rivolta verso l alto su un piano inclinato liscio. Nel oento in cui raiune la assia altezza (istante t o ), un secondo punto ateriale P parte dalla stessa posizione O con la stessa velocità iniziale. In che istante t si incontreranno? P Si assua O coe oriine del sistea di riferiento indicato in fiura; si indichino con il pedice () le variabili cineatiche di P (P ). v o 3.8 s -, θ 30 P O θ I punti si uovono di oto uniforeente accelerato, con accelerazione a - sen θ. Le equazioni del oto di P sono: v v - sen θ t o vo t - sen θ t lla quota assia, la velocità si annulla. Ponendo v 0 nella pria equazione si trova quindi il tepo t o : vo t o 0.77 s sen θ Le equazioni del oto di P sono allora: v vo - sen θ ( t t o ) vo ( t t o ) - sen θ ( t t o ) I punti si incontrano nell'istante t che rende uuali i valori di e ; si ha quindi: vo t - sen θ t vo ( t t o ) - sen θ ( t t o ) da cui si ricava t. Dopo seplici passai si trova: 3 t t o. s

4 Esercizio 5 Un calciatore, a distanza d dalla porta, tira frontalente verso un punto della porta posto ad altezza h. Deterinare la velocità iniziale v o del pallone. θ 45, d 5 ; h. θ h Le equazioni del oto della sfera sono: vo t vo t t Eliinando t tra le due equazioni e ricordando che vo vo cos θ vo vo sen θ si ottiene l equazione della traiettoria: t θ v cos θ o Iponendo che la palla passi per il punto (d, h) si ha: h t θ d d vo cos θ da cui si ricava v o : v o d cos θ 3 s - ( d t θ h)

5 Esercizio 6 Un punto ateriale P si uove con velocità iniziale v (0) rivolta verso l alto su un piano inclinato liscio. a) Deterinare il tepo t ipieato per raiune il punto di assia altezza, e la posizione di tale punto. b) Un secondo punto ateriale P, inizialente fero, viene posto in un punto C. Deterinare la posizione C del punto C se si desidera che P e P, nello stesso istante, si incontrino in. Si assua coe oriine del sistea di riferiento indicato in fiura. P θ P C v o 3 s -, θ 30 I punti si uovono di oto uniforeente accelerato, con accelerazione a - sen θ. Le equazioni del oto di P sono: v v(0) - sen θ t v(0) t - sen θ t lla quota assia, la velocità si annulla. Ponendo v 0 nella pria equazione si trova quindi il tepo t: v(0) t.65 s sen θ e dalla seconda equazione la posizione : 7. Infine, la coordinata iniziale del punto C si deterina scrivendo la sua lee oraria e iponendo che nell istante t esso si trovi in : C - sen θ t ; C sen θ t 34.4

6 Esercizio 7 Un calciatore, a distanza d dalla porta, tira frontalente eseuendo un pallonetto per scavalcare il portiere. La palla, scaliata con velocità iniziale v o, andrebbe a toccare terra esattaente sulla linea. Sapendo che il portiere si trova inizialente in, e che in quella situazione può afferrare il pallone fino ad un altezza h, quanto deve arretrare verso la porta per parare il tiro? (si indichi con tale valore) d 0 ; 5 ; h.7 ; θ 60 θ h Le equazioni del oto della sfera sono: vo t vo t t Eliinando t tra le due equazioni e ricordando che vo vo cos θ vo vo sen θ si ottiene l equazione della traiettoria: t θ v cos θ o Iponendo che la palla passi per il punto (d, 0) si ha: 0 t θ d d vo cos θ da cui si ricava v o : d v o 5 s - cos θ d t θ I valori di per cui h sono dati dall equazione: h t θ vo cos θ Risolvendo l equazione di II rado si trovano le soluzioni: 8.7 Delle due, la seconda non è consistente con i dati del problea. Il portiere in definitiva deve arretrare del tratto: ΑΒ 3

7 Esercizio 8 Un piccolo sasso cade dall altezza h e colpisce un sacco di sabbia che si trova sul pianale di un carro che procede in orizzontale con velocità costante v o. Deterinare: a) l accelerazione (a, a ) del sasso nel sistea di riferiento O solidale al carro; b) la velocità (v, v ) del sasso, in questo stesso sistea di riferiento, un oento pria dell urto. h 8.3 ; v o 35 s - h O Il carro è un sistea di riferiento inerziale, sicché a ' a 0 a ' a In O, le relazioni cineatiche sono: 0 v 0 h' t v t L istante t in cui il proiettile tocca il bersalio si ottiene ponendo 0 : h' 0 h' t ; h' t ; t.3 s e la velocità è: v 0 v h'.7 s Per passare al sistea O, si usa infine la relazione: r r r v v' v O' da cui: v' vo 3.5 s v' v.7 s

8 Esercizio 9 Un punto ateriale si uove sull asse. La lee oraria è espressa dalla relazione: 3 t t C t D Deterinare il valore dell accelerazione in tutti li istanti (t, t, ) nei quali la velocità è nulla..8 s -3 ; 5.3 s - ; C 3. s - ; D La velocità è data in base alla definizione da: d v 3 t t C dt Gli istanti in cui v 0 sono le soluzioni dell equazione di II rado: 3 t t C 0 ± t 3 C s 0.80 s L accelerazione si calcola in base alla definizione: dv a 6 t dt Sostituendo i due valori trovati per t si avrà:.9 s a.9 s

9 Esercizio 0 Un punto ateriale si uove su una circonferenza con lee oraria uove, sulla stessa circonferenza, con lee oraria θ θ t. b ω b θ θ t. Un secondo punto ateriale si a ω a Deterinare l istante t e la posizione θ in cui i punti si incontrano la pria volta; deterinare altresì in che istante e dove si incontrano la seconda volta. θ a 0 ; ω a 6.3 s - ; θ b 3. ; ω b.6 s - La condizione che i punti si incontrino la pria volta è espressa dal sistea: θ θa ωa t θ θb ωb t Risolvendo, si trova: θb θa t 0.66 s ; θ θa ωa t ω ω a b 4.5 I punti si incontrano di nuovo quando a ha percorso un iro in più di b. Quindi la nuova condizione da iporre è: θ θa ωa t θ θb ωb t π θb θa π per cui t.0 s ; θ θa ωa t. 6 ω ω a b

10 b. Dinaica Esercizio Una cassa di assa è poiata su un piano. Una fune, tesa ad un anolo θ coe ostrato in fiura, applica una forza F r. Deterinare il inio valore di F, affinché la cassa inizi a scivolare vincendo l attrito di stacco. F r θ 5 K ; θ 30 ; µ s 0.65 O Il diaraa di punto ateriale è riportato in fiura. Ne risulta l equazione della statica: r r r r F Fa R P 0 Proiettando sui due assi: F a F cos θ 0 R F sen θ P 0 Nella condizione di stacco, si ha inoltre: Fa µ s R F r θ R r P r O F r a Sostituendo questa relazione nel sistea di equazioni della statica si ha: F cos θ µ s R R F sen θ P 0 Questo è un sistea di equazioni in inconite (F, R). Risolvendo per F si ha: P F 80 N cos θ sen θ µ s

11 Esercizio Un auto porta un carico di assa ontato sul portapacchi sul tettuccio dell abitacolo. Si suppona, per seplicità, che il carico sia trattenuto dalla sola forza di attrito, e che il coefficiente di attrito statico con il portapacchi sia µ s. Deterinare: a) il assio valore assunto dal odulo a r dell accelerazione in frenata, oltre il quale il carico è perduto; b) la assia velocità che l auto può tenere in una curva di raio r. 9 K ; µ s 0.30 ; r 4 a) Un istante pria dello stacco, la II equazione di Newton applicata al carico è: r r r r Fa P R a Fa a R P 0 F r a R r con la condizione F a µ s R. Risolvendo per a si trova: µ s P a µ s.9 s ; a.9 s P r b) L equazione di Newton ha ancora la fora: r r r r F a P R a Questa volta, tuttavia, l accelerazione è centripeta; proiettando dunque l equazione in tale direzione, si ha: v Fa r da cui: r µ s P v r µ s 8.4 s

12 Esercizio 3 La assa è trattenuta da due funi. La pria, passando su una carrucola, è colleata alla assa M ; la seconda, alla assa M. Noti li anoli θ e θ, assunti quando il sistea si trova in condizioni di statica, deterinare il valore di M e M. θ θ 0.40 K ; θ 30, θ 0 M M Con riferiento al diaraa di corpo libero in fiura, si ha: r r r P' T T 0 T cos θ T cos θ 0 T sen θ T sen θ P' 0 avendo proiettato l equazione vettoriale su un asse orizzontale ed uno verticale. T r T r P r ' Per la condizione di fune e carrucola ideali, T P e T P ; dunque: M cos θ M cos θ 0 M sen θ M sen θ ' 0 Questo è un sistea di due equazioni nelle inconite M ed M. Risolvendo si trova: ' M 0.49 K cos θ ( t θ t θ ) ' M 0.45 K cos θ ( t θ t θ )

13 Esercizio 4 In fiura è ostrato un pendolo conico, che ruota forando un anolo di apertura θ con la verticale. Deterinare le coponenti del vettore accelerazione cui è soetta la assa. Si consideri a tale scopo il sistea di riferiento tanente, caratterizzato da un asse centripeto, uno tanenziale e un terzo diretto luno la verticale (asse z). θ 0 θ l Con riferiento al diaraa di corpo libero nello schea a fianco, l equazione della dinaica assue la fora: r r r T P a Proiettando l equazione nel sistea tanente, di cui si fa enzione nel testo, si ha: T sen θ ac ω l sen θ 0 a t T cos θ P a 0 z Mettendo a sistea la pria e la terza equazione, ed eliinando così l inconita T, si trova: P tan θ ω l sen θ tan θ ω l sen θ ac In conclusione: a t 0 ; a z 0 ; a c tan θ 3.6 s - T r P r

14 Esercizio 5 La assa è trattenuta da una fune, libera di scorrere attorno ad un piolo. L altro capo della fune è fissato ad un blocco. Il piolo è ancorato ad un vincolo che può applicare una forza assia R a pria di ropersi. a. supponendo trascurabile l attrito al contatto della fune con il piolo, deterinare il valore della forza f che la fune esercita sul blocco; b. deterinare il assio valore a che può assuere la assa, pria che il vincolo si ropa. 0.4 K ; θ 60 ; R a 80 N θ P a) In assenza di attrito nel piolo, le tensioni T r, T r che aiscono sui due rai della fune sono uuali in odulo: T T T. Pertanto, la fune esercita sul blocco una forza pari in odulo a T. D altro canto, la tensione T è pari in odulo al peso P ; dunque, f 4 N b) Con riferiento al diaraa di corpo libero nello schea a fianco, l equazione della statica applicata al punto P nel quale si esplica il vincolo assue la fora: r r r T T R 0 ssuendo per convenienza il riferiento P indicato, e proiettando l equazione suli assi e, si ha: R T cos θ 0 T sen θ T sen θ 0 Ricordando ancora che T, si ricava dunque: R a a cos θ R a ; a 9.5 K cos θ R r T r T r

15 Esercizio 6 Una boccola di assa M scivola su un asse verticale in presenza di attrito, descritto dal coefficiente di attrito cineatica µ d. La forza preente F può essere reolata aendo sulla vite laterale. Deterinare il valore di F, affinché la boccola scivoli a velocità costante. M. K ; µ d 0.0 velocità costante l accelerazione è nulla, e l equazione di Newton diventa: r r r r Fa P F R 0 R F 0 Fa P 0 F µ R a d da cui: P F µ d 6 N µ d F r P r F r a R r

16 Esercizio 7 La assa è sospesa coe in fiura. Nota la costante elastica della olla, deterinarne l allunaento in condizioni di equilibrio..6 K ; θ 30 ; 0 N - θ Il diaraa di corpo libero del punto di intersezione delle funi è ostrato in fiura. pplicando la condizione di statica del punto ateriale si ha: r r r T T P 0 T sen θ T sen θ 0 T cos θ T cos θ P 0 da cui si ricava: P T T cos θ T r T r P r Per le proprietà delle funi ideali, la tensione sulla olla è pari in odulo a T. L allunaento della olla è dato perciò dalla lee di Hoo: T ; 4.5 c cos θ

17 Esercizio 8 Un corpo di assa scivola su un piano orizzontale in presenza di attrito. Siano µ s e µ d i coefficienti di attrito statico e dinaico rispettivaente. a) Se il corpo si uove inizialente alla velocità v o, deterinare il tepo t che occorre perché esso si feri. b) Deterinare la forza F che è necessario applicare per riettere il corpo in oviento..4 K ; µ s 0.3 ; µ d 0. ; v o s - La II equazione di Newton è nella fase iniziale: r r r Fa P R 0 Fa a R P 0 F µ R a d da cui: µ d P a s La lee del oto uniforeente accelerato dà quindi: v vo a t da cui, iponendo v 0, si ricava: v t o s a F r a P r R r Per riettere in oviento il corpo è necessario vincere l attrito di stacco, ed applicare quindi una forza F µ s P 4 N

18 Esercizio 9 Un corpo di assa scivola su un piano orizzontale in presenza di attrito. Siano µ s e µ d i coefficienti di attrito statico e dinaico rispettivaente. a) Se il corpo è inizialente fero, si deterini la inia forza F che perette di etterlo in oviento; b) supponendo che tale forza continui a spinere il corpo, deterinare la velocità v che esso acquisisce dopo un tepo t..9 K ; µ s 0.30 ; µ d 0.5 ; t.4 s Un istante pria dello stacco, la II equazione di Newton è: r r r r F Fa P R 0 F Fa 0 R P 0 F µ R a s da cui: F µ s P 5.6 N F r a R r P r F r Iediataente dopo lo stacco, invece: r r r r r F Fa P R a F Fa a R P 0 F µ R a d da cui si ricava: F µ d P a.5 s La lee del oto uniforeente accelerato dà quindi: v a t 3.5 s -

19 Esercizio 0 Una sferetta di assa ruota con velocità anolare ω α t su una circonferenza di raio r. La sferetta è trattenuta sulla traiettoria circolare da una fune di lunhezza l. Deterinare il odulo F della forza totale aente sulla sferetta all istante t. 0 ; α s - ; l c ; t 3.6 s L accelerazione ha coponenti tanenziale e centripeta: a t α l a c ω l Dunque sono presenti due coponenti della forza, che possono essere valutate all istante t: 3 Ft α l N 3 Fc ω l α t l 0. 0 N Il odulo di F sarà perciò: F Ft Fc N

20 Esercizio La assa (supposta puntifore) è colleata a due olle. La pria, vincolata in, ha costante elastica e il suo estreo, in condizioni di riposo, si trova in O. La seconda, vincolata in, ha costante elastica e il suo estreo, in condizioni di riposo, si trova in O. Deterinare la posizione di equilibrio C del punto ateriale, e discutere se si tratta di equilibrio stabile o no. Si assua il riferiento indicato in fiura, con oriine in N - ; N - ; O 4 c ; O 9 c ; 3 c O O Il diaraa di corpo libero per il punto ateriale è dato in fiura. F r F r ' O O L equazione della statica ha la sola coponente utile. Si ha quindi: F F 0 F - ( C o ) F - ( C o ) Quindi: - ( C o ) - ( C o ) 0 -( ) C o o 0 ' o' o C 0.6 ' F tot (N) () Per discutere il tipo di equilibrio che si deterina, si può considerare il rafico della forza totale F tot F F in funzione di, nei punti che cadono in un intorno di C : F tot -( ) o o Poiché la forza totale è positiva a sinistra, neativa a destra del punto di equilibrio, è una forza di richiao, e dunque l equilibrio è stabile. U tot ( J ) lla stessa conclusione si arriva studiando il rafico dell eneria potenziale totale, U tot : U tot ( o ) ' ( o' ) () La funzione U tot () presenta infatti un inio in C.

21 Esercizio La olla in fiura è colleata al blocco di assa ; questo è a sua volta poiato sul blocco di assa. Entrabe le superfici di contatto sono scabre. Il coefficiente di attrito statico tra e il piano di appoio è µ ; quello tra i due blocchi è µ. Qual è il assio valore della forza esercitata dalla olla (F a ), che perette condizioni di attrito statico? Se la olla viene tesa un po di più, cosa accade? 5 K ; 5 K ; µ 0.08 ; µ 0.4 Si tratta di un problea di statica del punto ateriale. Con riferiento allo schea di punto libero riportato a fianco, le equazioni da iporre sono le seuenti: F R 0 R R 0 cui vanno aiunti i vincoli dinaici: R R (azione e reazione) R µ 0 N (assio valore possibile per l attrito statico tra i corpi) R µ ( ) 6 N (assio valore possibile per l attrito statico col piano) R R R F Dal sistea seue che in condizioni di statica F R R R, sicché deve valere il vincolo più restrittivo, da cui F a 6 N. Se F supera di poco questo valore, i corpi scivolano insiee sul piano, essendo stato superato il assio valore per l attrito statico sul piano, a non tra i blocchi.

22 c. Lavoro ed eneria Esercizio E assenata la funzione eneria potenziale U( ) cos, con,, costanti assenate. Si consideri un punto ateriale di assa inizialente fero nell oriine ( 0 ). Si deterini: a) la forza aente sul punto ateriale; π b) la sua velocità, quando passa per il punto di ascissa o U (J) ; 0. J ; 0.63 N ; () Il rafico di eneria potenziale considerato nel problea prende il noe di washboard, cioè asse della lavandaia, per ovvi otivi. In pratica si può avere un eneria potenziale di questo tipo quando si sovrapponono una forza periodica del tipo F sen, ad una costante F -. Tornando alla soluzione del problea, per trovare il valore della forza in 0, si osserva che: du F ( ) sen d e quindi: F(0) N La velocità del punto ateriale in o può essere deterinata ricorrendo al teorea di conservazione dell eneria eccanica. Poiché il punto parte da fero, si ha: U ( 0) U ( o ) v v ( U ( 0) U ( ) ) o o 7.6 s Si noti che i dati del problea soddisfano la condizione: > Se questo non accade, il rafico di U() presenterà inii e assii relativi (vedi fiura). In questa condizione, lo studio del oto si coplica perché si deve valutare l effetto delle barriere di potenziale. d esepio, un punto ateriale che partisse da fero in non potrebbe ai raiunere, sebbene l eneria potenziale in sia inore. Tale situazione non si verifica per il caso proposto nel problea, perché tra 0 e o non sono presenti barriere di potenziale. U (J) () barriera

23 Esercizio La assa è aanciata ad una carrucola obile. La fune che sostiene la carrucola è vincolata da un lato ad un punto fisso, dall altro ad una olla. Nella condizione iniziale, la olla, di costante elastica, si trova nella sua posizione di riposo, e la assa si trova all altezza h dal suolo. Deterinare: a) l eneria potenziale totale U() (ravitazionale ed elastica), in funzione della enerica altezza cui può trovarsi, e rappresentarne il rafico; b) il lavoro copiuto dalla forza peso, se si sposta dalla posizione iniziale alla posizione di equilibrio stabile K ; 4. N -, h 50 c a) U() è data dalla soa di due contributi: l eneria elastica U e l eneria della forza peso, U. Sia l allunaento della olla rispetto alla posizione di riposo. Il corrispondente spostaento verticale di è allora: h U (J) L eneria U vale allora: U h e l eneria U : U ( ) () Si ha quindi: ( ) U U ( h ) U b) La posizione di equilibrio può essere deterinata in due odi: in base all equazione della statica del punto ateriale, o cercando la posizione di inio di U(). Seuendo la pria strada, e facendo riferiento al diaraa di corpo libero relativo alla carrucola obile in fiura, si ha: F P 0, e proiettando sull asse : F P 0 Poiché F, si ha: 0.63 e quindi h 0.8 F r F r P r In alternativa, si può cercare il inio di U() ponendo pari a 0 la sua derivata: d U 4 ( h ) 0 ; d h Infine, il lavoro della forza peso nel enerico spostaento da a è dato da: L ( ). In questo caso h ; h, e dunque: 4 L h h 4 ( ) 4.7 J

24 Esercizio 3 Un oetto, colleato ad una olla di costante elastica, inizialente in posizione di riposo, esplode dividendosi in due fraenti. Di questi, il prio, di assa, viene proiettato in avanti con velocità v ; il secondo, di assa, resta vincolato alla olla, e dopo averla copressa, inizia ad oscillare. Deterinare: a) il valore della assia copressione della olla; b) l eneria eccanica totale del sistea dopo l esplosione. v s -, 4 K, K, N - L esplosione è un fenoeno ipulsivo, durante il quale la forza elastica della olla può essere trascurata, sicché le conseuenze possono essere valutate considerando l oetto coe un sistea isolato. pplicando la lee di conservazione della quantità di oto, si ha: v v 0 da cui si ricava la velocità v della assa un istante dopo l esplosione; da questa, l eneria cinetica K, che soata a K dà l eneria eccanica totale: v v v ; K v v E K K v v tot 440 J La assia copressione della olla si ha quando, nella successiva fase di oto, la assa converte tutta la sua eneria cinetica in eneria elastica della olla: v v 0.4

25 Esercizio 4 La Luna ruota intorno alla Terra con un periodo T, alla distanza edia d. Detta M L la sua assa, se ne deterini l eneria eccanica E. T 7.3 iorni ; d ; M L K Si osservi innanzitutto che T 7.3 iorni s. La Luna percorre un orbita sostanzialente circolare sotto l azione della forza di ravitazione della Terra. L equazione della dinaica del oto circolare si scrive: F M L a c d M d M M G L L T ω L eneria potenziale ravitazionale, ponendo coe di consueto lo zero nel punto all infinito, vale allora: L L T d M d M M G U ω L eneria cinetica è data da: M L d K ω Si ha dunque: L L d T M d M U K E π ω J

26 Esercizio 5 Inizialente le asse, sono sospese ad una olla di costante elastica, ed il sistea è in equilibrio in. Deterinare la quota. d un certo istante una delle due asse si sancia. Deterinare l altezza assia a cui arriva la rianente assa. (Sia O il punto di riposo della olla e l oriine del riferiento; si fissi in lo 0 dell eneria potenziale della forza peso). 0. K ; 0. K ; 0 N - Per la lee di Hoo, l allunaento della olla è proporzionale alla forza applicata: - P P da cui: ( ) 0.05 Il sistea evolve poi sotto l azione di forze conservative e si può ricorrere alla conservazione dell eneria eccanica. Fissato lo zero dell eneria potenziale della forza peso in, e lo zero dell eneria elastica in O, si ha: ( ) E ; E FIN IN ± ± l seno positivo corrisponde la soluzione banale, che va scartata. La quota assia corrisponde quindi al seno neativo: O

27 Esercizio 6 La assa è aanciata in ad una olla, inizialente copressa. Nella fase di rilascio, spine una seconda assa. Poiché questa non è vincolata, a solo spinta da, se ne allontana nel oento in cui in O, posizione di riposo della olla, ha raiunto la assia velocità. Deterinare la coordinata corrispondente alla assia copressione della olla nelle successive oscillazioni di. Si scela O coe oriine del riferiento. O 0. K ; 0. K ; N -, - c Il sistea evolve sotto l azione di forze conservative e si può ricorrere alla conservazione dell eneria eccanica. Nella pria fase si ha: E IN ; E FIN ( ) v ; ( ) v v v 3.6 s 0.6 c In O, si stacca e la sua eneria cinetica non va più tenuta in conto. Quindi: E IN v ; E FIN v

28 Esercizio 7 La assa è sospesa ad una olla di costante elastica. Lasciata andare da fera dalla posizione di equilibrio O, nel punto più basso della traiettoria, razie ad un piccolo anete peranente, aancia una seconda assa. Deterinare la coordinata ; deterinare quindi a che altezza assia si porterà il sistea costituito da ed. (Si fissi in O lo 0 dell eneria potenziale della forza peso). 0.3 K ; 0. K ; 0 N - Il sistea evolve sotto l azione di forze conservative e si può ricorrere alla conservazione dell eneria eccanica. Nella pria fase si ha: c E ; 0 E FIN IN La seconda soluzione è accettabile. Nella seconda fase, si deve aiunere l eneria potenziale della assa : ( ) ( ) ( ) ( ) ± ± 4 E ; E FIN IN La quota assia corrisponde alla seconda soluzione. Quindi: c O

29 Esercizio 8 La assa è aanciata in ad una olla, inizialente copressa. E data la velocità v o, acquisita da quando passa nel punto di riposo della olla O. In, il punto di assia estensione della olla, razie ad un piccolo anete peranente, ad si aancia una seconda assa. Deterinare la coordinata e la assia velocità v del sistea costituito da ed nel oto successivo. 0. K ; 0.4 K ; N -, v o 5 s - Il sistea evolve sotto l azione di forze conservative e si può ricorrere alla conservazione dell eneria eccanica. Nella pria fase si ha: 0.9 c v v ; E ; v E o o FIN o IN Nella fase successiva si ha poi: ( ) ( ) FIN IN s.8 v v ; v E ; E O

30 Esercizio 9 Un proiettile di assa procede con velocità iniziale v o. Il proiettile si conficca in un sacchetto di sabbia di assa ontato su una olla di costante elastica, inizialente fero nella posizione di equilibrio. Deterinare l apiezza delle oscillazioni che seuono l ipatto. 5 ; 450 ; v o 3 s - ; N - L urto è copletaente anelastico. L equazione di conservazione della quantità di oto si scrive: vo ( ) v da cui si ricava la velocità con cui il sacchetto, insiee al proiettile, iniziano il oto in presenza della forza elastica: v vo 7.0 s Nella seconda fase si ha la conservazione dell eneria eccanica: E in E fin ( ) v Si ricava quindi : 6

31 Esercizio 0 Una assa procede salendo su un piano inclinato con velocità iniziale v o, in presenza di attrito radente caratterizzato dal coefficiente µ d. Deterinare lo spazio di arresto l. Sapendo che µ s µ d, stabilire se la assa resterà fera o scivolerà verso il basso. θ 30 ; µ d 0. ; v o 0.5 s - O θ Il diaraa di corpo libero è rappresentato in fiura. Sul punto ateriale aiscono: la forza peso P r (conservativa); la reazione norale del piano R r (che non copie lavoro); la forza di attrito radente F r a (non conservativa). Il valore di F a si trova utilizzando la relazione: Fa µ d R µ d P cos θ Detto il punto iniziale, il punto finale, si applichi quindi il teorea dell eneria eccanica: E() E() L dove L è il lavoro della forza non conservativa. Fissato lo zero dell eneria potenziale della forza peso in, si ha dunque: E E L ( ) ( ) l ( sen θ µ cos θ ) l v l F a sen θ d o sen θ l µ v o v ( sen θ µ cos θ ) d d cos θl o l µ v d o cos θl 5 O F r a θ R r P r Per stabilire se la assa riarrà fera nel punto più alto della traiettoria, si può raionare coe seue. Si ipotizza una condizione di statica; quindi si valuta se la forza di attrito F a in tali condizioni supera o no la forza di stacco. Le equazioni della statica danno: r r r Fa R P 0 Fa P sen θ 0 R P cos θ 0 Quindi: Fa P sen θ sen θ Fa µ s R µ s P cos θ Fa t θ.9 > Fa µ s Poiché F a > F a, evidenteente la condizione di statica non vale e il corpo scivola nuovaente verso il basso. O θ R r F r a P r

32 Esercizio Su un carrello di assa è ontato un cannoncino a olla, coe scheatizzato in fiura. Nella condizione iniziale il carrello è fero e la olla, di costante elastica, è copressa di un tratto l. Deterinare l eneria cinetica finale K del proiettile, di assa, nelle due ipotesi: a) Il carrello viene tenuto fero; b) Il carrello è lasciato libero di rinculare. 0.5 K ; 50 ; N - ; l c L eneria elastica accuulata nella olla vale: U l.5 J a) Per la conservazione dell eneria eccanica, in questo caso: K U.5 J b) In questo caso, si uovono sia il carrello che il proiettile. Dunque: K K v v U Inoltre, poiché si conserva la quantità di oto del sistea, e notando che inizialente oni parte è fera, si ha: v v 0, da cui: v v Sostituendo questa espressione nella pria equazione, si ottiene dopo pochi passai l espressione: U K v.3 J

33 d. Dinaica dei sistei di punti ateriali Esercizio L oetto in fiura è realizzato unendo ad anolo retto due bacchette ooenee, dello stesso ateriale. La bacchetta più corta ha lunhezza l, l altra 3l ; le asse sono pertanto, 3 rispettivaente. Si deterini l anolo θ che si deterina in condizioni di equilibrio, quando l oetto è sospeso in O. O θ z Si tratta di un problea di statica del corpo riido. Il diaraa di corpo riido è riportato in fiura. Delle due equazioni della statica, la I non perette di deterinare l inconita θ: r r r P P R 0 R r Si ricorre perciò alla II equazione, scritta per i oenti calcolati con polo in O: M r M r 0 O I oenti hanno solo coponente z. Proiettando dunque l equazione sull asse z si ha: l 3l cos θ ( ) sen θ ( 3 ) 0 cos θ 9 sen θ 0 t θ 9 θ 6.3 P r θ P r In alternativa, si può iporre che il CM si trovi sulla verticale del punto di sospensione. Posta l oriine del sistea di riferiento in O, ciò sinifica che CM 0, da cui: l 3l CM cos θ ( ) sen θ ( 3 ) 0 Questa equazione è ovviaente equivalente a quella che si ottiene dalla II eq. Cardinale.

34 Esercizio Un disco di raio r è libero di ruotare intorno al suo asse. Una fune in tensione applica una forza tanenziale costante F r ; ad essa si oppone l attrito deterinato dal pattino di un freno, preuto sul bordo del disco dalla forza R r. Noto il coefficiente di attrito µ s, deterinare per quale valore di F il disco ruota con velocità anolare costante; e quale potenza eroa F alla velocità anolare ω. r 40 c, R 40 N ; µ s. ; ω 5 s - F r R r Il odulo della forza di attrito vale: F a µ s R 68 N La condizione ω cost iplica che il oento totale applicato al disco sia nullo. Facendo riferiento al diaraa di corpo libero in fiura, e fissando il polo O sull asse del disco, si ha: M r M r a r r r r r r r r r 0 ; F Fa ( F Fa ) 0 ; F F a ; F F a 68 N La potenza eroata da F r vale: r r P M ω M ω r F ω 3490 W O r r F r a F r Si noti il seno positivo di P: il vettore M r ed il vettore ω r sono sicuraente paralleli e concordi nella situazione il esae.

35 Esercizio 3 Un disco di assa, raio r, ruota con velocità anolare ω rispetto ad un asse passante per il punto O, posto a distanza d dal CM. Deterinare: a) l eneria cinetica K del disco; b) il odulo della forza esercitata sull asse di rotazione. CM O 0 ; r 8 c ; d r ; ω 0 s - Il oento di inerzia del disco può essere valutato ricorrendo al teorea di Stein: r 3 I ICM d r r 4 L eneria cinetica allora vale: 3 K I ω r ω 3.8 J 4 La forza sull asse può essere calcolata ricorrendo alla I equazione cardinale della dinaica. Infatti si ha: r r F a c Il CM si uove su una traiettoria circolare di raio d. Dunque proiettando la I equazione cardinale in direzione centripeta: vcm r ω F 50 N d d

36 Esercizio 4 Una acchina di ltwood è realizzata colleando le asse ed ad una fune che passa intorno ad una carrucola di assa e raio r. Supponendo che nella condizione iniziale le asse si trovino fere alla stessa altezza h, deterinare con che velocità la assa tocca il suolo.. K ; 0.4 K ; 8 K ; h 5 c h M E possibile ricorrere alla conservazione dell eneria eccanica totale del sistea, costituito da tre parti: le due asse puntifori,, e il corpo riido di assa M (carrucola). Detta E l eneria eccanica, si ha: E in E fin E in U in U in ; Ef in U fin U fin K K K avendo indicato con i siboli K, K, K le enerie cinetiche finali delle asse,, rispettivaente, ed avendo riconosciuto che le enerie cinetiche sono tutte nulle nella confiurazione iniziale. Ponendo lo zero dell eneria potenziale al livello del suolo, si ha: U in h ; U in h ; U fin 0 ; U in h Osservando che le asse, hanno uuale velocità v (in odulo), e che la velocità anolare ω della carrucola è leata a v dalla relazione v ω r, si ha per le enerie cinetiche: K v ; K v ; K r I ω ω 4 v Quindi: ( ) v h h ( ) h s 4 v

37 Esercizio 5 Una porta di larhezza l, assa, ruota con velocità anolare ω intorno ai cardini. Deterinare l eneria cinetica K e il oento anolare L r con polo O, scelto sull asse di rotazione a età altezza della porta. Suerienti: I CM l ; L, L 0 con questa scelta del polo. O vista dall alto l 90 c, K ; ω 3. s - z L r Il oento di inerzia per un asse passante per O, per il teorea di Steiner, vale: I l l l 5.7 K 3 O Si ha allora: K I ω 7 J L r Vista la eoetria del problea, il oento anolare ha solo la coponente z diversa da 0: è facile rendersene conto dalla fiura. Poiché il polo si trova esattaente a età altezza, per sietria, le coponenti dei oenti anolari delle particelle costituenti la porta si elidono. Quindi: r L 0, 0, Lz L z ( ) I ω 8 K s

38 Esercizio 6 Un asta di lunhezza l, assa, ruota con velocità anolare ω intorno ad un asse perpendicolare, passante per il punto O, posto a distanza d dal centro C. Deterinare l eneria cinetica K e il oento anolare L r con polo O. Sueriento: I CM l O C l 7.8 c, 50 ; ω 30 s - ; d. c Il oento di inerzia per un asse passante per O, per il teorea di Steiner, vale: I I CM d l d K Si ha allora: K I ω 0. J Vista la eoetria del problea, il oento anolare ha solo la coponente z diversa da 0: r L 0, 0, L L z ( ) z I ω K s

39 Esercizio 7 Una ruota di raio r e assa rotola in piano, procedendo con velocità v. Deterinarne l eneria cinetica e il oento anolare L r con polo O, scelto sull asse di rotazione istantaneo. Sueriento: I r CM v r r 40 c, 8 K ; v 3 s - L asse istantaneo di rotazione passa per il punto di contatto della ruota con il suolo. Il oento di inerzia per tale asse, per il teorea di Steiner, vale: I I CM d 3 r r r 4.3 K Nel rotolaento, la relazione tra velocità di avanzaento e velocità anolare è la seuente: v r ω Si ha allora: K I ω I v r 4 KJ Vista la eoetria del problea, il oento anolare ha solo la coponente z diversa da 0, e questa risulta neativa: r L ( 0, 0, Lz ) v Lz I ω I 340 K s r

40 Esercizio 8 Un anello di raio r e assa, vincolata ad una fune, rotola verso il basso. Deterinarne l eneria cinetica e il oento anolare L r con polo O, scelto sull asse di rotazione istantaneo ( r ) I CM, in un dato istante in cui la velocità anolare è ω. r 4. c, 0.4 K ; ω. s - v r L asse istantaneo di rotazione passa per il punto di contatto della ruota con la fune. Il oento di inerzia per tale asse, per il teorea di Steiner, vale: I I CM d r r r K Si ha allora: K I ω. J Vista la eoetria del problea, il oento anolare ha solo la coponente z diversa da 0, e questa risulta neativa: r L ( 0, 0, Lz ) 3 Lz I ω.0 0 K s

41 Esercizio 9 Una trave di assa e lunhezza l è vincolata da un perno in O. L estreo libero è colleato ad una fune, coe in fiura. La trave è posta in orizzontale; in, a distanza 3 l da O, la trave è caricata dalla assa. Deterinare il valore delle coponenti R e R della reazione vincolare R r esercitata dal perno, e le coponenti T e T della tensione della fune T r. 4 K ; l.3 ; 3. K ; θ 30 θ O Il diaraa di corpo libero per la trave è ostrato in fiura. Con la scelta del polo in O, le due equazioni della statica danno: R T 0 I equazione R T P P 0 P l P l T 3 l 0 Dalla II si ricava il valore di T : P 3 P T 79 N 6 II equazione R r P r P r T r θ Noto θ, T si deterina coe seue: T T 37 N t θ Dalla I equazione si ricavano infine R, R : R - T -37 N R P P - T 90 N

42 Esercizio 0 Un disco di assa e raio r rotola salendo su un piano inclinato. Un istante pria di lasciare la rapa, la velocità del CM è pari a v o ; poi il disco proseue ovendosi liberaente (e quindi, continuando a ruotare intorno all asse centrale). Deterinare: a) la assia altezza a che il disco può raiunere; b) il valore della sua eneria cinetica K nel punto più alto della traiettoria. Si assua il sistea di riferiento ostrato in fiura, nel quale la posizione iniziale del CM è assunta coe oriine. 0.3 K ; r 8 ; θ 45 ; v o s θ O Le equazioni del oto del CM sono equivalenti, in base alla I equazione Cardinale della dinaica, a quelle di un punto ateriale sottoposto all accelerazione di ravità: vo t v vo vo t t v vo t Ponendo v 0 si ricava l istante t nel quale il CM raiune la assia quota: vo t Sostituendo nella terza equazione si ricava l altezza assia a : vo vo vo a 3. Nel punto in questione, l eneria cinetica del disco è: K vcm I ω e si ha: v CM v o v o cos θ 7.8 s - v CM 0 vo ω ωo 390 s r 6 I r 5 0 K Si ha infine: K 9. J

43 Esercizio Un cilindro di assa ruota senza strisciare su un piano inclinato di anolo α. Il cilindro parte da fero. Deterinare: a) La velocità del CM dopo uno spostaento l ; b) L eneria cinetica totale acquisita K ; c) L eneria cinetica di traslazione K CM ; d) L eneria cinetica di rotazione intorno al CM K rot. h l 0 K ; α 30 ; l ; I CM M R Si ha: h l sen α 0.5 La conservazione dell eneria eccanica coporta, in questo caso: h K L eneria cinetica del cilindro può essere scritta, ricorrendo al teorea di Koeni: 3 K vcm ICM ω vcm vcm vcm 4 4 Si ricava dunque il valore finale della velocità del CM: v CM 4 3 U 4 3 l sen α.6 s e quindi: 3 K vcm 50 J ; KCM vcm 33 J ; K vcm 7 J 4 4