Università di Cassino

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1 Uniersità di Cassin Tei di Fisica Generale per l Ineneria Prf. U. Sctti di Ucci a. Cineatica Esercizi Un piccl ett si ue di t circlare. La lee raria è espressa dalla relazine θ sen ( Ω t), cn, Ω cstanti assenate. Dett r il rai della traiettria circlare, si deterini il alre delle seuenti ariabili cineatiche all istante t : a) la elcità (t ); b) l accelerazine centripeta a c (t ); c) l accelerazine tanenziale a t (t ) ; Ω 0.3 s - ; r c ; t.0 s (Suerient: si faccia attenzine che la calclatrice sia ipstata per il calcl delle funzini nietriche di ariabili espresse in radianti) θ La elcità anlare si ttiene dalla relazine: dθ ω Ω cs ( Ω t), da cui ω ( t ) Ω cs ( Ω t ) 0.4 s - dt La elcità (t ) è allra data da: ( t ) ω ( t ) r 0.06 s L accelerazine centripeta ale: a c ( t ) ( t ) r s L accelerazine anlare ale: d ω Ω sen ( Ω t) dt α, da cui α ( t ) Ω sen ( Ω t ) 0.05 s L accelerazine tanenziale ale infine: a t (t ) α(t ) r s -

2 Esercizi Una palla iene lasciata cadere (da fera) dall altezza h nell istante t 0, e ribalza fin all altezza h. Deterinare in che istante t tcca il sul la secnda lta, trascurand la durata del pri urt. Si assua un sistea di riferient cn l riine al liell del sul, e l asse rientat ers l alt. h.5 ; h. Il t della palla può essere diis in due fasi. Nella pria fase, si ha una caduta libera dall altezza h. Dett t il tep necessari a tccare il sul, ale l equazine: h 0 h t, da cui t 0.55 s Della secnda fase, si sa che l altezza assia raiunta è h, e il t ha inizi da un altezza 0. Dett t il tep necessari per arriare all altezza h, aln le equazini: h' 0 t t t da cui h' t 0.49 s Infine, dett t 3 il tep necessari per tccare nuaente il sul: h' 0 h' t 3, da cui t s Il tep ttale ale dunque: t t t t 3.54 s Esercizi 3 Una particella si ue su una circnferenza di rai r. La lee raria, espressa in terini dell anl θ frat dal ettre psizine cn l asse plare è: θ ( t) θ cs ( Ω t ) Deterinare le cpnenti centripeta a c e tanenziale a t dell accelerazine all istante t t. θ r., θ ; Ω.5 s - ; t 0.34 s Deriand rispett al tep la lee raria si ttiene pria la elcità anlare ω, pi l accelerazine anlare α: ω t Ω θ sen Ω t α ( ) ( ) ( t) Ω θ cs ( Ω t ) Quindi, ricrdand che a t r α ; a c r ω, seue che: a c a t ( t ) r Ω θ sen ( Ω t ) 4. s ( t ) r Ω θ cs ( Ω t ).3 s

3 Esercizi 4 Un punt ateriale P si ue cn elcità iniziale rilta ers l alt su un pian inclinat lisci. Nel ent in cui raiune la assia altezza (istante t ), un secnd punt ateriale P parte dalla stessa psizine O cn la stessa elcità iniziale. In che istante t si incntrerann? P Si assua O ce riine del sistea di riferient indicat in fiura; si indichin cn il pedice () le ariabili cineatiche di P (P ). 3.8 s -, θ 30 P O θ I punti si un di t unifreente accelerat, cn accelerazine a - sen θ. Le equazini del t di P sn: - sen θ t t - sen θ t lla quta assia, la elcità si annulla. Pnend 0 nella pria equazine si tra quindi il tep t : t 0.77 s sen θ Le equazini del t di P sn allra: - sen θ t t ( ) ( t t ) - sen θ ( t t ) I punti si incntran nell'istante t che rende uuali i alri di e ; si ha quindi: t - sen θ t ( t t ) - sen θ ( t t ) da cui si ricaa t. Dp seplici passai si tra: 3 t t. s

4 Esercizi 5 Un calciatre, a distanza d dalla prta, tira frntalente ers un punt della prta pst ad altezza h. Deterinare la elcità iniziale del pallne. θ 45, d 5 ; h. θ h Le equazini del t della sfera sn: t t t Eliinand t tra le due equazini e ricrdand che cs θ sen θ si ttiene l equazine della traiettria: t θ cs θ Ipnend che la palla passi per il punt (d, h) si ha: h t θ d d cs θ da cui si ricaa : d cs θ 3 s - ( d t θ h)

5 Esercizi 6 Un punt ateriale P si ue cn elcità iniziale (0) rilta ers l alt su un pian inclinat lisci. a) Deterinare il tep t ipieat per raiune il punt di assia altezza, e la psizine di tale punt. b) Un secnd punt ateriale P, inizialente fer, iene pst in un punt C. Deterinare la psizine C del punt C se si desidera che P e P, nell stess istante, si incntrin in. Si assua ce riine del sistea di riferient indicat in fiura. P θ P C 3 s -, θ 30 I punti si un di t unifreente accelerat, cn accelerazine a - sen θ. Le equazini del t di P sn: (0) - sen θ t (0) t - sen θ t lla quta assia, la elcità si annulla. Pnend 0 nella pria equazine si tra quindi il tep t: (0) t.65 s sen θ e dalla secnda equazine la psizine : 7. Infine, la crdinata iniziale del punt C si deterina scriend la sua lee raria e ipnend che nell istante t ess si tri in : C - sen θ t ; C sen θ t 34.4

6 Esercizi 7 Un calciatre, a distanza d dalla prta, tira frntalente eseuend un pallnett per scaalcare il prtiere. La palla, scaliata cn elcità iniziale, andrebbe a tccare terra esattaente sulla linea. Sapend che il prtiere si tra inizialente in, e che in quella situazine può afferrare il pallne fin ad un altezza h, quant dee arretrare ers la prta per parare il tir? (si indichi cn tale alre) d 0 ; 5 ; h.7 ; θ 60 θ h Le equazini del t della sfera sn: t t t Eliinand t tra le due equazini e ricrdand che cs θ sen θ si ttiene l equazine della traiettria: t θ cs θ Ipnend che la palla passi per il punt (d, 0) si ha: 0 t θ d d cs θ da cui si ricaa : d 5 s - cs θ d t θ I alri di per cui h sn dati dall equazine: h t θ cs θ Rislend l equazine di II rad si tran le sluzini: 8.7 Delle due, la secnda nn è cnsistente cn i dati del prblea. Il prtiere in definitia dee arretrare del tratt: ΑΒ 3

7 Esercizi 8 Un piccl sass cade dall altezza h e clpisce un sacc di sabbia che si tra sul pianale di un carr che prcede in rizzntale cn elcità cstante. Deterinare: a) l accelerazine (a, a ) del sass nel sistea di riferient O slidale al carr; b) la elcità (, ) del sass, in quest stess sistea di riferient, un ent pria dell urt. h 8.3 ; 35 s - h O Il carr è un sistea di riferient inerziale, sicché a ' a 0 a ' a In O, le relazini cineatiche sn: 0 0 h' t t L istante t in cui il priettile tcca il bersali si ttiene pnend 0 : h' 0 h' t ; h' t ; t.3 s e la elcità è: 0 h'.7 s Per passare al sistea O, si usa infine la relazine: r r r ' O' da cui: ' 3.5 s '.7 s

8 Esercizi 9 Un punt ateriale si ue sull asse. La lee raria è espressa dalla relazine: 3 t t C t D Deterinare il alre dell accelerazine in tutti li istanti (t, t, ) nei quali la elcità è nulla..8 s -3 ; 5.3 s - ; C 3. s - ; D La elcità è data in base alla definizine da: d 3 t t C dt Gli istanti in cui 0 sn le sluzini dell equazine di II rad: 3 t t C 0 ± t 3 C s 0.80 s L accelerazine si calcla in base alla definizine: d a 6 t dt Sstituend i due alri trati per t si arà:.9 s a.9 s

9 Esercizi 0 Un punt ateriale si ue su una circnferenza cn lee raria ue, sulla stessa circnferenza, cn lee raria θ θ t. b ω b θ θ t. Un secnd punt ateriale si a ω a Deterinare l istante t e la psizine θ in cui i punti si incntran la pria lta; deterinare altresì in che istante e de si incntran la secnda lta. θ a 0 ; ω a 6.3 s - ; θ b 3. ; ω b.6 s - La cndizine che i punti si incntrin la pria lta è espressa dal sistea: θ θa ωa t θ θb ωb t Rislend, si tra: θb θa t 0.66 s ; θ θa ωa t ω ω a b 4.5 I punti si incntran di nu quand a ha percrs un ir in più di b. Quindi la nua cndizine da iprre è: θ θa ωa t θ θb ωb t π θb θa π per cui t.0 s ; θ θa ωa t. 6 ω ω a b

10 b. Dinaica Esercizi Una cassa di assa è piata su un pian. Una fune, tesa ad un anl θ ce strat in fiura, applica una frza F r. Deterinare il ini alre di F, affinché la cassa inizi a scilare incend l attrit di stacc. F r θ 5 K ; θ 30 ; µ s 0.65 O Il diaraa di punt ateriale è riprtat in fiura. Ne risulta l equazine della statica: r r r r F Fa R P 0 Priettand sui due assi: F a F cs θ 0 R F sen θ P 0 Nella cndizine di stacc, si ha inltre: F R a µ s F r θ R r P r O F r a Sstituend questa relazine nel sistea di equazini della statica si ha: F cs θ µ s R R F sen θ P 0 Quest è un sistea di equazini in incnite (F, R). Rislend per F si ha: P F 80 N cs θ sen θ µ s

11 Esercizi Un aut prta un caric di assa ntat sul prtapacchi sul tettucci dell abitacl. Si suppna, per seplicità, che il caric sia trattenut dalla sla frza di attrit, e che il cefficiente di attrit static cn il prtapacchi sia µ s. Deterinare: a) il assi alre assunt dal dul a r dell accelerazine in frenata, ltre il quale il caric è perdut; b) la assia elcità che l aut può tenere in una cura di rai r. 9 K ; µ s 0.30 ; r 4 a) Un istante pria dell stacc, la II equazine di Newtn applicata al caric è: r r r r Fa P R a Fa a R P 0 F r a R r cn la cndizine F a µ s R. Rislend per a si tra: µ s P a µ s.9 s ; a.9 s P r b) L equazine di Newtn ha ancra la fra: r r r r P R a F a Questa lta, tuttaia, l accelerazine è centripeta; priettand dunque l equazine in tale direzine, si ha: F a r da cui: r µ s P r µ s 8.4 s

12 Esercizi 3 La assa è trattenuta da due funi. La pria, passand su una carrucla, è clleata alla assa M ; la secnda, alla assa M. Nti li anli θ e θ, assunti quand il sistea si tra in cndizini di statica, deterinare il alre di M e M. θ θ 0.40 K ; θ 30, θ 0 M M Cn riferient al diaraa di crp liber in fiura, si ha: r r r P' T T 0 T cs θ T cs θ 0 T sen θ T sen θ P' 0 aend priettat l equazine ettriale su un asse rizzntale ed un erticale. T r T r P r ' Per la cndizine di fune e carrucla ideali, T P e T P ; dunque: M cs θ M cs θ 0 M sen θ M sen θ ' 0 Quest è un sistea di due equazini nelle incnite M ed M. Rislend si tra: ' M 0.49 K cs θ ( t θ t θ ) ' M 0.45 K cs θ ( t θ t θ )

13 Esercizi 4 In fiura è strat un pendl cnic, che ruta frand un anl di apertura θ cn la erticale. Deterinare le cpnenti del ettre accelerazine cui è setta la assa. Si cnsideri a tale scp il sistea di riferient tanente, caratterizzat da un asse centripet, un tanenziale e un terz dirett lun la erticale (asse z). θ 0 θ l Cn riferient al diaraa di crp liber nell schea a fianc, l equazine della dinaica assue la fra: r r r T P a Priettand l equazine nel sistea tanente, di cui si fa enzine nel test, si ha: T sen θ ac ω l sen θ 0 a t T cs θ P a 0 z Mettend a sistea la pria e la terza equazine, ed eliinand csì l incnita T, si tra: P tan θ ω l sen θ tan θ ω l sen θ a c In cnclusine: a t 0 ; a z 0 ; a c tan θ 3.6 s - T r P r

14 Esercizi 5 La assa è trattenuta da una fune, libera di scrrere attrn ad un pil. L altr cap della fune è fissat ad un blcc. Il pil è ancrat ad un incl che può applicare una frza assia R a pria di rpersi. a. suppnend trascurabile l attrit al cntatt della fune cn il pil, deterinare il alre della frza f che la fune esercita sul blcc; b. deterinare il assi alre a che può assuere la assa, pria che il incl si rpa. 0.4 K ; θ 60 ; R a 80 N θ P a) In assenza di attrit nel pil, le tensini T r, T r che aiscn sui due rai della fune sn uuali in dul: T T T. Pertant, la fune esercita sul blcc una frza pari in dul a T. D altr cant, la tensine T è pari in dul al pes P ; dunque, f 4 N b) Cn riferient al diaraa di crp liber nell schea a fianc, l equazine della statica applicata al punt P nel quale si esplica il incl assue la fra: r r r T R 0 T ssuend per cnenienza il riferient P indicat, e priettand l equazine suli assi e, si ha: R T cs θ 0 T sen θ T sen θ 0 Ricrdand ancra che T, si ricaa dunque: R a a cs θ R a ; a 9.5 K cs θ R r T r T r

15 Esercizi 6 Una bccla di assa M scila su un asse erticale in presenza di attrit, descritt dal cefficiente di attrit cineatica µ d. La frza preente F può essere relata aend sulla ite laterale. Deterinare il alre di F, affinché la bccla scili a elcità cstante. M. K ; µ d 0.0 elcità cstante l accelerazine è nulla, e l equazine di Newtn dienta: r r r r Fa P F R 0 R F 0 Fa P 0 F µ R a da cui: P F µ d d 6 N µ d F r P r F r a R r

16 Esercizi 7 La assa è sspesa ce in fiura. Nta la cstante elastica della lla, deterinarne l allunaent in cndizini di equilibri..6 K ; θ 30 ; 0 N - θ Il diaraa di crp liber del punt di intersezine delle funi è strat in fiura. pplicand la cndizine di statica del punt ateriale si ha: r r r T T P 0 T sen θ T sen θ 0 T cs θ T cs θ P 0 da cui si ricaa: P T T cs θ T r T r P r Per le prprietà delle funi ideali, la tensine sulla lla è pari in dul a T. L allunaent della lla è dat perciò dalla lee di H: T ; 4.5 c cs θ

17 Esercizi 8 Un crp di assa scila su un pian rizzntale in presenza di attrit. Sian µ s e µ d i cefficienti di attrit static e dinaic rispettiaente. a) Se il crp si ue inizialente alla elcità, deterinare il tep t che ccrre perché ess si feri. b) Deterinare la frza F che è necessari applicare per riettere il crp in ient..4 K ; µ s 0.3 ; µ d 0. ; s - La II equazine di Newtn è nella fase iniziale: r r r Fa P R 0 Fa a R P 0 F µ R a d da cui: µ d P a s La lee del t unifreente accelerat dà quindi: a t da cui, ipnend 0, si ricaa: t s a F r a P r R r Per riettere in ient il crp è necessari incere l attrit di stacc, ed applicare quindi una frza F µ s P 4 N

18 Esercizi 9 Un crp di assa scila su un pian rizzntale in presenza di attrit. Sian µ s e µ d i cefficienti di attrit static e dinaic rispettiaente. a) Se il crp è inizialente fer, si deterini la inia frza F che perette di etterl in ient; b) suppnend che tale frza cntinui a spinere il crp, deterinare la elcità che ess acquisisce dp un tep t..9 K ; µ s 0.30 ; µ d 0.5 ; t.4 s Un istante pria dell stacc, la II equazine di Newtn è: r r r r F Fa P R 0 F Fa 0 R P 0 F µ R a s da cui: F µ s P 5.6 N F r a R r P r F r Iediataente dp l stacc, inece: r r r r r F Fa P R a F Fa a R P 0 F µ R a d da cui si ricaa: F µ d P a.5 s La lee del t unifreente accelerat dà quindi: a t 3.5 s -

19 Esercizi 0 Una sferetta di assa ruta cn elcità anlare ω α t su una circnferenza di rai r. La sferetta è trattenuta sulla traiettria circlare da una fune di lunhezza l. Deterinare il dul F della frza ttale aente sulla sferetta all istante t. 0 ; α s - ; l c ; t 3.6 s L accelerazine ha cpnenti tanenziale e centripeta: a t αl a c ω l Dunque sn presenti due cpnenti della frza, che pssn essere alutate all istante t: 3 Ft α l N 3 Fc ω l α t l 0. 0 N Il dul di F sarà perciò: F Ft Fc N

20 Esercizi La assa (suppsta puntifre) è clleata a due lle. La pria, inclata in, ha cstante elastica e il su estre, in cndizini di rips, si tra in O. La secnda, inclata in, ha cstante elastica e il su estre, in cndizini di rips, si tra in O. Deterinare la psizine di equilibri C del punt ateriale, e discutere se si tratta di equilibri stabile n. Si assua il riferient indicat in fiura, cn riine in N - ; N - ; O 4 c ; O 9 c ; 3 c O O Il diaraa di crp liber per il punt ateriale è dat in fiura. F r F r ' O O L equazine della statica ha la sla cpnente utile. Si ha quindi: F F 0 F - ( C ) F - ( C ) Quindi: - ( C ) - ( C ) 0 -( ) C 0 ' ' C 0.6 ' F tt (N) () Per discutere il tip di equilibri che si deterina, si può cnsiderare il rafic della frza ttale F tt F F in funzine di, nei punti che cadn in un intrn di C : F tt -( ) Piché la frza ttale è psitia a sinistra, neatia a destra del punt di equilibri, è una frza di richia, e dunque l equilibri è stabile. U tt ( J ) lla stessa cnclusine si arria studiand il rafic dell eneria ptenziale ttale, U tt : U tt ( ) ' ( ' ) () La funzine U tt () presenta infatti un ini in C.

21 Esercizi La lla in fiura è clleata al blcc di assa ; quest è a sua lta piat sul blcc di assa. Entrabe le superfici di cntatt sn scabre. Il cefficiente di attrit static tra e il pian di appi è µ ; quell tra i due blcchi è µ. Qual è il assi alre della frza esercitata dalla lla (F a ), che perette cndizini di attrit static? Se la lla iene tesa un p di più, csa accade? 5 K ; 5 K ; µ 0.08 ; µ 0.4 Si tratta di un prblea di statica del punt ateriale. Cn riferient all schea di punt liber riprtat a fianc, le equazini da iprre sn le seuenti: F R 0 R R 0 cui ann aiunti i incli dinaici: R R (azine e reazine) R µ 0 N (assi alre pssibile per l attrit static tra i crpi) R µ ( ) 6 N (assi alre pssibile per l attrit static cl pian) R R R F Dal sistea seue che in cndizini di statica F R R R, sicché dee alere il incl più restritti, da cui F a 6 N. Se F supera di pc quest alre, i crpi scilan insiee sul pian, essend stat superat il assi alre per l attrit static sul pian, a nn tra i blcchi.

22 c. Lar ed eneria Esercizi E assenata la funzine eneria ptenziale U( ) cs, cn,, cstanti assenate. Si cnsideri un punt ateriale di assa inizialente fer nell riine ( 0 ). Si deterini: a) la frza aente sul punt ateriale; π b) la sua elcità, quand passa per il punt di ascissa U (J) ; 0. J ; 0.63 N ; () Il rafic di eneria ptenziale cnsiderat nel prblea prende il ne di washbard, ciè asse della laandaia, per i tii. In pratica si può aere un eneria ptenziale di quest tip quand si srappnn una frza peridica del tip F sen, ad una cstante F -. Trnand alla sluzine del prblea, per trare il alre della frza in 0, si ssera che: du F ( ) sen d e quindi: F(0) N La elcità del punt ateriale in può essere deterinata ricrrend al terea di cnserazine dell eneria eccanica. Piché il punt parte da fer, si ha: U ( 0) U ( ) ( U ( 0) U ( ) ) 7.6 s Si nti che i dati del prblea sddisfan la cndizine: > Se quest nn accade, il rafic di U() presenterà inii e assii relatii (edi fiura). In questa cndizine, l studi del t si cplica perché si dee alutare l effett delle barriere di ptenziale. d esepi, un punt ateriale che partisse da fer in nn ptrebbe ai raiunere, sebbene l eneria ptenziale in sia inre. Tale situazine nn si erifica per il cas prpst nel prblea, perché tra 0 e nn sn presenti barriere di ptenziale. U (J) () barriera

23 Esercizi La assa è aanciata ad una carrucla bile. La fune che sstiene la carrucla è inclata da un lat ad un punt fiss, dall altr ad una lla. Nella cndizine iniziale, la lla, di cstante elastica, si tra nella sua psizine di rips, e la assa si tra all altezza h dal sul. Deterinare: a) l eneria ptenziale ttale U() (raitazinale ed elastica), in funzine della enerica altezza cui può trarsi, e rappresentarne il rafic; b) il lar cpiut dalla frza pes, se si spsta dalla psizine iniziale alla psizine di equilibri stabile K ; 4. N -, h 50 c a) U() è data dalla sa di due cntributi: l eneria elastica U e l eneria della frza pes, U. Sia l allunaent della lla rispett alla psizine di rips. Il crrispndente spstaent erticale di è allra: h U (J) L eneria U ale allra: U h e l eneria U : U ( ) () Si ha quindi: ( ) U U ( h ) U b) La psizine di equilibri può essere deterinata in due di: in base all equazine della statica del punt ateriale, cercand la psizine di ini di U(). Seuend la pria strada, e facend riferient al diaraa di crp liber relati alla carrucla bile in fiura, si ha: F P 0, e priettand sull asse : F P 0 Piché F, si ha: 0.63 e quindi h 0.8 F r F r P r In alternatia, si può cercare il ini di U() pnend pari a 0 la sua deriata: d U 4 ( h ) 0 ; d h Infine, il lar della frza pes nel eneric spstaent da a è dat da: L ( ). In quest cas h ; h, e dunque: 4 L h h 4 ( ) 4.7 J

24 Esercizi 3 Un ett, clleat ad una lla di cstante elastica, inizialente in psizine di rips, esplde diidendsi in due fraenti. Di questi, il pri, di assa, iene priettat in aanti cn elcità ; il secnd, di assa, resta inclat alla lla, e dp aerla cpressa, inizia ad scillare. Deterinare: a) il alre della assia cpressine della lla; b) l eneria eccanica ttale del sistea dp l esplsine. s -, 4 K, K, N - L esplsine è un fenen ipulsi, durante il quale la frza elastica della lla può essere trascurata, sicché le cnseuenze pssn essere alutate cnsiderand l ett ce un sistea islat. pplicand la lee di cnserazine della quantità di t, si ha: 0 da cui si ricaa la elcità della assa un istante dp l esplsine; da questa, l eneria cinetica K, che sata a K dà l eneria eccanica ttale: E tt K ; K K 440 J La assia cpressine della lla si ha quand, nella successia fase di t, la assa cnerte tutta la sua eneria cinetica in eneria elastica della lla: 0.4

25 Esercizi 4 La Luna ruta intrn alla Terra cn un perid T, alla distanza edia d. Detta M L la sua assa, se ne deterini l eneria eccanica E. T 7.3 irni ; d ; M L K Si sseri innanzitutt che T 7.3 irni s. La Luna percrre un rbita sstanzialente circlare stt l azine della frza di raitazine della Terra. L equazine della dinaica del t circlare si scrie: F M L a c d M d M M G L L T ω L eneria ptenziale raitazinale, pnend ce di cnsuet l zer nel punt all infinit, ale allra: L L T d M d M M G U ω L eneria cinetica è data da: M L d K ω Si ha dunque: L L d T M d M U K E π ω J

26 Esercizi 5 Inizialente le asse, sn sspese ad una lla di cstante elastica, ed il sistea è in equilibri in. Deterinare la quta. d un cert istante una delle due asse si sancia. Deterinare l altezza assia a cui arria la rianente assa. (Sia O il punt di rips della lla e l riine del riferient; si fissi in l 0 dell eneria ptenziale della frza pes). 0. K ; 0. K ; 0 N - Per la lee di H, l allunaent della lla è prprzinale alla frza applicata: - P P da cui: ( ) 0.05 Il sistea ele pi stt l azine di frze cnseratie e si può ricrrere alla cnserazine dell eneria eccanica. Fissat l zer dell eneria ptenziale della frza pes in, e l zer dell eneria elastica in O, si ha: ( ) E ; E FIN IN ± ± l sen psiti crrispnde la sluzine banale, che a scartata. La quta assia crrispnde quindi al sen neati: O

27 Esercizi 6 La assa è aanciata in ad una lla, inizialente cpressa. Nella fase di rilasci, spine una secnda assa. Piché questa nn è inclata, a sl spinta da, se ne allntana nel ent in cui in O, psizine di rips della lla, ha raiunt la assia elcità. Deterinare la crdinata crrispndente alla assia cpressine della lla nelle successie scillazini di. Si scela O ce riine del riferient. O 0. K ; 0. K ; N -, - c Il sistea ele stt l azine di frze cnseratie e si può ricrrere alla cnserazine dell eneria eccanica. Nella pria fase si ha: E IN ; E FIN ( ) ; ( ) 3.6 s 0.6 c In O, si stacca e la sua eneria cinetica nn a più tenuta in cnt. Quindi: E IN ; E FIN

28 Esercizi 7 La assa è sspesa ad una lla di cstante elastica. Lasciata andare da fera dalla psizine di equilibri O, nel punt più bass della traiettria, razie ad un piccl anete peranente, aancia una secnda assa. Deterinare la crdinata ; deterinare quindi a che altezza assia si prterà il sistea cstituit da ed. (Si fissi in O l 0 dell eneria ptenziale della frza pes). 0.3 K ; 0. K ; 0 N - Il sistea ele stt l azine di frze cnseratie e si può ricrrere alla cnserazine dell eneria eccanica. Nella pria fase si ha: c E ; 0 E FIN IN La secnda sluzine è accettabile. Nella secnda fase, si dee aiunere l eneria ptenziale della assa : ( ) ( ) ( ) ( ) ± ± 4 E ; E FIN IN La quta assia crrispnde alla secnda sluzine. Quindi: c O

29 Esercizi 8 La assa è aanciata in ad una lla, inizialente cpressa. E data la elcità, acquisita da quand passa nel punt di rips della lla O. In, il punt di assia estensine della lla, razie ad un piccl anete peranente, ad si aancia una secnda assa. Deterinare la crdinata e la assia elcità del sistea cstituit da ed nel t successi. 0. K ; 0.4 K ; N -, 5 s - Il sistea ele stt l azine di frze cnseratie e si può ricrrere alla cnserazine dell eneria eccanica. Nella pria fase si ha: 0.9 c ; E ; E FIN IN Nella fase successia si ha pi: ( ) ( ) FIN IN s.8 ; E ; E O

30 Esercizi 9 Un priettile di assa prcede cn elcità iniziale. Il priettile si cnficca in un sacchett di sabbia di assa ntat su una lla di cstante elastica, inizialente fer nella psizine di equilibri. Deterinare l apiezza delle scillazini che seun l ipatt. 5 ; 450 ; 3 s - ; N - L urt è cpletaente anelastic. L equazine di cnserazine della quantità di t si scrie: ( ) da cui si ricaa la elcità cn cui il sacchett, insiee al priettile, inizian il t in presenza della frza elastica: 7.0 s Nella secnda fase si ha la cnserazine dell eneria eccanica: E in E fin ( ) Si ricaa quindi : 6

31 Esercizi 0 Una assa prcede salend su un pian inclinat cn elcità iniziale, in presenza di attrit radente caratterizzat dal cefficiente µ d. Deterinare l spazi di arrest l. Sapend che µ s µ d, stabilire se la assa resterà fera scilerà ers il bass. θ 30 ; µ d 0. ; 0.5 s - O θ Il diaraa di crp liber è rappresentat in fiura. Sul punt ateriale aiscn: la frza pes P r (cnseratia); la reazine nrale del pian R r (che nn cpie lar); la frza di attrit radente F r a (nn cnseratia). Il alre di F a si tra utilizzand la relazine: F µ R µ P cs θ a d d Dett il punt iniziale, il punt finale, si applichi quindi il terea dell eneria eccanica: E() E() L de L è il lar della frza nn cnseratia. Fissat l zer dell eneria ptenziale della frza pes in, si ha dunque: E E L ( ) ( ) l ( sen θ µ cs θ ) l l F a sen θ d sen θ l µ ( sen θ µ cs θ ) d d cs θl l µ d cs θl 5 O F r a θ R r P r Per stabilire se la assa riarrà fera nel punt più alt della traiettria, si può rainare ce seue. Si iptizza una cndizine di statica; quindi si aluta se la frza di attrit F a in tali cndizini supera n la frza di stacc. Le equazini della statica dann: r r r F R P 0 a F a P sen θ 0 R P cs θ 0 Quindi: F P sen θ sen θ F a F a F a a µ s R µ P cs θ t θ.9 > µ s s Piché F a > F a, eidenteente la cndizine di statica nn ale e il crp scila nuaente ers il bass. O θ R r F r a P r

32 Esercizi Su un carrell di assa è ntat un cannncin a lla, ce scheatizzat in fiura. Nella cndizine iniziale il carrell è fer e la lla, di cstante elastica, è cpressa di un tratt l. Deterinare l eneria cinetica finale K del priettile, di assa, nelle due iptesi: a) Il carrell iene tenut fer; b) Il carrell è lasciat liber di rinculare. 0.5 K ; 50 ; N - ; l c L eneria elastica accuulata nella lla ale: U l.5 J a) Per la cnserazine dell eneria eccanica, in quest cas: K U.5 J b) In quest cas, si un sia il carrell che il priettile. Dunque: K K U Inltre, piché si cnsera la quantità di t del sistea, e ntand che inizialente ni parte è fera, si ha: 0, da cui: Sstituend questa espressine nella pria equazine, si ttiene dp pchi passai l espressine: U K.3 J

33 d. Dinaica dei sistei di punti ateriali Esercizi L ett in fiura è realizzat unend ad anl rett due bacchette enee, dell stess ateriale. La bacchetta più crta ha lunhezza l, l altra 3l ; le asse sn pertant, 3 rispettiaente. Si deterini l anl θ che si deterina in cndizini di equilibri, quand l ett è sspes in O. O θ z Si tratta di un prblea di statica del crp riid. Il diaraa di crp riid è riprtat in fiura. Delle due equazini della statica, la I nn perette di deterinare l incnita θ: r r r P R 0 P R r Si r ricrre perciò alla II equazine, scritta per i enti calclati cn pl in O: M r 0 M O I enti hann sl cpnente z. Priettand dunque l equazine sull asse z si ha: l 3l cs θ ( ) sen θ ( 3 ) 0 cs θ 9 sen θ 0 t θ 9 θ 6.3 P r θ P r In alternatia, si può iprre che il CM si tri sulla erticale del punt di sspensine. Psta l riine del sistea di riferient in O, ciò sinifica che CM 0, da cui: l 3l CM cs θ ( ) sen θ ( 3 ) 0 Questa equazine è iaente equialente a quella che si ttiene dalla II eq. Cardinale.

34 Esercizi Un disc di rai r è liber di rutare intrn al su asse. Una fune in tensine applica una frza tanenziale cstante F r ; ad essa si ppne l attrit deterinat dal pattin di un fren, preut sul brd del disc dalla frza R r. Nt il cefficiente di attrit µ s, deterinare per quale alre di F il disc ruta cn elcità anlare cstante; e quale ptenza era F alla elcità anlare ω. r 40 c, R 40 N ; µ s. ; ω 5 s - F r R r Il dul della frza di attrit ale: F a µ s R 68 N La cndizine ω cst iplica che il ent ttale applicat al disc sia null. Facend riferient al diaraa di crp liber in fiura, e fissand il pl O sull asse del disc, si ha: M r M r a r r r r r r r r r 0 ; F F ( F F ) 0 ; F ; F F a 68 N La ptenza erata da F r ale: r r P M ω M ω r F ω 3490 W a a F a O r r F r a F r Si nti il sen psiti di P: il ettre M r ed il ettre ω r sn sicuraente paralleli e cncrdi nella situazine il esae.

35 Esercizi 3 Un disc di assa, rai r, ruta cn elcità anlare ω rispett ad un asse passante per il punt O, pst a distanza d dal CM. Deterinare: a) l eneria cinetica K del disc; b) il dul della frza esercitata sull asse di rtazine. CM O 0 ; r 8 c ; d r ; ω 0 s - Il ent di inerzia del disc può essere alutat ricrrend al terea di Stein: r 3 I ICM d r r 4 L eneria cinetica allra ale: 3 K I ω r ω 3.8 J 4 La frza sull asse può essere calclata ricrrend alla I equazine cardinale della dinaica. Infatti si ha: r r F a c Il CM si ue su una traiettria circlare di rai d. Dunque priettand la I equazine cardinale in direzine centripeta: CM F d r ω d 50 N

36 Esercizi 4 Una acchina di ltwd è realizzata clleand le asse ed ad una fune che passa intrn ad una carrucla di assa e rai r. Suppnend che nella cndizine iniziale le asse si trin fere alla stessa altezza h, deterinare cn che elcità la assa tcca il sul.. K ; 0.4 K ; 8 K ; h 5 c h M E pssibile ricrrere alla cnserazine dell eneria eccanica ttale del sistea, cstituit da tre parti: le due asse puntifri,, e il crp riid di assa M (carrucla). Detta E l eneria eccanica, si ha: E in E fin E in U in U in ; Ef in U fin U fin K K K aend indicat cn i sibli K, K, K le enerie cinetiche finali delle asse,, rispettiaente, ed aend ricnsciut che le enerie cinetiche sn tutte nulle nella cnfiurazine iniziale. Pnend l zer dell eneria ptenziale al liell del sul, si ha: U in h ; U in h ; U fin 0 ; U in h Osserand che le asse, hann uuale elcità (in dul), e che la elcità anlare ω della carrucla è leata a dalla relazine ω r, si ha per le enerie cinetiche: K ; K ; K r I ω ω 4 Quindi: ( ) ( ) h 4 h h 0.8 s 4

37 Esercizi 5 Una prta di larhezza l, assa, ruta cn elcità anlare ω intrn ai cardini. Deterinare l eneria cinetica K e il ent anlare L r cn pl O, scelt sull asse di rtazine a età altezza della prta. Suerienti: I CM l ; L, L 0 cn questa scelta del pl. O ista dall alt l 90 c, K ; ω 3. s - z L r Il ent di inerzia per un asse passante per O, per il terea di Steiner, ale: I l l l 5.7 K 3 O Si ha allra: K I ω 7 J L r Vista la eetria del prblea, il ent anlare ha sl la cpnente z diersa da 0: è facile rendersene cnt dalla fiura. Piché il pl si tra esattaente a età altezza, per sietria, le cpnenti dei enti anlari delle particelle cstituenti la prta si elidn. Quindi: r L 0, 0, L L z ( ) z I ω 8 K s

38 Esercizi 6 Un asta di lunhezza l, assa, ruta cn elcità anlare ω intrn ad un asse perpendiclare, passante per il punt O, pst a distanza d dal centr C. Deterinare l eneria cinetica K e il ent anlare L r cn pl O. Suerient: I CM l O C l 7.8 c, 50 ; ω 30 s - ; d. c Il ent di inerzia per un asse passante per O, per il terea di Steiner, ale: I I CM d l d K Si ha allra: K I ω 0. J Vista la eetria del prblea, il ent anlare ha sl la cpnente z diersa da 0: r L 0, 0, L L z ( ) z I ω K s

39 Esercizi 7 Una ruta di rai r e assa rtla in pian, prcedend cn elcità. Deterinarne l eneria cinetica e il ent anlare L r cn pl O, scelt sull asse di rtazine istantane. Suerient: I r CM r r 40 c, 8 K ; 3 s - L asse istantane di rtazine passa per il punt di cntatt della ruta cn il sul. Il ent di inerzia per tale asse, per il terea di Steiner, ale: I I CM d 3 r r r 4.3 K Nel rtlaent, la relazine tra elcità di aanzaent e elcità anlare è la seuente: r ω Si ha allra: K I ω I r 4 KJ Vista la eetria del prblea, il ent anlare ha sl la cpnente z diersa da 0, e questa risulta neatia: r L ( 0, 0, Lz ) Lz I ω I 340 K s r

40 Esercizi 8 Un anell di rai r e assa, inclata ad una fune, rtla ers il bass. Deterinarne l eneria cinetica e il ent anlare L r cn pl O, scelt sull asse di rtazine istantane ( r ) I CM, in un dat istante in cui la elcità anlare è ω. r 4. c, 0.4 K ; ω. s - r L asse istantane di rtazine passa per il punt di cntatt della ruta cn la fune. Il ent di inerzia per tale asse, per il terea di Steiner, ale: I I CM d r r r K Si ha allra: K I ω. J Vista la eetria del prblea, il ent anlare ha sl la cpnente z diersa da 0, e questa risulta neatia: r L ( 0, 0, Lz ) 3 Lz I ω.0 0 K s

41 Esercizi 9 Una trae di assa e lunhezza l è inclata da un pern in O. L estre liber è clleat ad una fune, ce in fiura. La trae è psta in rizzntale; in, a distanza 3 l da O, la trae è caricata dalla assa. Deterinare il alre delle cpnenti R e R della reazine inclare R r esercitata dal pern, e le cpnenti T e T della tensine della fune T r. 4 K ; l.3 ; 3. K ; θ 30 θ O Il diaraa di crp liber per la trae è strat in fiura. Cn la scelta del pl in O, le due equazini della statica dann: R T 0 I equazine R T P P 0 P l P l T l 0 3 Dalla II si ricaa il alre di T : P 3 P T 79 N 6 II equazine R r P r P r T r θ Nt θ, T si deterina ce seue: T T 37 N t θ Dalla I equazine si ricaan infine R, R : R - T -37 N R P P - T 90 N

42 Esercizi 0 Un disc di assa e rai r rtla salend su un pian inclinat. Un istante pria di lasciare la rapa, la elcità del CM è pari a ; pi il disc prseue endsi liberaente (e quindi, cntinuand a rutare intrn all asse centrale). Deterinare: a) la assia altezza a che il disc può raiunere; b) il alre della sua eneria cinetica K nel punt più alt della traiettria. Si assua il sistea di riferient strat in fiura, nel quale la psizine iniziale del CM è assunta ce riine. 0.3 K ; r 8 ; θ 45 ; s θ O Le equazini del t del CM sn equialenti, in base alla I equazine Cardinale della dinaica, a quelle di un punt ateriale sttpst all accelerazine di raità: t t t t Pnend 0 si ricaa l istante t nel quale il CM raiune la assia quta: t Sstituend nella terza equazine si ricaa l altezza assia a : a 3. Nel punt in questine, l eneria cinetica del disc è: K CM I ω e si ha: CM cs θ 7.8 s - CM 0 ω ω 390 s r 6 I r 5 0 K Si ha infine: K 9. J

43 Esercizi Un cilindr di assa ruta senza strisciare su un pian inclinat di anl α. Il cilindr parte da fer. Deterinare: a) La elcità del CM dp un spstaent l ; b) L eneria cinetica ttale acquisita K ; c) L eneria cinetica di traslazine K CM ; d) L eneria cinetica di rtazine intrn al CM K rt. h l 0 K ; α 30 ; l ; I CM M R Si ha: h l sen α 0.5 La cnserazine dell eneria eccanica cprta, in quest cas: h K L eneria cinetica del cilindr può essere scritta, ricrrend al terea di Keni: 3 K CM ICM ω CM CM CM 4 4 Si ricaa dunque il alre finale della elcità del CM: CM 4 3 U 4 3 l sen α.6 s e quindi: 3 K CM 50 J ; KCM CM 33 J ; K CM 7 J 4 4