Risoluzioni degli esercizi

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1 Risoluzioni degli esercizi Esercizio.1. Calcolare la densità di probabilità della somma di tre variabili casuali indipendenti con distribuzione uniorme ra 0 e 1, determinandone valor medio e varianza. Risoluzione. Indichiamo con x, y e w le tre variabili (ciascuna con valor medio ½ e varianza 1/1) e con z la loro somma. La variabile somma z ha valor medio η z = η x + η y + η w = 3/, varianza (per l indipendenza ra le tre variabili) σ z = σ x + σ y + σ w = ¼ e quindi deviazione standard σ z = ½. La densità di probabilità z (z) della somma è data dalla convoluzione delle densità delle tre variabili, che hanno la orma u(x)-u(x-1), con trasormata (1-exp(-s))/s. Svolgendo i calcoli, per esempio antitrasormando il cubo della trasormata anzidetta, si ricava: z per 0 z z ( z) = + z z per 1 z 9 z 3 z+ per z 3 concludendo che la unzione presenta il massimo per z = 1.5, con z (1.5) =3/4. Esercizio. Esaminare la densità della somma delle tre variabili ottenuta nell esercizio precedente e discuterne le dierenze essenziali rispetto a una densità normale avente lo stesso valor medio e la stessa varianza. Risoluzione. La densità della somma è costituita da tre archi di parabola, è nulla al di uori dell intervallo 0,3 e ha il massimo 3/4 per z =1.5. La curva normale con lo stesso valor medio e la stessa varianza si estende invece ra - e +, con massimo per z=1.5. La dierenza più vistosa ra le due densità è costituita dalle code della gaussiana al di uori dell intervallo 0,3, il cui integrale rappresenta una probabilità complessiva di Esercizio 3.1. Dimostrare che la banda equivalente di rumore B N per la unzione di traserimento risonante: H(jω) = (jω/ω 0 Q)/(1 + jω/ω 0 Q + (jω) /ω 0 ) è data dalla (3.8). Risoluzione. Il risultato espresso dalla (3.8) si ottiene applicando la (3.7), cioè integrando il modulo quadro della unzione H(jω). Oppure, più semplicemente, utilizzando la (3.4) e tenendo presente che H M = 1. Si ha in tal caso: c 0 = 0, c 1 = 1/ω 0 Q, d 0 = 1, d 1 = 1/ω 0 Q, d = 1/(ω 0 ). Sostituendo nella (3.4) si ottiene B N = π 0 /Q. Esercizio 3.. Calcolare la banda equivalente di rumore B N per un iltro con taglio alle basse e alle alte requenze con unzione di traserimento H(jω) = jωτ 1 /(1 + jωτ 1 )(1 + jωτ ). Risoluzione. Il modulo della unzione H(jω) è massimo per ω = 1/τ 1 τ, dove si ha H M = τ 1 /(τ 1 + τ ). Utilizzando la (3.4) si ottiene poi: 1 τ1 H( jω) dω=. Sostituendo questi risultati π 0 4τ ( τ + τ ) τ nella (3.7) si ottiene inine: 1+ τ B N =. 4ττ 1 1

2 Esercizio 3.3. Calcolare il tempo d integrazione equivalente e la banda di rumore equivalente per un iltro con risposta impulsiva a dente di sega h(t) = (-t)[u(t)-u(t-1)] e veriicare la validità della relazione (3.1). Risoluzione. Il iltro ha risposta impulsiva con area unitaria e unzione di traserimento ( jω) jω+ exp H( jω) = con H M = 1. Il tempo d integrazione equivalente si ottiene ω applicando la (3.16): T N = ¾ s. La banda equivalente si ottiene applicando la (3.7): B N = /3 Hz. La (3.1) è veriicata in quanto B N T N =1/. Esercizio 5.1. Calcoliamo i parametri λ e q e di un rumore shot misurandone la risposta con un circuito RC. Una corrente di rumore shot i(t), descritta dalla (5.), viene applicata a un circuito RC parallelo, osservandone la tensione v(t) ai suoi terminali. Calcolare i parametri λ e q e in termini del valor medio η e della varianza σ della tensione v(t) supponendo che il resistore sia abbastanza reddo da poterne trascurare il rumore termico. Risoluzione. Il valor medio della tensione v(t) ai capi del circuito RC è η = IR = λq e R. Dato che la banda equivalente di rumore del circuito è B N = 1/4RC, la varianza della tensione v(t), utilizzando la (5.4), è: σ = S ii R B N = λq e R/C. Dalle due precedenti si ricava pertanto: q e = Cσ /η e λ = η /RC σ. Esercizio 6.1. Il oglio tecnico dell ampliicatore AD8510 ornisce i seguenti valori tipici del rumore di tensione (spettri di ampiezza): 34 nv/ Hz a 10 Hz, 1 nv/ Hz a 100 Hz, 8 nv/ Hz a 1 khz, 7.6 nv/ Hz a 10 khz. Ricavare il valore della requenza d incrocio c. Risoluzione. Assumendo uno spettro di potenza totale della orma A/ + B e minimizzando la somma degli scarti quadratici normalizzati per stimare A e B, si ricava il seguente valore approssimato della requenza d incrocio: c = 190 Hz. Esercizio 7.1. Il rapporto segnale/rumore di un convertitore ADC. Ricavate una espressione per il rapporto segnale/rumore, espresso in unità di decibel, di un convertitore analogico-digitale in unzione del numero n di bit, considerando il rapporto ra il valore eicace della sinusoide di massima ampiezza che rientra nella dinamica del convertitore e il valore eicace del rumore di quantizzazione. Risoluzione. Per un convertitore a n bit con quanto q, in base alla (7.1), il valore eicace di una sinusoide con ampiezza picco-picco V corrispondente alla massima dinamica è V/ = q( n -1)/. Il valore eicace del rumore di quantizzazione, in base alla (7.), è q/ 3. Dalle precedenti si ricava il rapporto ra il valore eicace del segnale e quello del rumore: ( n -1) (3/). Cioè, nell approssimazione n >> 1, SNR = n in unità di decibel. Esercizio 8.1. Calcolare il valore quadratico medio del rumore del circuito risonante in Fig. 8. per R = 100 Ω, L = 1 mh, C = 1 nf. Risoluzione. Calcoliamo il valore quadratico medio del rumore moltiplicando il massimo dello spettro (4kT (L/C)) per la banda equivalente di rumore del circuito (ω 0 /4Q): σ = ktr/ (LC). Con

3 i valori numerici dati, alla temperatura T = 90 K, si ha: S(ω 0 ) = V /Hz, B N = 5 khz, σ = V. Esercizio 8.. Analizzare il circuito in Fig. 8.3 per ricavarne l espressione dello spettro S vv alla porta d ingresso. Risoluzione. Consideriamo separatamente i tre contributi (rumore di tensione V n, rumore di corrente I n e rumore termico V nr del resistore R F ) alla tensione totale di rumore alla porta d ingresso, rappresentandoli in termini di spettri di ampiezza e utilizzando la relazione V o = -AV - ra il segnale all ingresso invertente e l uscita. Nel caso del rumore di tensione si ha V o = V n + V - e quindi: V(V n ) = V n A/(1+A). Nel caso del rumore di corrente si ha V o = I n R F + V - e quindi: V(I n ) = I n R F /(1+A). Nel caso del rumore del resistore si ha V o = V nr + V - e quindi V(R F ) = V nr /(1+A). Sommando i quadrati dei tre contributi, con V nr = 4kTR F, si ottiene l espressione riportata nell Esempio 8.1. Esercizio 8.3. Ricavare una espressione per il valore del resistore di reazione che rende minima la temperatura equivalente alla porta d ingresso del circuito considerato nell Esempio 8.1. Risoluzione. L espressione della temperatura equivalente riportata nell Esempio 8.1 presenta evidentemente un minimo in unzione della resistenza R F. Annullando la derivata della temperatura equivalente rispetto a R F si ottiene: R F0 = AV n /I n. Per tale valore la temperatura equivalente del resistore reddo R 0 = R F0 /(1+A) è: T EQmin = T/(1+A) + AV n I n /(k(1+a)). Esercizio 9.1. Utilizzare la Fig. 9. per determinare il valore di I n del preampliicatore 5113 alla requenza di 1 khz. Risoluzione. Dal graico si ricavano approssimativamente i due valori della resistenza di sorgente, R s1 = 4 kω e R s = 50 MΩ, in corrispondenza dei quali, alla requenza di 1 khz, la igura di rumore vale 3 db. Cioè il attore di rumore vale, e quindi il rumore del preampliicatore è pari al rumore termico della sorgente. Nel caso R s1 = 4 kω si considera trascurabile il contributo di I n e si ha quindi: V n = 4kTR s1 da cui V n = 8.0 nv/ Hz. Nel caso R s = 50 MΩ si considera trascurabile il contributo di V n e si ha quindi: I n = 4kT/R s da cui I n = 18 A/ Hz. Esercizio 9.. Determinare i valori di V n e I n per il transistore rappresentato in Fig. 9.3 quando è polarizzato con I C = 1 ma. Risoluzione. Dal graico si ricavano approssimativamente i due valori della resistenza di sorgente, R s1 = 15 Ω e R s = 8 kω, in corrispondenza dei quali, quando il transistore è polarizzato con I C = 1 ma, la igura di rumore vale 4 db. Nel caso R s1 = 15 Ω si considera trascurabile il contributo NF /10 di I n e si applica quindi la prima ormula dell Esempio 9.1: Vn kt0 Rs1( 10 1) = ottenendo così V n = 0.60 nv/ Hz. Nel caso R s = 8 kω si considera trascurabile il contributo di V n e si applica quindi la seconda ormula dell Esempio 9.1: 0 NF /10 In ( 10 1) kt = ottenendo così I n = 930 A/ Hz. R s

4 Esercizio 9.3. Calcolare l energia minima rivelabile da un rivelatore al silicio con C = 0 pf, V n = 5 nv/ Hz e I n = 0 A/ Hz. Risoluzione. Utilizzando la ormula (9.1) con i valori numerici dati si ottiene ENC = C. Pertanto il numero di cariche elementari equivalenti è ENC /q e = 379 e l energia minima rivelabile: = 1.36 kev. Esercizio Calcolare come varia il rumore 1/ quando un resistore di resistenza R viene sostituito con n resistori di resistenza R/n disposti in serie, se il rumore 1/ dei resistori segue la legge (10.). Risoluzione. Lo spettro di potenza del rumore di tensione 1/ di un resistore di resistenza R percorso da una corrente di intensità I, dato dalla ormula (10.) è: (mir) /. E quindi nel caso di un resistore di resistenza R/n, supponendo che il coeiciente m resti invariato, si ha: (mir) /n. Sommando inine i contributi di n resistori si ha: (mir) /n. Esercizio 10.. Calcolare la requenza d incrocio c per il resistore considerato dell Esempio Risoluzione. Conoscendo il valore eicace del rumore 1/ in una decade di requenza: V e = 10-1 V, dalla (6.13) si ricava come segue il coeiciente dello spettro di potenza 1/ (S() = A/): A = V e /ln 10 = V. Uguagliando lo spettro 1/ e quello termico (4kTR) si ricava inine la requenza d incrocio: c = 7 khz. Esercizio Conrontare graicamente gli spettri del rumore termico, nella regione ra 10 Hz e 10 khz, di due condensatori da 10 nf. Uno con dissipazioni caratterizzate da tan δ = 10-3 ; l altro, da un resistore (30 Ω) in serie e uno (0.5 GΩ) in parallelo all elemento ideale. Risoluzione. Lo spettro di potenza del rumore termico di tensione del condensatore caratterizzato dal attore di perdita è dato dalla (6.4): S 1 (ω) = 4kT tan δ /ωc. Quello dell altro condensatore, con un resistore R s = 30 Ω in serie e un resistore R p = 0.5 GΩ in parallelo, si ricava applicando il teorema di Nyquist (4.): S (ω) = 4kT Re[Z(jω)], con Z(jω) = (R s + 1/ jωcr s )//R p e Re[Z(jω)] R p (1+ ω C R s R p )/(1+ ω C R p ), essendo R s << R p. La igura rappresenta i due spettri ra 10 Hz e 10 khz S1( ) 10 9 S( ) Esercizio Calcolare il valore della corrente di collettore a cui i due contributi al rumore di tensione d ingresso si eguagliano per un transistore con r bb = 0 ohm. Risoluzione. Utilizzando la ormula (10.10) con T = 90 K si ha: I C = kt/(q e r bb ) = 65 µa.

5 Esercizio Calcolare lo spettro del rumore d uscita di un inseguitore di tensione (voltage ollower). Risoluzione. Caratterizzando l ampliicatore con la legge V o = A(V + - V - ), per il ollower (V o = V - ) si ha V o = AV + /(1+A). Se il segnale d entrata è applicato all ingresso non invertente tramite una impedenza Z s (jω), lo spettro di potenza del rumore totale di tensione ivi è: V n + I n Z s (jω) + 4kT Re[Z s (jω)]. E quindi lo spettro d uscita è: S o (ω) = (A/(1+A)) (V n + I n Z s (jω) + 4kT Re[Z s (jω)]). Esercizio Dimostrare la (10.7) e determinare il valore della resistenza di sorgente che minimizza il attore di rumore. Risoluzione. Utilizzando le espressioni riportate a pag. 80, i contributi allo spettro d uscita del rumore dei resistori R 1, R e del rumore di corrente I n associato all ingresso invertente sono rispettivamente: 4kTR /R 1, 4kTR e I n R. Che vanno sommati e riportati all ingresso non invertente dividendoli per il quadrato del guadagno dato dalla (10.4): 1+R /R 1. Si ottiene così: 4kT(R 1 //R ) + I n (R 1 //R ). A cui vanno sommati i contributi del rumore di tensione V n, del rumore di corrente associato all ingresso non invertente I n Z s e del rumore termico della sorgente 4kT Re[Z s (jω)], ottenendo così la (10.7). Considerando per semplicità una impedenza di sorgente reale R s, il attore di rumore, ottenuto rapportando lo spettro (10.7) allo spettro termico della sorgente, è: ( / / ) 4 ( / / ) Vn + In R1 R + kt R1 R + In Rs F = 1+, dove va notato che i due termini I n 4kTR s rappresentano il rumore dei generatori di corrente associati ai due ingressi dell ampliicatore. La condizione di minimo si ottiene derivando F rispetto a R s e annullando la derivata. Il risultato è analogo a quello trovato nel 9.1, espresso dalla (9.5), dove però lo spettro di potenza della tensione di rumore equivalente che determina il valore di R s0, il quale deve rappresentare anche i contributi del rumore dei resistori R 1, R e del rumore di corrente associato all ingresso invertente, è: V I ( R / / R ) 4 kt( R / / R ) n + +. n 1 1 Esercizio Il contributo di rumore di un condensatore. All ingresso di un ampliicatore con rumore di tensione di 1 nv/ Hz viene disposto in serie un condensatore da 10 nf con tan δ = Calcolate il rumore di tensione complessivo V n del circuito alla requenza di 100 Hz. Risoluzione. Il rumore del condensatore si ricava dalla (6.4): 4kT tan δ /ωc = V /Hz. Sommandolo a quello dell ampliicatore (10-18 V /Hz) si ottiene V /Hz, cioè V n = 1.88 nv/ Hz. Esercizio 11.. Determinare le caratteristiche (capacità e attore di perdita) di un condensatore che consenta di misurare ra 10 e 100 Hz la corrente di rumore di un JFET con V n 1 nv/ Hz e I n 1 A/ Hz. Risoluzione. Per rendere dominante, e quindi ben misurabile, il contributo del rumore di corrente, occorre che il condensatore presenti una impedenza molto maggiore di V n /I n = 10 6 Ω ra 10 e 100 Hz. La condizione limite a 100 Hz si ha per C = 1.6 nf. Scegliamo pertanto una capacità di 00

6 pf. Lo spettro di potenza del rumore di tensione di questo elemento è dato dalla (6.4). Inoltre lo spettro di ampiezza della corrispondente corrente di rumore, (4kTωC tan δ ) 1/, deve essere molto minore di 1 A/ Hz. La condizione limite si ha per tan δ = / 4kTωC = e quindi scegliamo un condensatore con tan δ dell ordine di Esercizio Proporre una tecnica per misurare la velocità di un liquido in un condotto di lunghezza nota. Risoluzione. Il tempo di propagazione si determina calcolando la correlazione incrociata ra le vibrazioni delle pareti del condotto in corrispondenza delle due sezioni agli estremi del tratto considerato. Il massimo della unzione, quando il moto del liquido è suicientemente turbolento, si otterrà per un ritardo pari al tempo di propagazione. La velocità del liquido, inine, è data dal rapporto ra la lunghezza del condotto ra le due sezioni e il tempo di propagazione. Esercizio 13.. Ricavare una espressione per lo spettro di tensione ai terminali della scatola B dopo il riscaldamento da parte della batteria. Tracciare il graico dello spettro in unzione della requenza, per R = 1 ohm, supponendo che il resistore riscaldato si porti a 600 K e l altro si mantenga a 300 K. Risoluzione. Gli spettri del rumore del gruppo RC e del gruppo RL nella scatola B si ricavano 4kRT applicando il teorema di Nyquist (4.), da cui si ottiene rispettivamente: SC ( ω) = e 1 + ωrc ( ) 4kTR SL ω = R + ( ωl) ( ωl). Se il resistore riscaldato si trova a T 1 e l altro a T, lo spettro totale ai terminali della scatola B, somma dei due spettri precedenti, avendo posto R = L C R, è: ( ω ) ( ωrc) T1 + T RC S( ω) = 4kR 1+ Lo spettro in igura è stato calcolato ponendo C= 1 F, L = 1 H, T 1 = 600 K, T = 300 K.. ( ) Esercizio A.1. Calcolare la densità di probabilità all uscita di un limitatore simmetrico con ingresso casuale a distribuzione normale. L ingresso è normale a media nulla e deviazione standard unitaria. La caratteristica del limitatore è la seguente: y = x nell intervallo -1, +1, y = sign(x) altrove. Risoluzione. Nell intervallo -1,+1 la densità dell uscita coincide con quella dell ingresso, che è data dalla ormula (.5) con η = 0 e σ = 1. In corrispondenza di y = -1 e di y = 1 la densità d uscita è costituita da due unzioni delta, con coeicienti , uguali ra loro, dati dall integrale della densità d ingresso rispettivamente ra - e -1e ra 1 e. Si ha pertanto: 1 y y( y) = δ ( y+ 1) + [ u( y+ 1) u( y 1) ] exp δ ( y 1) π S( ) gvp /3/011.