Soluzione Es.1- In generale, le equazioni orarie del moto lungo l'asse orizzontale x e quello verticale y si possono scrivere come: (1a) (1b) (1c)

Transcript

1

2

3 Sluzine Es.1- In generale, le equazini rarie del mt lung l'asse rizzntale x e quell verticale si pssn scrivere cme: ( t) h + v (csα) t gt / h + v t / gt / (1a) v ( t) v csα gt v / gt (1b) x( t) v (sinα ) t v t / (1c) v x ( t) v (sinα) v / (1d) La cndizine che ad un istante t 1 la palla clpisca il bersagli si scrive impnend nelle espressini precedenti le cndizini x(t 1 ) l e (t 1 ) H. Il sistema csì ttenut permette di trvare il temp t 1 l / (v sin α) in cui la palla clpisce il bersagli e il mdul della velcità iniziale: gl 1 gl v () sin α l / tanα H + h l H + h 1. - il csen dell'angl si ttiene utilizzand la relazine: gl 1 v g v v csθ (3) v g vx + v gl v Sluzine Es..1 - La velcità anglare ω (t ) al temp t t 1 è pari a ω (t 1 ) dα /dt 3 A t 1 + B t 1 + C. Il mdul dell'accelerazine centripeta è ω (t 1 ) R e, dunque: a c R (3 A t 1 + B t 1 + C) (1). - L'accelerazine tangenziale al temp t t è, invece, a t ω& R R(6At + B) () Sluzine Es Le equazini del mt del crp sui due assi x e z sn: m a x - γ v x (1) m a z - γ v z + m g () Dp un temp sufficientemente lung ( t >> m/γ), il mt raggiunge la cndizine asinttica per cui v è cstante e l'accelerazine a è nulla. Dalle equazini precedenti ricaviam, perciò: v x 0 e v z m g /γ (3) Dunque, il mdul della velcità asinttica è v vx + vz vz mg γ (4)

4 Sluzine Es ) se indichiam cn L la lunghezza della mlla e cn z la distanza del punt P dal sffitt, ciascuna mlla esercita una frza K L diretta vers l'alt parallelamente alla lunghezza della mlla. Data la simmetria del prblema, la frza risultante delle due mlle è diretta lung l'asse z nel vers negativ ed è pari a vlte la cmpnente z di ciascuna frza. Dunque, la cmpnente z della frza risultante ( è l'unica cmpnente nnnulla) dvuta alle mlle è F z - K L cs θ - K L z /L - K z (1) All'equilibri la smma delle frze della mlla e della frza pes deve essere nulla. Dunque - K z + mg 0, ciè, z mg/( K) () 4.) La frza esercitata dalle due mlle in eq.(1) è la stessa frza che eserciterebbe una unica mlla di cstante elastica K K appesa al sffitt. Ne cnsegue che il mt della massa m è un mt armnic di scillazine attrn alla psizine iniziale di equilibri cn pulsazine pari a ω (K /m) 1/ ( K/m) 1/ e perid T π/ω. Pichè la massa m parte da ferma, essa passa per il punt di equilibri dp un intervall di temp pari a T /4 e, quindi, il temp cercat è t π [m /(8 K)] 1/ Sluzine esercizi ) Pichè nn ci sn attriti, l'energia meccanica iniziale E i è uguale a quella finale E f. Inltre, piche' i crpi 1 e 3 nn si spstan verticalmente, pssiam nn cnsiderare l'energia gravitazinale di entrambi perchè resta sempre cstante durante il mt. I valri delle energie E i e E f sn: E i m g h (1) E f K h / + (m 1 +m )v / () Impnend l'uguaglianza delle energie e tenend cnt del fatt che le masse dei crpi sn uguali ad m si trva: v g h - K h /( m) (3) La (3) ha sens fisic slamente se il membr a sinistra è psitiv, in cas cntrari v < 0 e la (3) nn ha sluzine nel camp dei numeri reali. Ci' significa che, se il membr a destra in eq.(3) è negativ il crp si ferma prima di tccare terra. Dunque il crp nn tcca terra se g h - K h /( m) < 0, ciè, h > h m g /K (4) 5.) Subit dp che il crp è lasciat liber di muversi ( istante t 0+), La mlla è nella psizine di rips e nn esercita nessuna frza dunque, le equazini del mt dei due crpi 1 e sn, rispettivamente: T m 1 a (5) m g - T m a (6) smmand membr a membr la (5) e la (6) e tenend cnt della cndizine m 1 m, si trva dp semplici passaggi

5 a g / (7) 5.3) Si può utilizzare la I eq. Cardinale dei sistemi applicata al sistema dei 3 crpi cmpresa la mlla. L'unica frza esterna applicata lung l'asse x è quella dell'peratre. Dunque, per la I eq. Cardinale, tale frza sarà uguale alla variazine della cmpnente x della quantità di mt ttale del sistema. Essend il crp 3 sempre ferm, la quantità di mt è slamente dvuta al crp 1 e al crp. La quantità di mt di è sempre diretta lung l'asse z. Dunque l'unic cntribut alla cmpnente x della quantità di mt ttale è quell di m 1 ed è pari a P x m 1 v. la derivata temprale di tale quantità di mt è, perci', pari a m 1 a, dve a è l'accelerazine del crp 1 scritta in eq.(7). Dunque, per la I cardinale, F x m 1 a m g / (8) Metd alternativ: Si cnsidera il crp 3 e le frze agenti su di ess. Il crp viene mantenut ferm e, quindi, per la II legge di Newtn, la frza ttale agente su di ess deve essere nulla. Le frze sn: 1) la frza pes e ) la reazine nrmale del pian rizzntale, 3) la frza esercitata dalla mlla nel punt di cntatt. Questa frza, però è nulla al temp 0+, 4) la frza esercitata dalla fune sulla carrucla che è in cntatt cn il crp, 5) la frza F x dell'peratre. Le uniche frze cn cmpnente x diversa da zer sn la 4) e la 5). Dunque la frza ttale lung x è F x -T 0, ciè, F x T (9) dalle relazine (5) e (7) si deduce T m g / e, quindi, la (9) cincide cn la (8) 5.4) Pichè nn ci sn attriti, nn ci sn frze esterne cn cmpnente x agenti sul sistema di crpi 1, e 3. Ne cnsegue che la cmpnente x della quantità di mt ttale si cnserva. Inltre, si cnserva anche l'energia. Cnsideriam cme istante iniziale quell in cui il crp è ferm ad altezza h e cme istante finale quell in cui tcca terra. La cmpnente x della quantità di mt iniziale è nulla, dunque deve essere nulla anche la cmpnente x della quantità di mt finale. Le velcità dei crpi all'istante finale sarann: v 3 (V,0) (10) v 1 (V+v 1r ;0) (11) v (V,v r ) (1) dve V è la cmpnente x ( l'unica cmpnente) della velcità del crp 3, v 1r e v r sn, invece, i mduli delle velcità relative di m 1 e m rispett ad un sistema di riferiment slidale cn il crp 3. l'inestensibilità del fil implica: v 1r v r v (13) Dunque, per la cnservazine della quantità di mt lung l'asse x: m 1 (v +V) + m V + m 3 V 0 ciè v -V (m 1 + m + m 3 )/m 1-3V (14) Analgamente, la cnservazine dell'energia si scrive: m g h K h / + m 1 (V+v) + m (V + v )/ + m 3 V / (15) sstituend nella (15) m 1 m m 3 m, il valre di v dat dalla (14) e il valre h (m g)/(10k), si trva V v / 3 [(19 m g )/(1500 K)] 1/ (16)