3 C. Prati. Risposta in frequenza di sistemi LTI e Trasformata di Fourier

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1 Segnali e sistemi per le telecmunicazini /ed Cpyright The McGraw-Hill Cmpanies srl 3 C. Prati Rispsta in requenza di sistemi LTI e Trasrmata di Furier Esercizi di veriica degli argmenti svlti nel terz capitl del test Segnali e Sistemi per le Telecmunicazini McGraw-Hill. ESERCIZIO Sia data la trasrmata di Furier X() di igura E3.. Si scriva l esprese di X(), si calcli l esprese del segnale x( e la sua energia. X() A -B/ B/ Fase di X() π -B/ B/ π Figura E3. X ( ) A rect x( A π E x ( t ) A B B ( πb( t + ) B ( t + ) exp jπ B B

2 Segnali e sistemi per le telecmunicazini /ed Cpyright The McGraw-Hill Cmpanies srl ESERCIZIO Sian date la trasrmate di Furier di igura E3.. Si scrivan le espresi di X() nei due casi e si calclin le espresi dei relativi segnali nel temp. A X() -3B/ -B/ Fase di X() π/4 Cas 3π/4 π π/ Fase di X() Cas π/ π Figura E3.

3 Segnali e sistemi per le telecmunicazini /ed Cpyright The McGraw-Hill Cmpanies srl X ( ) A rect + exp jπ B B X ( ) A rect + exp jπ B B ( πb( t + ) 4B ( t + ) x ( A exp π π 4B { j B( t )} + ( πb( t + ) B ( t + ) x ( A exp π π B 4B { j B( t )} + B ESERCIZIO 3 Sia dat il segnale di igura E3.3. Se ne calcli la trasrmata di Furier e se ne tracci il graic. x( k a T T t Figura E3.3

4 Segnali e sistemi per le telecmunicazini /ed Cpyright The McGraw-Hill Cmpanies srl a πt X ( ) T π exp { jπt} + k exp{ jπt} ESERCIZIO 4 Si calcli la trasrmata di Furier dei seguenti segnali: - - x( { πb( t τ )} π ( t τ ) { πb( t τ )} π ( t τ ) cs ( π x( cs t { π ( τ )} + X + B B { j ( ) τ} + rect exp{ j π ( ) τ} ( ) rect exp π + X ( ) rect + rect exp B B { j πτ } ESERCIZIO 5 Si calcli la rispsta all impuls del sistema LTI descritt dalla seguente equazine dierenziale, dve x ( rappresenta l ingress e y( l uscita. d y( dy( + a + by( x( ERRATA SUL TESTO dt dt Suggeriment: si passi al dmini delle requenze e pi si anti-trasrmi d y( dy( La trasrmata di Furier dell equazine dierenziale + a + by( x( ha la seguente dt dt rma: 4π Y ( ) + jπay ( ) + by ( ) X ( ) La rispsta in requenza del sistema vale: H ( ) Y ( ) X ( ) 4π + jπa + b A jπ k + B jπ k Dve si e indicat: a + a 4b a a 4b k < ; k < ; La rispsta all impuls vale: A k k ; B k k

5 Segnali e sistemi per le telecmunicazini /ed Cpyright The McGraw-Hill Cmpanies srl k t k h( Ae u( + Ae u( ) t t ESERCIZIO 6 Data la rispsta in requenza di igura E3.4 si calcli l uscita del sistema LTI ai seguenti ingressi: B - x( exp jπ t 4 B - x( cs π t 4 3B 3 - x( cs π t x( δ ( H() -B / -B/ B/ B t π ase di H() Figura E3.4 -B B t π B π - x ( exp jπ t exp j 4 4 B π - x ( cs π t 4 4 3B 3 3B x ( exp j π t π + exp j π t π x( δ (

6 ESERCIZIO 7 Si calclin le espresi dei seguenti segnali y ( [ cs( π ( π ] y ( cs Segnali e sistemi per le telecmunicazini /ed Cpyright The McGraw-Hill Cmpanies srl π 3 t πt π 3 t πt ( π ( π Suggeriment: si passi al dmini delle requenze e pi si anti-trasrmi y ( y ( cs ( π ( π ESERCIZIO 8 Si calcli la unzine di autcrrelazine di πbt x( πt R x ( τ ) πbτ πτ ESERCIZIO 9 Si calcli la unzine di crss-crrelazine e la cnvluzine tra i seguenti segnali ( π ) x( exp t { } e y exp π ( t t ) ( R xy ( τ ) exp π ( τ + t ) 3 3 x( y( exp π t 3 3 ESERCIZIO ( t )

7 Segnali e sistemi per le telecmunicazini /ed Cpyright The McGraw-Hill Cmpanies srl Sia data la trasrmata di Furier X() peridica di perid /T di igura E3.5. Si calcli l esprese del segnale e la sua energia. Si tracci il graic della trasrmata in unzine della requenza nrmalizzata φ. X() peridica -5/(4T) -/(4T) 3/(4T) 7/(4T) Figura E3.5 π n exp πn { jπ n } 8 E x 3 4 T T d 4T ESERCIZIO Si calcli la densita spettrale di energia del segnale: x( { πb( t τ )} π ( t τ ) S x ( ) X ( ) rect B

8 Segnali e sistemi per le telecmunicazini /ed Cpyright The McGraw-Hill Cmpanies srl ESERCIZIO Si calcli l energia del segnale: πbt x( πt Suggeriment: si utilizzi la relazine di Parseval Ex B 3 3 ESERCIZIO 3 Si calcli in unzine dell ingress x ( l esprese dell uscita y( del sistema LTI la cui rispsta in requenza e H ( ) 4π Suggeriment: ( ) jπ 4π y ( d x( dt ESERCIZIO 4 Sia dat il seguente segnale: () t cs( π + x () t ( π y( x Si calcli l esprese della trasrmata di Furier dei seguenti segnali: z( y z ( y () t cs( π () t ( π () t + x () t cs( 4π x () t ( 4π z ( x + () t x () t cs( 4π x () t ( 4π z ( x +

9 Segnali e sistemi per le telecmunicazini /ed ESERCIZIO 5 Cpyright The McGraw-Hill Cmpanies srl Si disegni il graic della trasrmata di Furier (nella banda ( πn / 3) πn cs ( πn / 6) < φ < ) del segnale: X(φ) Peridica di perid / -/ -/3 /3 / φ ESERCIZIO 6 Si disegni il graic della trasrmata di Furier (nella banda < φ < ) del segnale: { ( / 3) } πn π n

10 Segnali e sistemi per le telecmunicazini /ed Cpyright The McGraw-Hill Cmpanies srl X(φ) Peridica di perid j/ /3 -/3 φ -j/ ESERCIZIO 7 Si disegni il graic della trasrmata di Furier (nella banda < φ < ) del segnale: πn π n ( / 3)

11 Segnali e sistemi per le telecmunicazini /ed Cpyright The McGraw-Hill Cmpanies srl Peridica di perid x(φ) /3 -/3 /3 φ ESERCIZIO 8 Si disegni il graic della trasrmata di Furier (nella banda ( πn / 3) exp πn ( jπn) < φ < ) del segnale:

12 Segnali e sistemi per le telecmunicazini /ed Cpyright The McGraw-Hill Cmpanies srl X(φ) Peridica di perid -/ -/3 /3 / φ ESERCIZIO 9 Si calcli la rispsta in requenza del sistema LTI descritt dalla seguente equazine alle dierenze dve x rappresenta l ingress e y l uscita. y n n + ayn + byn + cxn n H ( ) Y X ( φ) c jπφ j πφ ( φ) b + a e + e φ 4 ESERCIZIO Data la rispsta in requenza H() di igura 3. (peridica di B) se ne scriva l esprese in unzine della requenza nrmalizzata e si calcli l uscita del sistema LTI ai seguenti ingressi:

13 Segnali e sistemi per le telecmunicazini /ed Cpyright The McGraw-Hill Cmpanies srl πn - exp j 3 πbnt - exp j 3 3B 3 - cs π nt xn δ n Suggeriment: quant vale l intervall di campinament T dei segnali e 3? Data la rispsta in requenza H ( ) A rect exp jπ e la sua peridicità B equivalente alla B B requenza di campinament, si ttiene: ( φ ) exp{ πφ} H ( φ) A rect j πn π - y n Aexp j exp j 3 3 L intervall di campinament vale T B quindi: πn πn π exp j e y n Aexp j exp j cs π n quindi y n 4 π ( n + ) 4 - y n A π n + ESERCIZIO ( ) X rect ) peridica di perid, si calcli l esprese della trasrmata in requenza nrmalizata X (φ ) si calcli l esprese della sequenza. Data la trasrmata di Furier ( ) + δ ( ) + δ ( + X ( φ) rect + φ [ π n ] x n + cs π n πn ( φ ) + δ φ δ +

14 ESERCIZIO Si tracci il graic della sequenza che ha la seguente trasrmata di Furier X Segnali e sistemi per le telecmunicazini /ed Cpyright The McGraw-Hill Cmpanies srl ( φ ) πφ πφ La strada per rislvere il prblema dat è quella di calclare la sequenza x [ n] πφ X ( φ) e pi ricavare la sequenza [ n] x [ n] x [ n]. πφ x che ha cme trasrmata πφ Occrre ntare, tuttavia, che X ( φ) nn può essere la trasrmata in requenza nrmalizzata πφ di una sequenza perche nn e peridica di perid unitari, ma di perid cme si vede dal prim graic riprtat stt in igura S. E dunque necessari riscrivere questa trasrmata cme unzine della requenza assumend cme intervall di campinament. T πφ Peraltr elevand al quadrat la trasrmata X ( φ) si ttiene la unzine X ( φ) che è πφ peridica di perid e dunque una trasrmata in requenza nrmalizzata (si veda il secnd graic di igura S). La sequenza cercata e riprtata nel graic di igura S Figura S

15 Segnali e sistemi per le telecmunicazini /ed Cpyright The McGraw-Hill Cmpanies srl Figura S n Figura S3 ESERCIZIO 3 Si calcli la densita spettrale di energia del segnale: πn π n ( / 3)

16 Segnali e sistemi per le telecmunicazini /ed Cpyright The McGraw-Hill Cmpanies srl X ( φ) φ per 3 φ 3 X ( φ) φ + per φ 3 3 ESERCIZIO 4 Si calcli l energia del segnale: [ π ( n ) / 3] π ( n ) E 3