a) usando la formula (x-x C ) 2 +(y-y C ) 2 +(z-z C ) 2 =r 2 Esercizi vari - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno Accademico

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1 Esercizi di riepilg Esercizi In E 3 (R) si determinin: [(a)] una rappresentazine cartesiana della sfera di centr C=(,,) e raggi R=5; [(b)] una rappresentazine cartesiana della retta passante per C e rtgnale al pian crdinat xz. [(c)] le crdinate dei punti A e B della retta s che appartengn alla sfera S, essend A il punt di crdinate psitive. [(d)] una rappresentazine cartesiana della circnferenza C ttenuta sezinand S cn il pian γ passante per il punt medi del segment AC e rtgnale alla retta s; [(e)] centr C e raggi r di C. a) usand la frmula (x-x C ) +(y-y C ) +(z-z C ) =r Esercizi vari - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann Accademic 9-

2 (x-) +(y-) + (z-) =5 b) Pian xz ha equazine y= i parametri direttri di una retta rtgnale sn [(,,)] passante per C=(,,): x-=z-=. c) Rislvend il sistema che rappresenta l intersezine tra sfera e retta si ttiene (y-) =5 da cui y-=±5; cn y=7 si ttiene A=(,7,), cn y=-3 si ttiene B=(,-3,). d) Il punt medi M AC =(,9/,); il pian σ è parallel al pian crdinat xz e passa per M AC : y-9/=. Allra la circnferenza ha equazini: x +y + z x - y-z-9 = y - 9/ = e) La retta rtgnale a γ passante per C è s; intersecandla cn il pian σ : C =(, 9/,)=M AC. Per trvare il raggi applic il terema di Pitagra Esercizi vari - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann Accademic 9-

3 sapend che la distanza centr della sfera-pian γ è =. 5/ : r= Esercizi Si cnsiderin le rette in E 3 (R): xz= xz= r: s: y= y( ) z= [(a)] si dica per quali valri del parametr reale le rette r e s risultan sghembe, parallele incidenti. [(b)] Nel cas parallele si determin la classe dei parametri direttri e un equazine cartesiana del pian che le cntiene entrambe. [(c)] Nel cas incidenti si determinin le crdinate del punt cmune e un equazine cartesiana del pian che le cntiene. a) Studiand il rang partend dal determinante di Esercizi vari - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann Accademic 9-3

4 Esercizi vari - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann Accademic 9- ) )( (3 ) (3 ) ( + = = = = + = + deduciam che r e s sn sghembe per e -/3; per = le matrici hann rang e 3: rette parallele distinte; per = - /3 le matrici 8/3 / / 3 / 3 8/ 3 / 3 / 3 hann entrambe rang 3: rette incidenti. b) È facile individuare i parametri direttri di r [(,,)]. Nel fasci di piani di asse r impng il passaggi per O=(,,) s: x+y-z=

5 c) Rislvend il sistema (un s.p.e., per esempi II,III e IV eq) si ttiene x=-/, y=-, z=3/8 da cui: P=(-/,-,3/8). Di nuv nel fasci di piani di asse r impng il passaggi per O=(,,) s: x+y+6z=. Esercizi 3 Si cnsiderin le rette in E 3 (R): r : y+ z= x3z= s: y= 5x+ z6= [(a)] Si indichi la mutua psizine di queste rette: [(b)] Si determini un equazine cartesiana del pian cntenente la retta r parallela a s: [(c)] Si determini un equazine cartesiana del pian passante per Q= (,,) e parallel ad r e s: [(d)] Si determini la retta di minima distanza: a) Il rang di Esercizi vari - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann Accademic 9-5

6 3 5 6 è : rette sghembe. b) I parametri direttri di s sn [(,,-5)]; nel fasci di piani di asse r α(y+z-)+β(x-3z-)=, (α,β) (,) R impng il parallelism cn s: -α+7β= α=7β/ da cui: x+7y+z-= c) Il pian parallel a r e s (rette sghembe) appartiene al fasci di piani paralleli al precedente x+7y+z+=; impnend il passaggi per Q:x +7y+z-3= d) la retta di minima distanza è perpendiclare ai piani paralleli che cntengn r e s: ha parametri direttri [(,7,)]. Nel fasci di piani di asse r: Esercizi vari - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann Accademic 9-6

7 α(y+z-)+β(x-3z-)=, (α,β) (,) R impng il parallelism cn la direzine [(,7,)] ttenend 5α+8β= α= - 8β/5 da cui si ttiene 5x-8y-3z+3= Analgamente nel fasci di asse s α(y-)+β(5x+z-6)=, (α,β) (,) R impng il parallelism cn la direzine [(,7,)] ttenend 7α+β= α= - β/7 da cui si ttiene 85x-y+7z+=. Allra la retta di minima distanza ha equazine: 5x-8y-3z+3=85x-y+7z+= Esercizi [(a)] Si determini in E 3 (R) l equazine del pian passante per i tre punti O=(,,), A=(,,) e B=(,,); [(b)] una rappresentazine cartesiana della circnferenza C passante per i tre punti O, A e B; Esercizi vari - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann Accademic 9-7

8 [(c)] le crdinate del centr e la misura del raggi della circnferenza C; [(d)] Si determini una rappresentazine cartesiana della retta tangente alla circnferenza C in O (sul pian della circnferenza). a) Cn la frmula x - x det xax xbx y y y- y A B y y z z z-z A B z z = x y z uguagliata a zer σ: x+y-z=. b) Il centr della circnferenza deve essere equidistante da O, da A e da B, dunque appartiene ai piani assiali di OA e OB: α OA : x+y+z-3= α OB : y+z - =. Il centr della circnferenza è il punt σ α OA α OB : C =(-,3,); il raggi è la distanza r=c O=. Dp aver cstruit la sfera di centr C e raggi r, si ttiene Esercizi vari - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann Accademic 9-8

9 (x+) +(y-3) +(z-) -= x+y-z= c) Per cstruzine cincidn cn il centr e il raggi della sfera: C=(-,3,) r=. d) La direzine di CO è data [(x O -x C,y O -y C,z O -z C )]=[(,-3,-)]; dunque il pian tangente alla sfera appartiene al fasci di piani x-3y-z+=. Dvend essere tangente in O=(,,) si ttiene =. La retta tangente alla circnferenza è l intersezine tra il pian della circnferenza e il pian tangente alla sfera: x+y-z=x-3y-z=. Esercizi 5 Date in E 3 (R) le rette r: x+y=x-3z=, s: x+y-3z+3=x-z+= e il punt P=(,,3): [(a)] si determini l equazine cartesiana del pian per P rtgnale a r; Esercizi vari - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann Accademic 9-9

10 [(b)] Si determini l equazine parametrica della retta parallela a s passante per P. [(c)] Si determinin le equazini cartesiane del lug dei punti descritt dalla rtazine di P attrn a r. [(d)] si determini l equazine del pian cntenente r e il punt S=(-,,) a) I parametri direttri di r sn [(3,-6,)]; i piani rtgnali a r appartengn al fasci di equazine 3x- 6y+z+=. Il pian passante per P (=): 3x-6y+z=. b) I parametri direttri della retta s sn [(,5,)]. La retta per P parallela a s: x= + λ y= + 5λ z= 3+ λ λ R c) Il pian rtgnale a r passante per P ha equazine 3x-6y+z=. La rtazine avviene su tale pian. La circnferenza descritta ha centr nel punt d intersezine di quest pian cn r: O=(,,). Il Esercizi vari - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann Accademic 9-

11 raggi è la distanza OP=. Dp aver cstruit la sfera di centr O e raggi OP, la circnferenza è: x γ : + y + z = 3x 6y+ z= d) Nel fasci di piani di asse r α(x+y)+β(x-3z)=, (α,β) (,) R impniam il passaggi per S: si ttiene β=; allra il pian è x+y=. Esercizi 6 Data la cnica di equazine in E ~ (C) C: x + xy + y - x y =. [(a)] ricnscerla mediante la classificazine affine; [(b)] determinare il centr in crdinate mgenee; [(c)] per quale valre di reale la retta x+y-= è diametr; [(d)] determinare la retta tangente in O=(,) alla cnica. Esercizi vari - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann Accademic 9-

12 Esercizi vari - Esercitazini di Algebra e Gemetria - Ann Accademic 9- a) = A deta=- e deta*= cnica prpria, parabla. b) i diametri plari di X e Y sn x+y-= e x+y- =: si intersecan nel punt imprpri [(,-,)]. c) La retta è diametr se passa per il centr, ciè se è parallela a x+y-=: =. d) Calcland la plare di O=[(,,)], punt della cnica, si ttiene la retta tangente di equazine ) ( = y x -x-y= ciè y+x=.