REALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO

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1 RELTÀ E MODELLI SCHED DI LVORO La rampa di access Per accedere a un edifici pubblic ci sn 6 gradini alti 6 cm e prfndi 0 cm; è necessari cstruire una rampa di access per carrzzine. La nrmativa prevede che la massima pendenza (vver il rapprt tra l spstament verticale e quell rizzntale) delle rampe sia dell 8%. Qual è il massim angl che una rampa può frmare cn l rizzntale? L spazi dispnibile di frnte alla base della scala è di 60 cm. Una rampa che csteggia la scala ccupand tutt l spazi a essa antistante è a nrma? Lung la parete dell edifici di fianc alla scala si può cstruire una rampa dppia, cme in figura (ciascuna delle due rampe si può sviluppare, in rizzntale, per 60 cm). In quest md risulta a nrma? Di quant risulta inclinata? (SUGGERIMENTO In un triangl BC rettangl in B, si ha B = BC $ tg CB W.) Sia h l altezza cui arriva la rampa, l la lunghezza in rizzntale e a l angl frmat dalla rampa cn l rizzntale h (la lunghezza della rampa è perciò h + l ). Secnd la nrmativa deve essere # 8% ; nel triangl rettangl si ha h = l$ tg a, che sstituit nella relazine precedente dà tg a # 008,, da cui si ttiene a # 47, (cn a l psitiv). h 0 6 α B 0 D R C 60 Figura Sulla base della figura si ha B = 6 $ 6 = 96 cm, BC = BD + DC = $ = 40 cm. Nell iptesi di minr pendenza, in cui R / C, si ha: B tg a = - 0, " a - arctg 0, =. BC In tal cas, quindi, la rampa nn risulta a nrma. Sulla base della figura e dei dati nti si ha B = 96 cm, BT = MN = 60 cm, TBN V = MNX = a e deve essere NT + M = 96 cm vver: 96 ( 60 $ tg a) $ = 96 " tg a = " a - 4,. 00 Cpyright 0 Zanichelli editre S.p.., Blgna Quest file è una estensine nline dei crsi di matematica di Massim Bergamini, nna Trifne e Graziella Barzzi

2 In quest md la rampa risulta a nrma. M α N B α 60 T Figura Il gic del calci In una partita di calci amatriale, un gicatre clpisce il pallne imprimendgli una velcità v 0 a 47 rispett all rizzntale; dp secndi il pallne raggiunge l altezza di circa 4, metri. Scrivi la funzine che esprime la traiettria del pallne e qual è l altezza massima che può raggiungere. Se il pallne viene clpit cn una velcità iniziale di circa 7, m/s e dp s raggiunge l altezza di 4, m, qual è l angl che il vettre velcità iniziale frma cn l rizzntale? Se cn i dati precedenti il pallne finisce furi camp, di quant dvrebbe essere l angl impress alla palla da un gicatre pst a metà camp affinché il pallne ricada dentr il camp? (Lunghezza standard del camp = 0 m.) (SUGGERIMENTO In un triangl BC rettangl in B, si ha B = C $ sen CB W e BC = C $ cs CB W.) Dalla fisica sappiam che il mt, in quest cas parablic, si scmpne in due cmpnenti: mt rettiline unifrme lung l asse : v 0 sen 47 (t) = v 0 cs(47 ) $ t, v mt unifrmemente accelerat lung l asse y: 0 yt () = v0 sen( 47 ) $ t- gt. 47 Utilizzand l infrmazine che dp s il pallne raggiunge l altezza di 4, m si può ricavare la velcità iniziale v 0. Infatti sstituend nella secnda equazine si ha: v 0 cs 47 Figura 4, = v0$ 0,7 $ - 4,9 $ 9 " v0=,9 m/s. Per trvare la funzine che esprime il mt si ricava t dalla prima equazine (perché lineare e quindi più semplice) e si sstituisce l espressine trvata nella secnda equazine: t =,,9 $ cs( 47 y = tg( 47 ) $ - $ 9,8$ ) ; E.,9 $ cs( 47 ) Svlgend i calcli si ttiene la funzine y =,07 $ - 0,0 $ il cui grafic è una parabla cn cncavità rivlta vers il bass. L altezza massima si ha in crrispndenza del valre del vertice della parabla V -,, quindi il massim raggiunt è y V -,68 m. Indichiam cn a l angl che il vettre velcità iniziale frma cn l asse y. Si ha allra: yt () = 7,sena $ t- gt. Sstituend i dati nti si ha: 4, = 7, sen a$ - 4, 9 $ 9 " 4, + 44, sen a = - 0, 78 8, 6 " a = arcsen( 0, 78) Cpyright 0 Zanichelli editre S.p.., Blgna Quest file è una estensine nline dei crsi di matematica di Massim Bergamini, nna Trifne e Graziella Barzzi

3 Valutiam la gittata nel cas di angl iniziale a e velcità iniziale 7, m/s: t ( ) = 7, $ cs a $ t, yt () = 7,$ sena - gt, da cui: t = " y = tg a $ - $ 9,8 $ ; E. 7, $ cs a 7, $ cs a Pnend uguale a zer la quta y in quest ultima equazine si ttiene = 0 (punt di lanci) e $ ( 7, ) senacsa = - $ cs asen a (gittata espressa in funzine di a). 98, Se l angl di tir è a - 46 allra sen a - 0, 78 e cs a - 0, 70. Sstituend nell equazine della gittata si trvan = 0, che crrispnde al punt in cui il pallne viene lanciat, e = 76 m che è «furi camp» (infatti se la lunghezza standard del camp è circa 0 m, la metà è circa, m). Piché il pallne deve rimanere dentr al camp, tirand da metà camp, dvrà essere:, $ cs asen a #, " cs asen a # " $ cs asen a # 0,70 " " sen( a) # 070, " a # arcsen( 070, ) " a # 44 circa. Quindi a # circa. La galleria Un autcarr transita, sulla sua crsia di marcia, attravers una galleria di sezine semicirclare di raggi 6 m. Determina l area di ingmbr massima che l autcarr può avere (intesa cme l area della sezine trasversale del veicl). (SUGGERIMENTO Ricrda le frmule del triangl rettangl date nel prblema precedente.) Schematizziam la situazine cn la seguente figura. E D r O C B Figura 4 L area da calclare è rappresentata dalla superficie del rettangl OCDE (il veicl rimane su una sla crsia, quindi può ccupare sl la crsia di sua pertinenza). Esprimiam i lati della figura in funzine dell angl DOC W = : CD = r sen ; OC = r cs ; Cpyright 0 Zanichelli editre S.p.., Blgna Quest file è una estensine nline dei crsi di matematica di Massim Bergamini, nna Trifne e Graziella Barzzi

4 rea = CD $ OC = r sen $ r cs = r sen $ cs = r sen. r r Il valre di sen è massim quand sen = ciè = " =, dal quale si ricava: 4 CD = r sen = 6 $ - 44m, ; OC = r cs = 6 $ - 44m, ; rea = CD $ OC = ( 44, ) m - 798, m. L area massima della superficie della sezine del rimrchi crrispnde a una sezine quadrata di circa 8 m. 4 La pista di sci Nella prima parte di un percrs di slalm alcune bandierine sn psizinate lung la traiettria cme mstrat in figura. Suppnend che la curva in figura abbia equazine y = sen + cs - e che l sciatre si trvi in (0; ), determina: la psizine delle bandierine; l equazine della traiettria rettilinea da seguire per passare all estern della prima bandierina; le equazini delle pssibili traiettrie rettilinee per passare tra la prima e la secnda bandierina. O 4 sciatre bandierina bandierina 4 Per determinare la psizine delle bandierine bisgna rislvere l equazine: sen + cs - = 0. Rislviam l equazine applicand le frmule parametriche: t t 0 t = + + t 8t+ ( -t )- ( + t ) ( + t ) = 0 ( + ) t - 8t+ - = 0 4! t = = + t = - t = 4 - Cpyright 0 Zanichelli editre S.p.., Blgna Quest file è una estensine nline dei crsi di matematica di Massim Bergamini, nna Trifne e Graziella Barzzi 4

5 Sstituend i valri di t nella frmula parametrica del sen si ttiene: r = " = - 0, ( = 0) 6 t sen = = + t = " - 9, ( - 68) 4 Le crdinate delle due bandierine sarann quindi: B b r ; 0l, B 6 (,9; 0). Per determinare l equazine della traiettria rettilinea per passare all estern della prima bandierina scriviam l equazine della retta passante per i punti: (0; ), Bb r ; 0l 6 " y = r 6 Quindi l sciatre passerà all estern di B per tutte le traiettrie di equazine y = m + cn m -, vver r cn m - 9,. Determiniam l equazine della retta passante per e B : (0; ), B (,9; 0) " y = - 0,84 +. L sciatre passerà attravers le due bandierine se il cefficiente anglare della traiettria y = m + verifica la cndizine: -, 9 m - 0, 84. Cpyright 0 Zanichelli editre S.p.., Blgna Quest file è una estensine nline dei crsi di matematica di Massim Bergamini, nna Trifne e Graziella Barzzi