( ) ( ) d x = ω. dsenθ dθ. d 2 senθ dθ 2. = d dθ. = sen θ. = d cosθ dθ. d 2 cosθ dθ. dcosθ dθ. = cosθ dθ. = d( senθ) = d sen θ dθ

Transcript

1 Mt armnic Cnsideriam ra il cas in cui l'accelerazine dipenda dalla psizine del punt materiale, in particlare esaminerem il cas in cui l'accelerazine è prprzinale all'ppst della psizine attravers la cstante ω p. Ciè: d x = ω dt La cstante ω p si chiama pulsazine anglare e le sue unità di misura sn s -1. Questa è l'equazine differenziale del mt armnic. Cme appare dall'espressine precedente l'accelerazine è nulla nell'rigine del sistema di riferiment, x=0, è negativa per x>0 per cui tende a far diminuire la velcità del punt materiale quand si muve nel vers psitiv fissat sull'asse x, e far crescere il mdul della velcità quand il punt materiale si muve nel vers negativ fissat sull'asse x. Parimenti l'accelerazine è psitiva per x<0 e quindi tende a far aumentare la velcità del punt materiale che si muve nel vers psitiv fissat sull'asse x, e far diminuire il valre asslut della velcità se il punt materiale si muve nel vers negativ fissat sull'asse x. L'equazine differenziale precedente è un p' più cmplicata di quelle incntrate finra, pertant anziché intrdurre in quest mment i metdi analitici per la determinazine della sua sluzine, partirem cl ricrdare che in analisi si dimstra che l'integrale generale di una tale equazine differenziale, che è del secnd rdine, cnterrà due cstanti arbitrarie (ci sarann infinit alla sluzini dell'equazine differenziale), mentre esisterà una ed una sla sluzine dell'equazine differenziale che sddisfa anche il prblema delle cndizini iniziali (pertant se ni riusciam a trvare, in qualunque md, una sluzine dell'equazine differenziale che sddisfi anche il prblema delle cndizini iniziali, questa è la sluzine cercata). Per ricercare una pssibile sluzine dell'equazine differenziale precedente ricrdiam anche che la derivata secnda della funzine senθ, anche csθ, è ppsta alla funzine stessa. Infatti: p x d senθ = d dsenθ ( ) = d csθ = sen θ d csθ = d dcsθ ( ) = d sen θ = d( senθ) = csθ Si può dunque pensare di pter cstruire la sluzine dell'equazine differenziale del mt armnic utilizzand le funzini sen e csen. Ricrdiam che la sluzine che stiam cercand è la legge raria, ciè una funzine del temp, x(t). Il temp deve perciò cmparire cme argment della funzine sen csen. Occrre però fare attenzine: mentre sappiam calclare il sen il csen di un angl, nn sappiam invece calclare il sen, il csen, di un temp. Pssiam pensare di far cmparire il temp cme argment del sen, del csen, dp averl mltiplicat per una cstante ω, in maniera che il prdtt di ω per il temp, ωt, dia prpri un angl. Perché quest accada ccrre che le dimensini di ω sian radianti al secnd (rad/s). Il radiante, da parte sua, nn è una vera e prpria unità di misura, ma piuttst rappresenta un numer pur. Le unità di misura di ω sn dunque s -1. Se dunque si cnsideran le funzini

2 x = a senωt x = b csωt in cui a e b sn delle cstanti le cui dimensini sn quelle di una lunghezza ([a]=[b]=[l]), esse sn sluzini dell'equazine differenziale del mt armnic se ω=ω p. Infatti: d ( a senωt) d d( a senωt) d = = ( aω csωt) = ω ( a senωt) dt dt dt dt d ( b csωt) d d( b csωt) d = = ( bω sen ωt) = ω ( b csωt) dt dt dt dt Abbiam csì ttenut due sluzini indipendenti (infatti le due sluzini nn pssn essere ttenute l'una dall'altra mltiplicandla per un fattre). Si può dunque pensare di ttenere l'integrale generale cme cmbinazine lineare delle due sluzini: x = a sen ωt + b csωt in cui i parametri a e b sn le due cstanti arbitrarie che vann determinate in base alle cndizini iniziali. La sluzine precedente si può scrivere anche in md divers. Suppniam di aver fissat i parametri a e b che cmpain nell'espressine precedente: è sempre pssibile determinare due nuvi parametri A (cstante psitiva) e ϕ tali che: Infatti quadrand e smmand si ttiene a = A sen ϕ b = A csϕ ( ) a + b = A sen ϕ + A cs ϕ = A sen ϕ + cs ϕ = A e dividend la prima per la secnda si ttiene: Basterà infatti prendere a = tanϕ b A = a + b ϕ = ar ctang Cn questi nuvi parametri l'integrale generale x = Asen ϕ sen ωt + Acsϕ csωt Che ricrdand che cs( α + β) = csα csβ sen α senβ si può scrivere nella frma: ( ϕ ) x = A cs ωt + a b

3 che rappresenta l'integrale generale dell'equazine differenziale del mt armnic. La cstante psitiva A si chiama ampiezza del mt armnic. Ricrdand infatti che la funzine csen può assumere valri tra -1 e 1, allra si vede che la psizine del punt materiale sull'asse x può assumere i valri tra -A e A. La traiettria cincide cn il segment, sull'asse x, di estremi [-A,A.]. L'argment del csen, ωt+ϕ che è un angl, si chiama fase; ϕ, invece, sarà la fase iniziale, il valre della fase all'istante t = 0 s. La cstante ω si chiama pulsazine anglare. Dall'integrale generale pssiam immediatamente ricavare l'espressine della velcità: dx vx = = Aω sen( ωt + ϕ ) dt Anche la velcità è limitata e può assumere valri tra -Aω e Aω. Verifichiam innanzitutt che il mt armnic è un mt peridic. Si può vedere infatti che il punt materiale ripassa per la stessa psizine cn la stessa velcità gni T secndi. T viene chiamat perid del mt armnic. x( t + T) = x( t) v ( t + T) = v ( t) x x A cs( ω( t + T) + ϕ ) = A cs( ωt + ϕ ) Aω sen( ω( t + T) + ϕ ) = Aω sen( ωt + ϕ ) Le due eguaglianze precedenti risultan vere cntempraneamente se le fasi a prim e secnd membr differiscn al minim di π. Ciè: Da cui si ttiene: [ ω( t + T) + ϕ ] [ ωt + ϕ ] = π ωt = π T = π ω che ci frnisce la relazine tra il perid e le pulsazine anglare del mt armnic. Trnand al termine fase, cn cui abbiam chiamat l'argment della funzine csen, pssiam sservare che tale termine si usa anche nel linguaggi cmune per indicare un particlare stat di un sistema sggett a un fenmen ciclic. Particlarmente nte sn le fasi lunari. Le espressini "luna nuva", "prim quart", "luna piena" e "ultim quart" ci permettn di specificare in quale parte del cicl lunare ci trviam. All stess md la fase, in un mt armnic, ci permette di stabilire in quale parte del cicl si trva il punt materiale. Csì se la fase è uguale a 0, il punt materiale si trva nel punt estrem della traiettria sul semiasse psitiv, x=a. La velcità in quest cas è nulla. Se la fase è uguale a 90 (π/), la psizine del punt materiale cincide cn l'rigine del sistema di riferiment, mentre la velcità è -ωa. Il punt materiale passa per l'rigine mentre si muve nel vers negativ dell'asse x. Se la fase è 180 (π), il punt materiale si trva all'estrem della traiettria sul semiasse negativ, x=-a. La velcità è anche in quest cas nulla. Quand la fase invece è uguale a 70 (3π/) il punt materiale si trva ancra nell'rigine del sistema di riferiment ma questa vlta si muve nel vers psitiv fissat sull'asse x.

4 Ritrnand all'integrale generale ( ϕ ) x = A cs ωt + pssiam identificare le cstanti A e ϕ cn le due cstanti che vann determnate in base alle cndizini iniziali; Suppniam infatti che all'istante iniziale t=0 s la psizine iniziale sia x mentre la velcità iniziale sia v x. Allra le cstanti A e ϕ che permettn di rislvere il prblema delle cndizini iniziali si pssn ttenere nel seguente md: x = Acsωt +ϕ ( ) t=0 x =Acsϕ ( ) ( ) t=0 v x = ωasenϕ ( ) v x = ωasen ωt +ϕ Se si divide la secnda equazine per ω, quadrand e smmand si ttiene: A cs ( ϕ ) + A sen ϕ ( ) = x + v x Mentre dividend la secnda per la prima si ttiene: ω A = x + v x ω tan ϕ v = ωx x Suppniam di far partire il punt materiale dalla psizine iniziale x cn velcità nulla. Le espressini precedenti ci frniscn: A = x tan ϕ = 0 Da cui risulta che A = x e ϕ =0. In alternativa si può usare il seguente prcediment: partend dall'espressine della velcità si ttiene: v x = ωasenϕ ( )=0 sen( ϕ ) = 0 ϕ = 0,π Il fatt che l'ampiezza del mt armnic debba essere psitiva ci cstringe a scegliere la sluzine ϕ =0, csì il valre dell'ampiezza del mt armnic è prpri uguale alla psizine iniziale x. x = Acsϕ ( ) ϕ = 0 A= x La legge raria, cn queste cndizini iniziali, diventa: x = A cs( ωt) e la velcità in funzine del temp sarà data da:

5 v x = ω A sen ( ω t) 0,15 0,1 0,05 x(t) (m) T/ T t (s) 0 0 T/4 3T/ ,05-0,1-0,15. 0, 0,15 0,1 v(t) (m/s) 0,05 T/ T t (s) 0 0 T/4 3T/ ,05-0,1-0,15-0, 0,3 0, 0,1 a(t) (m/s) T/ T 0 0 T/4 3T/ t (s) 10-0,1-0, -0,3

6 Al temp t=0, la fase è ωt=0, la psizine è x=a, la velcità è 0, mentre l'accelerazine è negativa e pari a -ω Α. Prpri a causa dell'accelerazine nn nulla il punt materiale si mette in mt nella direzine negativa dell'asse delle x, la velcità è inizialmente negativa e il su mdul va aumentand fin a che l'accelerazine rimane negativa e ciè fin all'istante T/4. All'istante T/4 la fase è π/ (ωτ/4 = (π/τ)τ/4 = π/), la psizine è x=0, la velcità è sempre negativa, il su mdul è massim. Dp T/4 l'accelerazine cambia segn, diventa psitiva, e quindi tende a far diminuire il mdul della velcità fin a ridurla a zer, quest accade al temp T/ quand la psizine è -A, la fase è π, la velcità nulla, l'accelerazine è psitiva e massima. A quest punt il punt materiale cmincia a muversi nella direzine psitiva dell'asse delle x, e la sua velcità cntinua ad aumentare fin a quand l'accelerazine rimane psitiva, ciè fin la temp 3T/4. A temp t=3t/4, la fase è 3π/, il punt materiale si trva nell'rigine del sistema di riferiment x=0, muvendsi nel vers psitiv dell'asse x cn il valre massim della velcità. Dp l'istante 3T/4, l'accelerazine diventa negativa, la velcità viene ridtta fin a diventare nulla all'istante T, quand il punt materiale si ritrva al punt di partenza ed il cicl riparte.