Fondamenti di ELABORAZIONE NUMERICA DEI SEGNALI

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1 Fondamenti di ELABORAZIONE NUMERICA DEI SEGNALI

2 Elaborazione Numerica dei Segnali (ENS) Cosa è? Perché? Dove?

3 ENS Cosa è? L'elaborazione numerica dei segnali è la applicazione di una sequenza opportuna di operazioni aritmetiche o logiche (algoritmo) ad una serie numerica (es. cire espresse in orma binaria) che rappresenta (in modo esatto o suicientemente approssimato) un segnale (in genere originariamente analogico) Con lo scopo (elaborazione) di modiicarlo, di migliorarne la qualità o di estrarne delle inormazioni 3

4 Schema di principio della ENS Segnale analogico Rappresentazione numerica (Digitalizzazione) ENS Ricostruzione analogica o estrazione di inormazioni 4

5 ENS Perché? PRO Universalità, lessibilità, estesa gamma di (nuove) elaborazioni realizzabili Programmabilità (processori digitali, es. DSP) Precisione acilmente controllabile con il numero di bit usati Realizzazioni più acilmente riproducibili : HW dedicato (es. VLSI-Very Large Scale Integration) o logica programmabile (DSP- Digital Signal Processor; FPGA-Flexible Programmable Gate Arrays); trascurabili eetti termici e di invecchiamento Compatibilità maggiore con i sistemi già numerici (ad es. comunicazioni numeriche, dati,...) CONTRO Velocità di elaborazione: può essere limitata dalla complessità algoritmica e dalla tecnologia Consumi di potenza (spesso, ma non sempre) superiori ad equivalenti soluzioni analogiche 5

6 ENS Dove? File multimediali: CD, DVD, MP3, JPEG, MPEG,. Smart-phone: Trasmissione radio, codiica audio, immagini e video; GPS; Sensori TV digitale terrestre e satellitare (DVB) Applicazioni: telecomunicazioni, biomedica, sismica, disabili, automazione industriale, traico, sonar e radar, array di sensori, stime spettrali, etc....e in uturo... ovunque (pervasiva) 6

7 FENS Contenuto del corso Digitalizzazione dei segnali e DFT (richiami) Sistemi discreti lineari tempo-invarianti Progetto di iltri Sistemi a requenza di campionamento variabile Realizzazione di sistemi di ENS Elaborazione statistica dei segnali Libri di testo F.Argenti, L.Mucchi, E.Del Re, ELABORAZIONE NUMERICA DEI SEGNALI. Teoria, esercizi ed esempi al calcolatore, McGraw-Hill, 0. Altro materiale sulla pagina web del corso home.dei.polimi.it/tubaro/fens/ 7

8 Esempi di segnali Voce: qualità teleonica qualità migliorata 0-4 khz 0-7 khz Audio (es. musica): 0-0 khz Spettro elettromagnetico Biomedica: 0-00 Hz Sismica: Hz Nota: ENS applicata anche a segnali bidimensionali (immagini) e video 8

9 9

10 DIGITALIZZAZIONE DEI SEGNALI [Cap. ] 0

11 Conversione analogico - digitale x a (t) Segnale analogico ( o tempo-continuo ) A/D ADC x(nt) Segnale numerico ( o digitale )

12 Due operazioni: segnale tempocontinuo segnale tempodiscreto segnale numerico o digitale x a (t) T x c (nt) Q x(nt) Cod c(n) Campionamento Quantizzazione

13 Campionamento in teoria può non introdurre degradazione sul segnale Quantizzazione introduce comunque un errore (errore di quantizzazione) 3

14 CAMPIONAMENTO IDEALE x a (t) x c (nt) = x a (nt) X a ( ) T = / c X c ( ) Ideale: tempo istantaneo di chiusura dell'interruttore con passo di campionamento T (requenza di campionamento c = /T ) T 4

15 Relazioni tempo-requenza (Trasormata di Fourier) [Cap..6-.8] Segnale continuo spettro + j π t X a ( ) = xa ( t) e dt (T.F. diretta) x a ( t) = + X a ( ) e j π t d (T.F. inversa) x a (t) X a () t 5

16 Segnale discreto X + j π nt c ( ) = xc ( nt ) e T.F. diretta n= = = + n= x c X c (F) c ( nt ) e j π F n (tempo-discreta) DTFT F = T = requenza normalizzata (è quella che conta nella ENS!) 6

17 x x c (nt) c / ( nt ) = T = = T X / T / / 0 X X c c c ( ) e ( F) e ( F) e j π nt j π F n j π F n d df df T. F. inversa x(nt) X c ( ) n 0 Σ n x c (nt) δ(t-nt) PERIODO T T T F 7

18 Osservazioni l l Dimensioni diverse per X a ( ) e X c ( ) X c ( ) non sempre esiste (serie non convergente) l Condizione suiciente: x c (nt ) n < ( serie assolutamente sommabile) X c ( ) periodica di periodo c = /T ovvero X c (F) periodica di periodo 8

19 l Banda utile del segnale campionato: per deinizione quella compresa ra: c ovvero F 9

20 Teorema del campionamento Relazione ra X c ( ) e X a ( ) X c ( ) = T + k= X a ( k c ) X c ( ) è la somma di un numero ininito di repliche dello spettro di x a (t), ciascuna traslata di un multiplo intero della requenza c 0

21 X a ( ) k=0 c k= c k= c X c ( ) N.B.: si sommano le unzioni complesse (non i moduli) N.B.: può presentarsi il enomeno detto aliasing o sovrapposizione spettrale (distorsione spettrale)

22 Esempio : x a (t) x a t ( t) = a u( t), a < a= t X a ( ) = jπ lna 3 X a () X a () arg(x a ()) a=

23 T = x c (n) x c n ( n) = a u( n), a < a=0.7 X a e c( F) = jπf X c (F) 3 X c (F) arg(x c (F)) a=0.7 n F 3

24 Esempio : x a (t) x a t ( t) = a u( t), a < a= X a () X a () arg(x a ()) t X a ( ) = jπ lna 5 a=

25 T = x c (n) x c n ( n) = a u( n), a < a=0.9 X a e c( F) = jπf X c (F) 0 5 n X c (F) arg(x c (F)) a=0.9 F

26 Condizione di assenza di distorsione spettrale (condizione di Nyquist) ) segnale limitato in banda B X ( ) = 0 per > B a ) c > B (requenza di Nyquist) ( e ) repliche disgiunte in requenza c 6

27 X a ( )... -B B X c ( )... B c - B c c + B c Banda di guardia: c - B (necessaria in pratica) Se o non sono entrambe veriicate: parziale o totale sovrapposizione delle repliche (distorsione spettrale dovuta al campionamento) 7

28 Esempio Segue dal teorema del campionamento che campionando a c i due segnali reali continui (sinusoidi): segnale continuo segnale discreto c c (mostrate solo le requenze positive) 3 8

29 Se 3 c = c dopo il campionamento le requenze e 3 sono indistinguibili Osservazione Ø tutte le requenze oltre c / sono ribaltate nella banda utile 9

30 ms = 3000, c = Sinusoide a requenza =3000 Hz correttamente campionata a c =8000 Hz. Lo spettro risultante è corretto ms = 5000, c = Fondamenti Sinusoide di a requenza Elaborazione =5000 Numerica Hz campionata dei Segnali a c =8000 Hz. 30 La sinusoide appare ribaltata rispetto a c /.

31 Ricostruzione del segnale analogico y(nt) D/A DAC y a (t) 3

32 Idealmente: y c (nt) Σ n y c (nt) δ(t-nt) A c / iltro passa-basso ideale (analogico) y a (t) c /=/(T) A=T Y c ( ) Y a ( ) -B B c / c -B B Osservazione: Se y c (nt)=x c (nt) i campioni sono una rappresentazione equivalente del segnale analogico originario se le condizioni e sono veriicate ( a meno del attore di scala /T ) 3

33 Formula di ricostruzione Per ottenere il segnale continuo dai suoi campioni: y a ( t) = + senπ ( t y ( nt ) c c π ( t n= c nt nt ) ) 33

34 RICHIAMI DEL CAMPIONAMENTO DI SEGNALI ALEATORI [per approondimenti App. A)] x a (t) segnale aleatorio (processo casuale) x c (nt) ha la stessa densità di probabilità di x a (t) E segnali stazionari in senso lato E { x ( nt ) } = m media c { x ( nt ) x ( nt mt ) } r ( mt ) = c c x + autocorrelazione x r x (mt) corrisponde al campionamento della autocorrelazione continua r (τ ) di x a (t) 34

35 Spettro di potenza G x ( ) di x c (nt) G x ( ) è la Trasormata di Fourier di r x (mt) Se G a ( ) è lo spettro di potenza di x a (t), cioè la trasormata di Fourier di r (τ ), si ha G x ( ) = G ( k a c T k= Sequenze stazionarie ed ergodiche Quelle per cui coincidono le medie temporali e le medie di insieme ) 35

36 Sequenze a spettro bianco G x ( ) = costante = r x (0)T rx ( mt ) = rx (0) δ ( mt ) G x (F) = r x (0) Potenza di una sequenza ( a media nulla) S x = E{ x c (nt ) } = r x (0) σ x che coincide con la varianza della sequenza 36

37 QUANTIZZAZIONE [Cap..5] 37

38 Due operazioni: segnale tempocontinuo segnale tempodiscreto segnale numerico o digitale x a (t) T x c (nt) Q x(nt) Campionamento Quantizzazione 38

39 QUANTIZZAZIONE x c (nt) segnale tempodiscreto Q x q (nt) segnale numerico o digitale 39

40 Quantizzazione uniorme x q (nt) arrotondamento 3q q q q q 3q x c (nt) q passo di quantizzazione 40

41 Errore di quantizzazione e(nt ) = xq(nt ) xc(nt ) xq(nt ) = xc(nt ) + e(nt ) ovvero e( nt ) q arrotondamento 4

42 Modello dell errore di quantizzazione ( comunemente assunto) e(nt) : u segnale aleatorio u indipendente da x c (nt) u densità di probabilità uniormemente distribuita: (arrotondamento) u bianco q 0 q q e Ø valor medio: 0 arrotondamento [q/ troncamento ] Ø varianza: q = q q e de q σ e = 4

43 Potenza dell errore di quantizzazione: = N q Ge( F) df = q Densità spettrale di potenza: G e ( ) = q T ovvero G q e (F) = 43

44 Valutazione critica del modello Contro esempi banali di non validità del modello Es.: - segnale costante - sinusoide con requenza sottomultipla della requenza di campionamento - onda quadra - molti segnali deterministici - ecc. 44

45 Si può supporre valido se il segnale è suicientemente complicato : per esempio se da campione a campione attraversa diversi livelli di quantizzazione ed in modo apparentemente non deterministico Modello adeguato nella maggior parte dei segnali di interesse Modello realistico e matematicamente trattabile 45

46 Rapporto segnale - rumore di quantizzazione B bit (compreso il segno): B livelli Dinamica quantizzatore (in uscita) SNR q = S N q = ( ± ) q = Potenzadel segnale Potenza err. diquantizzazione B = S B = 3S = q / ( SNR ) = 6.0B q db Ø Ogni bit aggiunto a aumentare SNR q di 6.0 db S db (db) 46

47 Esempi particolari Ø Segnale sinusoidale (val. max =, S=/) ( SNR q ) = 6.0B+.76 db Ø Segnale gaussiano Semi-Dinamica quantizzatore: = 4σ = 4 [ { } 5 Pr ob x ( nt ) > 4σ 6.30 ] S c = 6 ( SNR q ) db = 6.0B 7.7 (db) (db) S 47

48 Esempi numerici: SNR q (db) B sinusoide gaussiano

49 Degradazione del rapporto segnale/rumore segnale + rumore segnale + rumore + err. quantizz. x c (nt) x(nt) Q S, N i S, N i, N q SNR i = S N i SNR uq = S ( N + Nq ) i 49

50 Ipotesi: rumore ed errore di quantizzazione incorrelati SNR uq = SNR i + SNR q degradazione Δ db =( SNR ) ( SNR ) i db uq db Dati SNR i e B, si determina ΔdB Dati SNR i e ΔdB si determina SNR q e quindi B. 50

51 CONVERSIONE A/D DI SEGNALI PASSA-BANDA. Campionamento diretto Se la banda del segnale x a (t) è compresa ra k ( k+) x x k intero si ha assenza di sovrapposizione spettrale delle repliche (assenza di distorsione spettrale) se si campiona il segnale alla requenza: c = x 5

52 Possiamo distinguere due casi c = x x a (t) Caso : k dispari // // k x ( k +) x x c (nt) Caso : k pari c / x c (nt) c / 5

53 Per questi tipi di segnali si può convertire alla requenza c = x, senza distorsione x a (t) Camp x c (nt) T = / c x da scegliere in modo che la banda del segnale sia compresa ra due suoi multipli interi consecutivi (soluzione non univoca) 53

54 Osservazione Nel caso (k dispari) la replica dello spettro nella banda utile è invertita rispetto a quella nella banda originaria Nel caso (k pari) la replica dello spettro nella banda utile non è invertita rispetto a quella nella banda originaria Ø Se l inversione spettrale è un problema. 54

55 Segnale Inversione spettrale per segnali numerici. Spettro di ampiezza x(n) F Segnale Si invertono di segno i campioni dispari del segnale originale. Il relativo spettro risulta invertito. Spettro di ampiezza (inversione) x (n) = (-) n x(n) F 55

56 Formula di ricostruzione x a sen π ( t nt )/ ( t) = x ( nt ) c cos π ( t c 0 π ( t n T ) 0 + n= k + = c c requenza di centro banda nt) 56

57 Ovvero: x c (nt) x a (t) iltro passa-banda ideale (analogico) = k c = ( k + ) c 57

58 . Campionamento delle componenti I e Q x a (t) B B 0-0 x a ( t) = a( t) cosπ 0 t b( t) senπ 0 a(t) componente I (in ase) b(t) componente Q (in quadratura) a( t) A( ) B = 0, per b( t) B( ) 0 t 58

59 A. Metodo tradizionale cos π 0 t H( ) x a (t) A/D a(nt) H( ) A/D b(nt) sen π 0t H( ) iltro passa-basso per c = /T = B B 59

60 Problemi: moltiplicatori identici (analogici) sinusoidi esattamente sasate di 90 (generate analogicamente) iltri (analogici) identici nei due rami due A/D sincroni 60

61 B. Metodo numerico cosπ 0nT ' H( ) Sottocampionam. al passo T a(nt) x a (t) A/D x c (nt ) c =/T H( ) Sottocampionam. al passo T b(nt) senπ 0nT ' c = /T = B H( ) iltro numerico passa-basso per B 6

62 Vantaggi: un solo A/D (anche se più veloce) sinusoidi (numeriche) esattamente sasate di 90 iltri identici (numerici) 6

63 CONVERSIONE A/D CON CAMPIONAMENTO REALE [Cap..4] Due contributi:. Aliasing o ripiegamento dello spettro. Tempo non istantaneo di campionamento (aperture time del S/H) 63

64 . Ripiegamento dello Spettro e Filtro di antialiasing segnale da campionare x a (t) A/D x(nt) t Filtro di antialiasing Il iltro di antialiasing limita la banda del segnale in modo da ridurre la distorsione spettrale Filtro di antialiasing = passa basso non ideale 64

65 G a ( ) Densità spettrale di potenza c / S/ D/ 65

66 Distorsione spettrale introdotta dal campionamento In generale D c ( ) = G a( k c ) < T k 0 c Se veriicate le condizioni ) e ) di assenza di sovrapposizione spettrale D c ( ) = 0 Altrimenti ( ) 0 D c 66

67 Si può deinire un rapporto segnale/ distorsione di campionamento: S = D Potenza del segnale utile Potenza della distorsione S = c T / 0 G a ( ) d D = c / 0 D c ( ) d = T c / G a ( ) d 67

68 . Tempo di campionamento non istantaneo x a (t) x c (nt) T p(t) τ τ P ( ) = senπ τ π τ 0 t x ' c ( nt ) = τ nt + τ / x a nt τ / ( t) dt invece di x c (nt) [ x ] a ( t) p( t t= nt = ) 68

69 Si campiona un segnale con spettro X a ( ) P( ) P( ) [invece di X a ( )] X a ( ) B X c ( ) τ τ c 69

70 Conclusione Il campionamento di un segnale mediante un impulso di durata non nulla può essere trattato come il campionamento ideale del segnale iltrato dallo spettro dell impulso di campionamento. è Conclusione valida per qualsiasi P( ) τ << Τ è Se eetti trascurabili Altrimenti se ne deve tenere conto 70

71 Nel caso di impulso rettangolare lo spettro del segnale campionato viene distorto da una unzione Altrimenti si compensa la distorsione con un iltro con risposta nella banda utile del segnale del tipo P( ) P ( ) = senπ τ π τ spesso trascurabile se π τ =, senπ τ τ è piccolo. B 7

72 a) prima del campionamento (compensazione analogica) x a (t) P( ) A/D reale x c (nt) Filtro analogico (può essere incluso nel iltro di antialiasing) b) dopo il campionamento (compensazione digitale) x a (t) A/D reale x c (nt) P( ) Filtro numerico (è suiciente nella banda del segnale di ingresso) 7

73 Quantizzatori non uniormi Progetto ottimo (Lloyd-Max) Out R i S i- S i In 73

74 Quantizzatori non uniormi Progetto ottimo (Lloyd-Max) P q = E[(x x q ) ] deve essere minimo NX Z si P q = (x R i ) X (x)dx i= s i " Z dp q = d si Z # si+ (x R i ) X (x)dx + (x R i+ ) X (x)dx = ds i ds i s i s i =(S i R i ) X (S i ) (S i R i+ ) =0 ) S i = R i + R i+ dp q dr i = ) R i = d dr i R Si Z Si Si R Si Si Si (x R i ) X (x)dx = x X(x)dx X(x) Z Si Si (x R i ) X (x)dx =0 74

75 Quantizzatori non uniormi y=g(x) Y (y)dy = X (x)dx Y (y) = X (x) dx dy = X(x) = dy X (x) g 0 (x) dx cost = X (x) g 0 (x)! g0 (x) = X (x)! g(x) F X (x) 75

76 Companding (Compresion-Expanding) 76