Giustificare adeguatamente tutti i passaggi. + EX. 1 Si studi la convergenza (semplice, assoluta, totale) della serie 6 2

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1 Prva scritta di Analisi Matematica II - 4 giugn 013 Cmpit A COGNOME NOME. Matr... Crs di Laurea Ambiente Territri e Risrse Infrmazine Meccanica firma Giustificare adeguatamente tutti i passaggi + x EX. 1 Si studi la cnvergenza (semplice, assluta, ttale) della serie 6 k x k= EX. b EX. Data la funzine π - peridica definita da π x se π x 0 f ( x) =, π x se 0 < x < π determinarne la serie di Furier, stabilend l insieme di cnvergenza puntuale, la smma e gli intervalli di cnvergenza ttale. + k ( 1) Dedurre dalla serie il valre della smma della serie numerica. k 0 se ( x, y) = (0,0) Data la funzine f ( x, y) = sin xy xy se ( x, y) (0,0) 3 ( x + y ) stabilire se in (0, 0) è cntinua, derivabile secnd gni direzine, differenziabile. k = 0 EX. 3 Calclare il seguente integrale y xdxdy ln cn D = ; e [ 0; 1] D 1 e EX. 3b EX. 4 Discutere massimi e minimi, relativi ed assluti, della funzine 3 f ( x, y) = x y 3xy nel su insieme di definizine. ur ( x + y ) xe Dat nel pian il camp vettriale F =, se ne valuti l integrale di linea ( x + y ) ye x = t lung la curva di equazine y = arcsint t [0,1] π rientata nel vers delle t crescenti.

2 Ex. 5 3 ( x 1) y Si cnsideri il dmini E = ( x, y, z) R + z 1, la cui frntiera 9 4 è rientata cn il versre nrmale vers l estern. x + sin yz ur Si calcli il fluss del camp vettriale F = y + cs xz attravers. z + ln x EX. 5b Determinare l integrale generale dell equazine differenziale y + y = sinx, stabilend se vi sian sluzini limitate in R. Si discuta cme vari l integrale generale dell equazine differenziale y + y = sin(kx), al variare di k R.

3 Prva scritta di Analisi Matematica II - 4 giugn 013 Cmpit B COGNOME NOME. Matr... Crs di Laurea Ambiente Territri e Risrse Infrmazine Meccanica firma Giustificare adeguatamente tutti i passaggi + x EX. 1 Si studi la cnvergenza (semplice, assluta, ttale) della serie 4 k 0 16 k x = + EX. b Data la funzine π - peridica definita da π x se π x 0 f ( x) =, π x se 0 < x < π determinarne la serie di Furier, stabilend l insieme di cnvergenza puntuale, la smma e gli intervalli di cnvergenza ttale. + k ( 1) Dedurre dalla serie il valre della smma della serie numerica. k k = 0 EX. Data la funzine, = 0, =0,0, 0,0 stabilire se in (0, 0) è cntinua, derivabile secnd gni direzine, differenziabile. EX. 3 Calclare il seguente integrale x y e dxdy cn D [ ] D 1 = 0; 1 ; e e EX. 3b EX. 4 Discutere massimi e minimi, relativi ed assluti, della funzine 3 f ( x, y) = x y 3xy nel su insieme di definizine. ur x cs( x + y ) Dat nel pian il camp vettriale F =, se ne valuti l integrale di y cs( x + y ) x = arcsin t linea lung la curva di equazine y = t t t [0,1] rientata nel vers delle t crescenti.

4 Ex. 5 3 x ( y 1) Si cnsideri il dmini E = ( x, y, z) R + z 1, la cui frntiera 16 9 è rientata cn il versre nrmale vers l estern. x + cs yz ur Si calcli il fluss del camp vettriale F = y ln x attravers. z + sin xy EX. 5b Determinare l integrale generale dell equazine differenziale y + y = csx, stabilend se vi sian sluzini limitate in R. Si discuta cme vari l integrale generale dell equazine differenziale y + y = cs(kx), al variare di k R.

5 Prva scritta di Analisi Matematica II - 19 lugli 013 COGNOME NOME. Matr... Crs di Laurea Ambiente Territri e Risrse Infrmazine Meccanica firma Prta le Equazini Differenziali?. Giustificare adeguatamente tutti i passaggi x x EX. 1 Data la funzine π - peridica f ( x) = cs sin, determinarne la serie di 4 4 Furier, stabilend l insieme di cnvergenza puntuale e ttale e la smma. 0 se ( x, y) = (0,0) f ( x, y) = se ( x, y) (0,0) ( x + y ) stabilire se in (0, 0) è cntinua, derivabile secnd gni direzine, differenziabile. EX. Data la funzine ( x y) 1 cs( x y) EX. 3 Si cnsideri la przine di superficie S definita dalle equazini 4 = cn rientazine indtta dal versre nrmale estern alla + regine spaziale cnvessa. Si calcli il fluss attravers S del camp vettriale &' () + #$ =% + * EX. 4 Determinare i massimi e minimi, relativi e assluti, della funzine 3 f ( x, y) x 4xy y y = +.

6 Ex. 4b Calclare l integrale di superficie S 1 1 y y funzine z( x, y) = x + definita nel dmini +=,, R 0 3(&' ds, dve S è la superficie grafic della EX. 5 Rislvere il Prblema di Cauchy x x 1 y(0) = 0 y '( x) y( x) = x x EX. 5b t x( t) = e t Determinare la lunghezza della curva γ : y( t) = e ; t [0,]. z( t) = t La curva è reglare? Perché?