= CAPITOLO I SISTEMI DI NUMERAZIONE E CODICI

Transcript

1 CAPITOLO I SISTEMI DI NUMERAZIONE E CODICI 1.1) Sistema di numerazine decimale. E dett sistema di numerazine l insieme di un numer finit di simbli e delle regle che assegnan un e un sl valre numeric ad gni stringa frmata cn i simbli stessi. Tutti i mderni sistemi di numerazine sn psizinali; i simbli (detti anche cifre) vengn rdinati secnd valri via via crescenti di un'unita', ma il numer rappresentat da una stringa di tali simbli dipende anche dalla lr psizine reciprca. Le cifre del sistema numeric decimale sn i ben cnsciuti simbli 0,1,...,9 e il significat di ciascuna stringa e il valre numeric A n A n 1 A n 2... A n n 1 n 2 0 n.10 + An An A. 10 N = A + Usualmente per indicare numeri cn una parte frazinaria, inferire all'unita', si psizina nella stringa una virgla per separare i simbli relativi a ptenze di 10 di espnente maggire uguale a zer da quelli relativi a ptenze di 10 di espnente minre di zer. 1.2) Sistemi di numerazine a base qualsiasi. Nel sistema di numerazine psizinale decimale il numer 10 prende il nme di base numerica. Tuttavia quant dett per il sistema decimale e' facilmente estendibile a sistemi di numerazine psizinale in cui la base nn sia 10, ma un numer qualsiasi. In tal cas le cifre sn rappresentate da simbli diversi e vann da 0 a -1. Indicand cn a k la generica cifra in k-esima psizine in una stringa, il significat della stringa stessa e: n n n 1 n 1 N = A. + A A Anche il significat della virgla rimane immutat. Le basi numeriche piu' cmuni, ltre =10, sn =2, =8, =16. La base 2 e' la piu' piccla tericamente pssibile per un sistema di numerazine psizinale. Le sue cifre sn rappresentate cn i simbli 0 e 1; ciascuna cifra appartenente ad una stringa prende il nme di bit (binary digit). Il sistema a base 2 e' in sstanza il sl usat nei calclatri numerici. Infatti, a parte altre cnsiderazini che cmunque ne cnsiglierebber l'us, esistn numersi dispsitivi elettrnici in grad di rappresentare mediante due stati di funzinament le due cifre binarie. I sistemi di numerazine a base 8 e 16 hann cme cifre rispettivamente i simbli 0,1,2,3,4,5,6,7 e 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,,C,D,E,F. La lr diffusine e' giustificata dal fatt che la cnversine tra essi e il sistema binari e' particlarmente semplice e che permettn di esprimere un valre numeric in maniera mlt piu' cmpatta che nn il sistema binari. Onde evitare cnfusini, gni vlta che si usan sistemi di numerazine diversi, e' cnveniente indicare cn pprtuni pedici la base numerica. Ad esempi: = 55 10

2 1.3) Cnversine tra sistemi a base diversa. a) CONVERSIONE DI NUMERI INTERI. Il metd di cnversine piu' semplice e' quell che fa ricrs alla successiva divisine per la base numerica. Si abbia infatti il numer n n n 1 n 1 N = A. + A A Ad gni successiva divisine si ttiene un quziente e un rest e le divisini vann iterate fin ad ttenere un quziente null. La stringa dei resti, letta in rdine invers a quell in cui e' stata ttenuta, rappresenta la numerazine psizinale del numer N nella base. Infatti dalle divisini successive si ttiene: n n 1. Quziente Divisre Rest n 1 n 2 N = A. + A A. n 2 n 3 N = An. + An A2. A n. La ntazine psizinale e' quindi: 1 A A A n-1 0 A n An A n 1 A n 2...A Da quant dett risulta evidente che la cnversine tra una numerazine psizinale in base 2 e quelle in base 8 16, che sn a lr vlta ptenze di 2, e' particlarmente semplice. E' sufficiente infatti raggruppare i bit, a partire dalla cifra men significativa, in gruppi di tre quattr cifre e cnvertire ciascun grupp nella crrispndente cifra ttale esadecimale. Ad esempi si vglia cnvertire in base 2, 8 e 16 il numer decimale 157. Secnd la prcedura delle divisini successive si ttengn i risultati illustrati nella tabella che segue. ase 2 ase 8 ase 16 Quziente Rest Quziente Rest Quziente Rest D

3 157 = 10 = = D16 Cme dett, la cnversine a base 8 e a base 16 si pu' ttenere anche raggruppand pprtunamente le cifre binarie D Anche la cnversine inversa e' immediata e si ttiene utilizzand la stessa tecnica. b) CONVERSIONE DI FRAZIONI. La cnversine avviene per successive mltiplicazini per la base numerica. I valri degli interi ttenuti cstituiscn, nell'rdine, le cifre del numer nella base vluta; i sli valri frazinari vengn usati nelle successive mltiplicazini. Infatti: Parte intera Frazine Mltiplicatre n A A. 1 + n A 1 1 n+ 1 A A n A n Quale esempi si vglia cnvertire in binari il numer decimale 0,6375 Frazine Parte intera 0, = 1, , = 0, , = 1, , = 0, , = 0, , = 0, = 1, = 1,200 1 Limitandsi quindi a tale numer di cifre significative si ha: 0, = 0,

4 1.4) Metdi di cnversine da binari a decimale. I metdi di cnversine espsti al paragraf precedente sn di applicazine particlarmente semplice sl nel cas in cui si debba cnvertire un numer decimale in un'altra base numerica. E' infatti mlt facile eseguire le perazini descritte per la ntevle familiarita' che si ha di slit cn l'aritmetica decimale. Ci' nn e' altrettant ver nel cas di basi numeriche diverse. Particlarmente utile e' allra illustrare alcuni metdi di cnversine da sistema di numerazine binari a decimale. Il metd piu' vvi e' quell che prevede l'espansine del numer in ptenze di 2, applicabile a qualunque numer binari ,011 2 = = 26, Un metd piu' rapid, applicabile ai numeri interi e' il seguente: si raddppia il bit piu' significativ e vi si smma quell immediatamente seguente; si raddppia tale smma e vi si aggiunge il terz bit e csi' via fin ad esauriment dell'intera stringa ) Aritmetica binaria ) Addizine binaria. Le regle dell'addizine di due cifre binarie sn le seguenti: 1.5.2) Sttrazine binaria. Le regle della sttrazine di due cifre binarie sn: = = = = 10 2 cie' 0 cn riprt di un'unita' al rang immediatamente superire. 0-0 = = = = 1 cn riprt negativ di un'unita' al rang immediatamente superire. 4

5 La sttrazine binaria, cme del rest la sttrazine in qualsiasi sistema di rappresentazine numeric, pu' essere eseguita in md divers da quell appena illustrat qualra i numeri negativi vengan rappresentati in ntazine cmplementata ) Cmplement a e a -1. In generale il cmplement a di un numer N di n cifre e' dat da: C = n - N Si intende invece cmplement a - 1 la quantita' Ne risulta allra che: C -1 = n - N - 1 C = C Questa semplice prprieta' permette di ttenere il cmplement a 2 di un numer binari mlt facilmente. E' sufficiente infatti negare gni bit del numer di partenza e smmare al risultat 1. Si vglia da esempi cmplementare a 2 il numer Si ha: dp la negazine smma di un'unita' = Se cme rappresentazine dei numeri negativi si adtta la rappresentazine cmplementata, l'perazine di sttrazine pu' essere eseguita nel md che segue. Sia N 1 - N 2 la sttrazine da calclare e sian sia N 1 che N 2 maggiri di zer. Si sstituisca a - N 2 la sua rappresentazine cmplementata n - N 2 e si esegua la smma tra N 1 e tale cmplement. Si ttiene: R = N 1 + n N 2 = n + (N 1 - N 2 ) Si pssn verificare due casi: quell in cui N 1 N 2 sia maggire uguale a zer e quell in cui N 1 N 2 sia minre di zer. Si ricrdi inltre che ambedue i numeri sn minri di n. Nel prim cas si avra' R n e quindi il rang relativ a n sara' riempit da una cifra diversa dall zer, mentre gli altri ranghi, men significativi, cnterrann in ntazine psizinale il valre N 1 - N2. E' sufficiente pertant ignrare il rang della ptenza n-esima di per ttenere il risultat vlut. Nel secnd cas si ha R < n e quindi il rang relativ a n sara' riempit da un zer, mentre negli altri ranghi, men significativi, sara' cntenut il valre 5

6 n + (N 1 N 2 ) = n - (N 2 N 1 ) che e' prpri il cmplement a del numer (N 2 - N 1 ) 0 assunt cme rappresentativ del numer negativ - (N 2 - N 1 ) risultat dell'perazine di sttrazine. Si nti che nella rappresentazine dei numeri negativi mediante cmplement a l zer si intende appartenente al crp dei numeri psitivi e nn e' pssibile cmplementarl, mentre l'insieme dei numeri negativi cmprende un inter in piu' di quell dei numeri psitivi rappresentabili cn gli stessi bit 1. Ad esempi il massim numer psitiv rappresentabile cn quattr bit e', cnsiderand il quart bit quell di segn: = 7 10 mentre il piu' piccl numer negativ nella rappresentazine cmplement a 2 e': = Ess nn e' tuttavia cmplementabile per ttenerne il valre asslut in quant nn e' rappresentabile nel camp dei numeri psitivi cn il numer di bit a dispsizine. Il risultat di un'perazine di sttrazine realizzata tramite il cmplement e' esatt se nn si e' avut alcun riprt ne' nel bit di segn che al di furi della parla di memria ppure se si e' verificat in entrambi; e' errat se si e' avut un riprt sl. A titl di esempi si cnsideri una parla di memria di 5 bit. Il massim numer psitiv rappresentabile e' quindi nessun riprt 1 E' necessari a quest punt far ntare che nei calclatri elettrnici, che pur si avvalgn del cmplement per eseguire la sttrazine, le cse vann in maniera lievemente diversa. Infatti: 1.1) Tutti i numeri hann la stessa lunghezza di stringa, essend questa fissata dalla lunghezza in bit della parla di memria. 1.2) Il bit piu' significativ rappresenta il valre rispett al quale si cmplementa e pertant assume il significat di bit di segn, avend valre null per i numeri psitivi e valre 1 per i numeri negativi, rappresentati nella frma cmplement a )Il massim numer rappresentabile su n psizini nn e' dunque 2 n -1, ma 2 n-1-1, ed il risultat di un'perazine e' significativ se e sl se e' rappresentabile entr tale limite. 6

7 un riprt sl. Il risultat verrebbe interpretat cme un riprt sl. Il risultat verrebbe interpretat cme dppi riprt. Il risultat viene crrettamente interpretat cme ) Mltiplicazine binaria. Le regle della mltiplicazine binaria sn: 0. 0 = = = = 1 Nel cas di mltiplicazine di numeri di piu' cifre il md di prcedere e' del tutt simile a quell usat per la numerazine decimale ) Divisine binaria. Ha un interesse puramente teric in quant vengn eseguite di slit per sttrazini successive. Valgn cmunque le medesime regle della divisine decimale. 7

8 1.6) I cdici. Si definisce cdice un insieme [C] di parle adttat per rappresentare gli elementi di un insieme [C*]. E' ad esempi un cdice l'insieme delle parle di una lingua; simbli di quest cdice sn le lettere dell'alfabet, mentre parle di cdice sn le cmbinazini di lettere che hann significat. Quale cdificazine si intende l'perazine cn la quale ad una parla del cdice [C] viene fatt crrispndere un element dell'insieme [C*]. Un cdice e' nn ambigu se la crrispndenza tra le sue parle e gli elementi di [C*] e' univca; ambigu se almen una parla di [C] rappresenta due piu' elementi di [C*]. Affinche' un cdice a K simbli rappresenti in md nn ambigu N elementi di [C*], le sue parle devn avere una lunghezza minima. Se la parla e' lunga n, piche' cn K simbli diversi si pssn realizzare K n diverse cmbinazini, per avere un cdice nn ambigu deve essere rispettata la cndizine K n > N, cie' n dev'essere il piu' piccl inter che verifichi la relazine n lg k N Infine un cdice si dice efficiente se le sue parle hann lunghezza l = n, ridndante se l > n, ambigu se l < n. 1.7) Cdici efficienti. Alcuni cdici efficienti sn quelli usati per la rappresentazine di cifre decimali, in cui gni cifra viene cdificata indipendentemente dalle altre, mantenendsi tuttavia nell'ambit del sistema di numerazine psizinale decimale. Piche' per esprimere una cifra decimale sn necessari 4 bit, ma cntempraneamente cn 4 bit si pssn cstruire 16 cnfigurazini diverse, 6 di esse rimangn inutilizzate e prendn il nme di cnfigurazini nn significative. Fra i vari cdici efficienti si pssn citare: 1) CODICE CD. (INARY CODED DECIMAL) Le cifre 0-9 decimali sn cdificate secnd il sistema di numerazine binari. E' quest un cdice pnderat, cie' un di quei cdici in cui ad gni bit si pu' assciare un valre, psitiv negativ, che permette di ricstruire il valre numeric rappresentat da ciascuna cnfigurazine cme smma dei pesi dei bit psti a 1. Per tale mtiv il cdice CD e' dett mlt spess anche cdice ) CODICE ECCESSO TRE In ess la cdificazine della cifra K (cmpresa tra 0 e 9) si fa esprimend nel sistema di numerazine binari il numer K + 3. Nn e' un cdice pnderat, ma e' autcmplementante. Ci' sta ad indicare che ciascuna cifra pu' essere cmplementata a 9 semplicemente negand i singli bit

9 3) CODICE AIKEN O CODICE 2421 E' un cdice autcmplementante e pnderat cn pesi ) I cdici ridndanti. Cme gia' dett, i cdici ridndanti usan per la cdificazine degli N elementi dell'insieme [C*] un numer m di bit superire a quell n strettamente necessari. La ridndanza csi' ttenuta permette di mettere in evidenza ed eventualmente crreggere gli errri di trasmissine di un messaggi. La ridndanza si ttiene aggiungend, secnd una determinata legge, agli n bit, necessari a cdificare senza ambiguita' il messaggi, k bit di cntrll. Il messaggi effettivamente trasmess cntiene allra m = n + k bit. Viene chiamat ridndanza il rapprt R = m/n = = 1 + k/n. Delle 2 m cnfigurazini diverse che si pssn realizzare cn m bit, sl 2 n sn al piu' significative, cie' parle di cdice. Le rimanenti 2 m - 2 n = 2 n.(2 k - 1) vengn dette cnfigurazini nn significative. Un errre di trasmissine viene rivelat quand trasfrma una parla di cdice in una cnfigurazine nn significativa; la prbabilita' di rivelare un errre e' quindi tant maggire quant maggire e' la ridndanza. E' pprtun a quest punt definire alcune quantita'. 1) Si dice pes il numer di bit nn nulli presenti in una certa cnfigurazine, sia essa significativa men. Ad esempi la cnfigurazine ha pes 5. 2) Distanza tra due cnfigurazini C 1 e C 2 dell stess cdice e' il numer di psizini in cui i bit di C 1 e C 2 differiscn. Ad esempi le due cnfigurazini e hann distanza 2. 3) Mlteplicita' di un errre e' la distanza tra una cnfigurazine C t trasmessa e quella C r nn significativa ricevuta. Si parla quindi di errri singli, dppi, tripli, ecc. 4) Distanza minima di Hamming (h) e' la minima distanza fra tutte le pssibili cppie di parle di un cdice. Ora gli errri sicuramente ricnscibili sn quelli che trasfrman una parla P in una cnfigurazine nn significativa C p, ma nn quelli che la trasfrman in una parla P'; sicuramente individuabili sarann pertant gli errri di mlteplicita' inferire a h. I cdici cn h>1 sn detti rivelatri di errri. Se h e' abbastanza grande e se si suppne che C p prvenga dalla parla P che si 9

10 trva alla minr distanza, allra pu' venir effettuata la crrezine dell'errre. I cdici csi' funzinanti sn detti autcrrettri ) Prbabilita' ttale di errre nn rivelat. Sia assegnata la prbabilita' p, dipendente dalle caratteristiche fisiche del canale trasmissiv, che in ricezine un bit venga interpretat in md errat. Suppst che gli errri sian tutti indipendenti tra lr, la prbabilita' che r bit di una parla sian ricevuti in maniera errata mentre i rimanenti m - r sian crretti, cie' la prbabilita' che una parla P si trasfrmi in una cnfigurazine C r a distanza r da P, e': P r m r ( 1 p). r = p. m r L'errre viene ricnsciut sl se C r e' una cnfigurazine nn significativa; quindi se a distanza r da P si hann N r parle del cdice, la prbabilita' di avere un errre nn rivelat di mlteplicita' r e': avend indicat cn P sr il rapprt P m r ( ) ( m 1 p ) r tr = Psr.p.. r P sr N = r mr tra le parle che distan r da P e tutte le cnfigurazini che distan r da P. Ne segue che la prbabilita' ttale di errre nn rivelat e': P ( 1 p) m r m r t = N h rp.. Ora di slit p e' mlt minre dell'unita' e quindi la relazine precedente pu' essere apprssimata cn P h = N h.p h 1.8.2) Cdice a cntrll di parita'. Il cdice a cntrll di parita' si ttiene aggiungend agli n bit di un cdice efficiente un bit di cntrll che renda pari ( dispari) il pes di ciascuna parla. Evidentemente un cdice a cntrll di parita' ha una distanza minima di Hamming h=2 ed e' in grad di rivelare tutti gli errri di mlteplicita' dispari. A titl di esempi si suppnga di avere a che fare cn un cdice di parita' da 7 bit. La ridndanza e': R = 7/6 = 1,16 10

11 ed esistn nel cdice 64 parle ed altrettante cnfigurazini nn significative. Il numer di cnfigurazini che distan 2 da ciascuna parla di cdice e' dat dalle cmbinazini di 2 elementi su 7; tutte queste cnfigurazini sn evidentemente significative e pertant parle di cdice. Ne segue che N h = 21. Suppnend che il tass di errre di bit sia p = 0,01, crrispndente ad una linea ntevlmente disturbata, si ttiene: P t = N h.p h = 0, = 0,21 % 1.8.3) Cdici a pes cstante. Cme dice il lr nme, sn cdici a pes cstante quelli in cui tutte le parle hann l stess pes e per i quali quindi si ha h=2. Indicand cn w il pes e cn m la lunghezza della parla, il cdice avra' m w parle, mentre le rimanenti 2m - m w cnfigurazini sarann nn significative. Il numer di parle a distanza 2 da gni parla di cdice e': N 2 = w.(m - w) In gni parla infatti esistn w bit di valre 1 e (m-w) bit di valre 0. Ci sn pertant w.(m - w) mdi di scambiare un 1 cn un 0 senza alterare il pes. Si ha quindi che: P t = w.(m - w).p 2 Fra i cdici di quest tip particlarmente nti sn due cdici decimali; il cdice 2 da 5 e il biquinari. Il prim e' un cdice a 5 bit cn parle di pes 2 La ridndanza e': R = 5/4 = 1,25 La prbabilita' di errre nn rivelat, sempre cn p = 0,01 e': P t = 2.(5-2).p 2 = 0,06 % Il cdice biquinari e' invece un cdice ad elevata ridndanza cn m=7 e w=2. Sui 7 bit di gni parla vengn effettuati due cntrlli per verificare che le prime due e le ultime cinque psizini abbian ambedue pes 1. 11

12 La ridndanza e': Sistemi di numerazine e cdici R = 7/4 = 1,75 mentre la prbabilita' ttale di errre nn rivelat e', cn p = 0,01 P t = = 0,05 % Infatti nel cas del cdice biquinari N h = 5 e nn 10, cme e' immediat verificare ) Cdici di hamming. I cdici di Hamming sn cdici cn h = 3 h = 4 usati cme rivelatri d'errre cme autcrrettri. I cdici cn h=3 sn in grad di rivelare errri semplici e dppi, se usati cme rivelatri di errre, di crreggere errri singli, interpretand gni cnfigurazine nn significativa cme riginata da quella significativa piu' vicina. In tal cas tuttavia il cdice nn e' in grad di rivelare gli errri dppi. I cdici cn h = 4 individuan gli errri semplici, dppi e tripli quand usati cme rivelatri di errre. Se usati cme autcrrettri, crreggn gli errri singli e individuan quelli dppi. In generale, se r e' la mlteplicita' massima degli errri rilevabili e c quella dei crreggibili, si ha: r = h-1 h c < 2 c + r < h per i cdici rivelatri di errri per i cdici autcrrerttri Il cdice di Hamming cn h=3 si ttiene aggiungend agli n bit di un cdice efficiente k bit di cntrll gnun dei quali sia destinat al cntrll di parita' di un grupp pprtun degli m = n + k bit risultanti. Piu' esattamente l'i-esim bit di cntrll va situat nella psizine 2 i-1 della parla e cntrlla la parita' di gruppi alternati di 2 i-1 bit a cminciare dalla psizine 2 i-1. Il prim bit di cntrll va quindi nella prima psizine e cntrlla la parita' dei bit 1,3,5,7,9,...; il secnd bit di cntrll va in psizine 2 e cntrlla la parita' dei bit (2,3),(6,7),(10,11),...; il terz bit va nella quarta psizine e cntrlla la parita' dei bit (4,5,6,7), (12,13,14,15), e csi' via. In ricezine si verifica la parita' di ciascun grupp e per gni verifica esatta si scrive un 0, per gni verifica errata un 1. La stringa csi' ttenuta, letta in sens invers, frma il csidett numer di cntrll N c, che e' null nel cas in cui nn vi sian errri. In cas 12

13 cntrari gnun dei 2 k -1 pssibili valri di N c indica in quale delle m psizini si e' verificat un errre di mlteplicita' 1. Si suppnga infatti di aver cdificat cn il cdice di Hamming h=3 un cdice efficiente da 4 bit. Si avrann pertant 3 bit di verifica di parita', k 1, k 2 e k 3. Le tre verifiche di parita' eseguite in ricezine dann il seguente risultat: k 3 Parita' dei bit k 2 Parita' dei bit k 1 Parita' dei bit bit errat Per il crrett funzinament del cdice di Hamming dev'essere quindi: m 2 k - 1 Si dicn ttimi quei cdici per cui la relazine appena scritta e' verificata cn l'uguaglianza. Si suppnga di vler cdificare 16 simbli. Si ha pertant: n = 4 k lg 2 (m + 1) = 3 m = = 7 La cmpsizine della parla, indicand cn k i bit di cntrll e cn b i bit del cdice efficiente di partenza, sara' quindi: k 1 k 2 b 1 k 3 b 2 b 3 b 4 Il messaggi dara' lug alla parla di cdice: Si suppnga che la parla ricevuta sia invece: I primi due cntrlli di parita' (sui bit 1,3,5,7 e (2,3) e (6,7) rispettivamente) dann risultat errat, mentre il terz cntrll (sui bit 4,5,6,7) e' esatt. Il numer di cntrll e' quindi: N c = crrispndente alla psizine del bit errat. La ridndanza del cdice e' R = 7/4 = 1,75 13

14 Per quant riguarda la prbabilita' di errre nn rivelat, anche ammettend che tutte le cnfigurazini a distanza 3 da una parla del cdice sian esse stesse parle del cdice, si ha cn p = 0,01: P t 15.0,01 3 = 0,0015 % I cdici di Hamming cn h=4 si ttengn da quelli cn h=3 aggiungend in ultima psizine un ulterire bit di cntrll che verifichi la parita' di tutti i bit che l precedn. La verifica di un messaggi si fa cntrlland tutti i bit di parita'. Se i primi (k - 1) cntrlli nn sn tutti esatti mentre l'ultim l e' allra si e' in presenza di un errre dppi nn crreggibile. Suppnend di aver ttenut dal cdice h=3 appena illustrat quell h=4, si ha: R = 8/4 = 2 P t 15.p 4 = 1, ) Cdici riflessi. La caratteristica principale dei cdici riflessi, detti anche cdici ciclici, e' che gni cnfigurazine significativa differisce dalla precedente e dalla seguente per un sl bit. Sn largamente usati nei cnvertitri analgic-digitali, mentre nn vengn usati in trasmissine, essend h=1, ne' nei calclatri nn essend pnderati. Un cdice ciclic si dice cmplet in n variabili se cntiene in sequenza ciclica tutte le 2 n cmbinazini delle variabili, incmplet in cas cntrari. Un dei piu' diffusi cdici riflessi e' quell di Gray. Dal cdice G n di Gray a n bit si pu' ricavare quell G n+1 a n+1 bit cn il seguente prcediment: 1) Al numer decimale 2 n + k si assegna la stessa cnfigurazine di bit del numer 2 n - (k + 1) per k = 0,1,2,...,2 n-1. n = 1 n = 2 n = 3 n =

15 2) Si premette a tutti i numeri < 2 n un 0 e a tutti quelli 2 n un 1. In pratica basta eseguire un specularita' del cdice a n bit, cme illustrat nell schema sprastante, e premettere le cifre 0 e 1 alle due immagini csi' ttenute. Esistn delle semplici regle di cnversine di un parla P G del cdice Gray alla parla P crrispndente in numerazine psizinale binaria e viceversa. Nel prim cas: 1) Si prcede da sinistra vers destra: fin al prim bit 1 di P G, P = P G. Successivamente:. 2) Quand l'i-esim bit di P G = 0, l'i-esim bit di P e' uguale a quell (i-1)-esim di P 3) Quand l'i-esim bit di P G = 1, l'i-esim bit di P e' la negazine di quell (i-1)- esim di P. Le regle per la cnversine inversa da binari a cdice Gray sn altrettant semplici: 1) Si prcede da sinistra vers destra cnfrntand l'i-esim bit di P cn l'(i-1)- esim. Se i due bit sn uguali, l'i-esim bit di P G e' 0; se sn diversi e' 1. 2) Il prim bit si cnfrnta cn 0. In fig sn riprtati gli esempi sia della cnversine da Gray a binari che da binari a Gray. P P G = = = P G P figura