Disequazioni in una incognita

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1 Disequazini in una incgnita. Cnsiderazini generali Dai principi di equivalenza delle disequazini segue che: a) quand si trasprta un termine da un membr all'altr si deve cambiarne il segn:. b) quand si mltiplican si dividn per un numer negativ entrambi i membri di una disequazine, si deve cambiare, ltre al segn di tutti i termini, anche il vers ( sens) della disequazine: data la disequazine: 8 dividend per si ttiene:. [Quand il fattre il divisre è un numer psitiv si lascian inalterati i segni dei termini e il vers della disequazine]. Quand si dividn si mltiplican i membri delle disequazini per espressini letterali, cntenenti n l'incgnita, ccrre rislvere separatamente le due diverse disequazini crrispndenti ai due diversi versi: a a se a ha cme sluzini ; se a ha cme sluzini ; se a = nn ci sn sluzini. Cnsidererem sl i seguenti tipi di disequazini in una sla incgnita:. disequazini di prim grad. disequazini di secnd grad. disequazini di grad superire rislubili per fattrizzazine. disequazini fratte. disequazini cn un valre asslut e inltre i relativi sistemi di disequazini. Ogni tip di disequazine si rislve cn un prcediment specific. parte il cas delle disequazini cn valri assluti, per frma nrmale (abbreviata f.n.) di una disequazine si intende la frma equivalente alla disequazine di partenza in cui a) sn stati prtati a sinistra tutti i termini (a destra rimane sl l zer) b) tutte le eventuali frazini sn state ridtte all stess denminatre (che se cntiene lettere nn viene in genere eliminat) e tutti i mnmi simili del numeratre sn stati tra lr smmati. la f.n. è: La frma nrmale di una disequazine algebrica in una incgnita presenta quindi a sinistra un plinmi più in generale una frazine algebrica nell'incgnita (cn i termini simili ridtti), a destra l zer. Cnvenzine (quasi) generale per gli schemi grafici: Linea cntinua: i valri crrispndenti sn delle sluzini della disequazine indicata a lat Linea tratteggiata ( assente): i valri crrispndenti nn sn delle sluzini della disequazine indicata a lat; pallin pien: il valre crrispndente è una sluzine della disequazine indicata a lat pallin vut: il valre crrispndente nn è una sluzine della disequazine indicata a lat.. Disequazini di prim grad Per quest tip di disequazini, la frma nrmale presenta a prim membr un plinmi di grad nell'incgnita (a destra rimane ). Si hann quindi f.n. del tip: a b, a b, ecc. dve a è il cefficiente dell'incgnita e b il termine nt. Risluzine dalla f.n.: a) si prtan a destra tutti i termini nn cntenenti l'incgnita; b) si dividn entrambi i membri per il cefficiente dell'incgnita tenend cnt del segn. Es: / / [il cefficiente di è negativ] ltr md (più simile a quell adttat per le disequazini di secnd grad): a) si rislve l'equazine assciata alla disequazine, trvand una sla radice; b) si determina l'intervall sluzine sapend che per maggiri della radice trvata il plinmi ha l stess segn del cefficiente dell'incgnita e segn ppst per valri minri della radice. a) md : / / md : equazine assciata: = ; sluzine dell'equazine assciata: = / Il cefficiente dell'incgnita è psitiv quindi il plinmi è / psitiv ( null) per / e negativ per /. b) md : / md : equazine assciata: = ; sluzine dell'equazine assciata: = / Il cefficiente dell'incgnita è negativ quindi il plinmi è psitiv ( null) per / e negativ per /. / / Disequazini in una incgnita.dc pag. di //

2 . Disequazini di secnd grad. La frma nrmale presenta a prim membr un plinmi di grad nella lettera (slit zer a destra) : a b c, a b c, a b c, a b c. Il segn del cefficiente del termine di grad massim (vver a) determina la frma della parabla assciata di equazine y = a b c: a cncavità vers l'alt (a psitiv ϑ ) a cncavità vers il bass (a negativ Λ ) Il valre del discriminante = b ac dell'equazine assciata a b c = stabilisce il numer di intersezini cn l'asse delle ascisse della parabla assciata alla disequazine: intersezini = intersezine intersezini Risluzine dalla f.n.: a) si rislve l'equazine assciata alla disequazine : a b c = b) si stabiliscn gli eventuali intervalli sluzine tenend presente che: - se, il plinmi ha l stess segn di a (il cefficiente del termine di grad) per valri esterni alle due radici e segn ppst per valri interni ad esse; - se =, il plinmi ha l stess segn di a per gni unica radice (data da: = b/a ) - se, il plinmi ha l stess segn di a per gni. a) = ; a = a Sluzini dell'equazine assciata: = ; = / Dat che a è psitiv, il plinmi ha segn psitiv per valri esterni alle due radici e negativ per valri interni alle due radici. La sluzine è data da [/; ] (estremi quindi cmpresi). Quali sluzini ha? / / b) = ; a = a Sluzine (unica) dell'equazine assciata: = /. Dat che a è negativ, il plinmi ha per / segn negativ ed è null per = /. La sluzine è data dall'unine di due intervalli aperti disgiunti: ( ;/) (/; ) vver / / vver, più semplicemente, /. Quali sluzini ha? / / / c) = ; a = a L'equazine assciata nn ha sluzini reali. Dat che e a è psitiv, il plinmi ha segn psitiv. La sluzine è quindi data da tutt l'insieme dei numeri reali: ( ; ). Quali sluzini ha?. Disequazini di grad superire rislubili per fattrizzazine In quest cas la f.n. presenta cme prim membr un plinmi di grad superire a che può essere scmpst nel prdtt di fattri plinmiali di di grad. ( ) ( ) ( ) ( ) Per rislvere la disequazine si parte dalla frma fattrizzata ricrdand che il segn di un prdtt è uguale al prdtt dei segni di tutti i sui fattri. Risluzine dalla f.n. (cl prim membr già scmpst in fattri): a) si rislvn separatamente per gni fattre F del plinmi le disequazini F ppure, se la disequazine iniziale cnsiderava il cas =, le disequazini F ; b) si traccia un schema in cui in alt cmpain in rdine crescente le radici delle equazini assciate a ciascun fattre e stt per gni fattre si scrive a sinistra la disequazine F (ppure F ) e pi gli intervalli sluzine crrispndenti cn la slita cnvenzine c) si determina il segn del prdtt di tutti i fattri e quindi l'intervall in cui la disequazine di partenza è verificata. Cnviene ricrdare, nel cas in cui alcuni dei fattri sian delle ptenze, che: - una ptenza cn espnente pari è sempre psitiva (tranne il cas in cui la base è nulla) - una ptenza cn espnente dispari ha sempre l stess segn della base. Disequazini in una incgnita.dc pag. di //

3 a) ( ). Rislv separatamente le single disequazini F : F : / / Dall schema a lat la sluzine è: [; /] [; ). Quali sn le sluzini delle disequazini ( ) ( ) ( )? F F / b) ( ) () () () nche se la disequazine presenta il simbl, nelle disequazini relative ai singli fattri si scrive sempre (qui in sens strett). lla fine, dp aver calclat il segn del prdtt, si determinerà l'intervall in cui il plinmi è negativ. F : (espnente pari) F : F : () / (espnente pari) F : () (espnente dispari) F : ½ La sluzine è: (/; ). F F F F F F F F F F / / / Qual è la sluzine di ( ) () () ()? E di ( ) () () ()?.Disequazini fratte In quest cas la f.n. presenta cme prim membr una frazine algebrica (il cui denminatre cntiene l'incgnita). Dat che la regla dei segni è identica per la mltiplicazine e per la divisine, quest tip di disequazini si rislve all stess md del cas precedente cn l'avvertenza di cnsiderare il denminatre sempre divers da zer. Quindi anche se cmpare (ppure ) le disequazini relative al denminatre sn da scrivere sempre cn. Risluzine dalla f.n.: a) se è pssibile, si scmpngn in fattri il denminatre e il numeratre b) si impstan le disequazini per i singli fattri del numeratre (N ppure N ) e del denminatre (D sempre) e si rislvn; c) cme nel cas precedente, si impsta l schema grafic e si trvan gli eventuali intervalli in cui la frazine algebrica assume il segn richiest. Es. / / a) N : / D : / Sluzine: ( ; /] (/; ) Prvare: N/D ; ; / / 9 b) vver, scmpnend in fattri: ( )( ) ( ) N / N / D D / / Sluzine: [/; /) (; ½) [/; ) N/D / / / / / / / / Disequazini in una incgnita.dc pag. di //

4 intermezz: sistemi di disequazini Un sistema di disequazini è un insieme di due più disequazini di cui si cercan le eventuali sluzini cmuni vver l'intersezine delle sluzini delle disequazini del sistema. Risluzine: a) si determinan, ci metdi apprpriati, le sluzini delle single disequazini; b) si determina, spess cn l'aiut di un schema grafic, l'intersezine delle sluzini delle disequazini del sistema vver l'insieme di tutti i valri che sstituiti alla rendn vere tutte le cndizini indicate dalle disequazini del sistema. L schema grafic adttat per i sistemi è apparentemente uguale a quell impiegat per le disequazini rislubili per fattrizzazine per le disequazini frazinarie. Invece ccrre tener presente che: - la disequazine che si scrive a lat di gni riga è la disequazine effettivamente presente nel sistema (pssn cmparire quindi anche ); - le linee cntinue ( i pallini pieni) nn sn più assciate ad intervalli in cui dei plinmi assumn valri psitivi ( nulli) ma rappresentan le sluzini delle disequazini a lat; - alla fine nn si calclan più dei prdtti di segni ma si determinan gli intervalli in cui tutte le disequazini del sistema sn verificate: si traccia una linea cntinua dve ci sn tutte linee cntinue; si mettn pallini pieni per gli estremi in crrispndenza dei quali si trvan sl pallini pieni linee cntinue. Es. a) Rislv le single disequazini: vver: S = (; ) vver S = ( ;] [ ; ) Dall schema grafic si ttiene la sluzine del sistema cme intersezine delle due sluzini: S S = [; ) S S Quali sn le sluzini dei seguenti sistemi: b) c) d) Csa emerge dal cnfrnt tra gli schemi dei precedenti sistemi e le disequazini: e) f) ( )( )??. Disequazini cn un valre asslut La frma cnsiderata è del tip: () () ppure () () (e simili cn ), dve () e () sn espressini cntenenti l'incgnita. Risluzine (metd ) a) si rislvn i due sistemi di disequazini ttenuti cnsiderand () e () b) si uniscn le sluzini dei due sistemi, vver si trvan tutti gli intervalli cntenenti le sluzini di almen un sistema. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La risluzine può essere semplificata ntand che: - csì cme ha sluzine, la cndizine () () richiede che la distanza dall zer del valre dell'espressine sia minre ( uguale) del valre dell'espressine e quindi che il valre di sia cmpres tra e : () () () () () che equivale al sistema: ( ) ( ) ( ) ( ) [ciò vale anche se () è negativ: in tal cas è evidente che () (), csì cme il sistema qui spra, nn ha sluzini.] - csì cme ha sluzine la cndizine () () richiede che la distanza dall zer del valre dell'espressine sia maggire ( uguale) del valre dell'espressine e quindi che il valre di sia maggire uguale a ppure minre uguale a : () () () () () (). [ciò vale anche se () è negativ: in tal cas è evidente che () (), csì cme una delle due disequazini indicate, è banalmente verificata.] Disequazini in una incgnita.dc pag. di //

5 Disequazini in una incgnita.dc pag. di // Risluzine (metd ) cas a) se la disequazine è del tip () () [ppure del tip () () ]: si rislve il sistema equivalente a: () () () [pp. equivalente a: () () ()] cas b) se la disequazine è del tip () () [ppure del tip () () ]: si rislvn le disequazini () () e () () [() () e () () ] e pi si uniscn le sluzini. () () vver () () () () () vver () () () () () () () () () () () () () () () a). E' del tip () () metd : : S : S sluzine: S S = (; ) metd : b) è del tip () (): rislv le due disequazini () () e () () e pi unisc le sluzini. R : Q : La sluzine è: [/; ) (; ) c) è del tip () () quindi si ha vver il sistema D N D N La sluzine è: (- ; ] [; ] [; ) S S / S S S S N/D / / N: D: Q R / / Q R