t [ 1,2]. gds = g(γ(t)) γ (t) dt (9t+16t 3 ) 8t 4 +9t 2 +2dt = 1 3 (8t4 +9t 2 +2) 3/2 2 1 = t 1+t 2

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1 Soluzioni appello scritto del ebbraio 207 Esercizio Si consideri la curva γ R intersezione ra la supericie di equazione x y 2 ed il graico della unzione (x,y) x 2 +y 2 Siorniscaunaparametrizzazionedell arcodi γ checollegailpunto(,, 2) con il punto (4,2, 20) γ è regolare? Motivare la risposta Si calcoli l integrale lungo γ della unzione g(x,y,z) +x(9y +6xy) I punti della curva appartengono ad entrambe le superici quindi le loro coordinate (x(t), y(t), z(t)) devono sodisare entrambe le equazioni: x(t) y(t) 2, z(t) x(t) 2 +y(t) 2 Scegliamo come parametro la coordinata y dei punti Abbiamo dunque y(t) t, x(t) t 2 e z(t) t 2 +t 4 L intervallo di variazioned el parametro t viene determinato risolvendo le equazioni γ(a) (,, 2) e γ(b) (4,2, 20), da cui a e b 2 La parametrizzazione cercata è dunque γ(t) (t 2,t, t 2 +t 4 ), t [,2] La curva è regolare se ammette una parametrizzazione regolare( cioé di classe C e tale che in vettore tangente non si annulla mai) La parametrizzazione che abbiamo ottenuto al punto precedente non è regolare, inatti la terza componente di γ, la unzione z(t) t 2 +t 4 non è di classe C in quanto z (t) t +2t 2 t +t 2 elim t 0 +z (t),mentrelim t 0 z (t) Possiamoanche dedurre che il punto di coordinate γ(0) (0,0,0) è un punto di discontinuità del vettore tangente perché lim t 0 +γ (t) (0,,), mentre lim t 0 γ (t) (0,, ) e quandi la curva non può ammettere nessuna parametrizzazione regolare γ gds 2 2 g(γ(t)) γ (t) dt (9t+6t ) 8t 4 +9t 2 +2dt (8t4 +9t 2 +2) /

2 Esercizio 2 Si consideri l insieme Ω R 2 deinito da Ω {(x,y) R 2 : x 2 +y 2 2,y 2 x 2 } Si rappresenti graicamente Ω Si calcolino i punti di massimo e di minimo assoluto su Ω delle unzione (x,y) x+2y Ω è la parte del cerchio di centro (0,0) e raggio 2 compresa ra i due rami di iperbole di equazione y 2 x 2 (si veda igura) Si noti che ( le curve ) x 2 +y 2 2 e y 2 x 2 si intersecano in 4 punti di coordinate,, 2 2 ( ) ( ) ( ),,,,, le curve x 2 +y 2 2 e y 2 x 2 L insiemeωèchiusoelimitatoelaunzione ècontinuaquindi, perilteorema di Weierstrass, ammette massimo e minimo assoluto su Ω Il gradiente di non si annulla mai in quanto (,2) quindi non abbiamo punti interni ad Ω candidati ad essere di massimo e di minimo assoluto per Per quanto riguarda lo studio del bordo di Ω, questo è composto da due archi di circonerenza e due archi di iperbole Studiamo separatamente queste parti del bordo tramite il metodo dei moltiplicatori di Lagrange Per quanto riguarda le parti del bordo di Ω che giacciono sulla circonerenza di equazione x 2 +y 2 2, utilizziamo la Lagrangiana L(x,y,λ) x+2y λ(x 2 +y 2 2) e risolviamo il sistema 2λx 2 2λy x 2 +y 2 2

3 ( ) ( ) 2 Otteniamo le soluzioni,2 2 2,, 2 2 che non appartengono agli archi di circonerenza che ormano parte della rontiera di Ω Controlliamo anche( il valore ) che( launzione ) ( assumeagli ) estremi ( di questi ) archi, ciońei punti,,,,,,, Abbiamo ( ) 2, ( ) 2, ( ) 2, ,7 ( ) 2, Controlliamo inoltre le parti del bordo di Ω che giacciono suirami di iperbole di equazione y 2 x 2, utilizziamo la Lagrangiana L(x,y,λ) x+2y λ(y 2 x 2 ) e risolviamo il sistema 2λx 2 2λy y 2 x 2 ( ) ( Otteniamo le soluzioni, 2 e ),2 che sono accettabili in quanto appartengono agli archi di iperbole che compongono il bordo di Ω In tali punti la unzione vale: ( ), ( ), ( ) Conludendo, il punto di massimo assoluto è, in cui la unzione vale 2 2 ( ) , mentre il punto di minimo assoluto è, in cui la unzione vale 6 4 2

4 Esercizio Si consideri la curva α(t) (t t, t 2 ), t [,] Si veriichi che la curva è chiusa, e se ne disegni approssimativamente il sostegno, indicando il verso di percorrenza Si calcoli l area dell insieme racchiuso dal sostegno di α Qual è il versore normale N nel punto α(0)? La curva è chiusa, inatti α( ) α() (0,0) Il sostegno è quello illustrato in igura ed il verso di percorrenza è orario il sostegno della curva α(t) (t t, t 2 ), t [,] Applicando Gauss-Green abbiamo A 2 (t 2,t t ) ( t 2, 2t) 8 5 in α(0) (0,) abbiam0 α (0) T(0) (,0) e N(0) (0, ) Esercizio 4 Si considerino il campo vettoriale F(x,y,z) (x,y,y 2 x 2 ) e l insieme V R deinito da { V (x,y,z) R : z x 2 2x 2y 2,z x 2 +2x y 2 +y 7 } 4

5 Si calcoli il lusso uscente di F attraverso il bordo di V (cioè la supericie V che delimita V) Applicando il teorema della divergenza abbiamo che il lusso uscente di F attraverso il bordo di V è dato dall integrale divfdxdydz 2Vol(V) V Per calcolare il volume di V utilizziamo la tecnica di integrazione per ili rappresentando V come l insieme { V (x,y,z) R : x 2 +2x y 2 +y 7 } 4 z x2 2x 2y 2,(x,y) dove R 2 èl insiemedelpianodeinitodalladiseguaglianzax 2 +2x y 2 +y 7 4 x 2 2x 2y 2, cioè l ellisse (x+/2) 2 + (y+/2)2 4 Applicando la tecnica di integrazione per ili abbiamo Vol(V) 2 0 4π π x 2 2x 2y 2 ( dz)dxdy x 2 +2x y 2 +y 7 4 (/4 4x 2 4x y 2 y)dxdy (4 4(x+/2) 2 (y +/2) 2 )dxdy 0 (4 4ρ 2 )2ρdρdθ dove per calcolare l integrale su abbiamo utilizzato le coordinate ellittiche x /2+ρcosθ, y /2+2ρsinθ Applicando dunque il teorema dlla divergenza abbiamo F ˆndS 2Vol(V) 8π V