SEGNALI PERIODICI, SEQUENZE, TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER. 1 Fondamenti Segnali e Trasmissione

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1 SEGALI PERIODICI, SEQUEZE, RASFORMAA DISCREA DI FOURIER Fndamenti Segnali e rasmissine

2 Rappresentazine dei segnali peridii () Un segnale peridi n perid pu essere rappresentat me smma di espnenziali mplessi n requenza pari ad un multipl inter della requenza ndamentale / e n pprtuna ampiezza e ase iniziale: { j( π t + ϑ )} A exp{ jϑ } exp{ jπ t} x( t) A exp Per maggir mpattezza delle rmule nviene intrdurre il eiiente mpless { jϑ } A exp ttenend: x( t) exp x(t) ripetizine peridia di g(t) n perid : Fndamenti Segnali e rasmissine { jπ t} x n ( t ) g( t n )

3 Rappresentazine dei segnali peridii () A L ampiezza e l sasament iniziale degli espnenziali mplessi (detti mpnenti armnihe), ié i eiienti mplessi, si trvan n un semplie integrale: ϑ / / x( t )exp( jπ t ) dt L svilupp del segnale peridi nelle sue mpnenti armnihe viene dett serie di Furier (gli sn hiamati eiienti della serie di Furier). Pihé g(t), segnale base di x(t), é null uri dall intervall gli si pssn anhe allare: g( t )exp( jπ t ) dt + ( ) 3 Fndamenti Segnali e rasmissine G (, )

4 Esempi di espansine in serie di Furier: l nda quadra x(t) / / / t Il segnale base é g(t)ret(t/ ) G ( ) ( / ) sin( / ).6.4 sin ( / ) sin ( π / ) π Fndamenti Segnali e rasmissine

5 Le prime armnihe dell nda quadra x( t) + Re ( ) s( π t) Im( ) sin( π t) 5 Fndamenti Segnali e rasmissine

6 Espansine parziale in serie di Furier dell nda quadra Armnihe, Armnihe,,3, Armnihe,,3 Armnihe,,3,5,7 6 Fndamenti Segnali e rasmissine

7 rasrmata di Furier di segnali peridii E pssibile allare la DF di un segnale peridi? Sruttand la sua srittura in serie di Furier, é pssibile, e mlt semplie: ( ) I[ x( t )] I exp( jπ t ) I[ exp( j π t )] δ ( ) La DF di un segnale peridi é una sequenza di impulsi di Dira, spaziati di multipli della requenza ndamentale ( / ), n pesi pari ai eiienti della serie di Furier: g n ( t n ) G( ) δ ( ) Segnali peridii nel temp DF Sequenze (di impulsi) in requenza ( t n ) g n g(t) G()/ G ( ) δ ( ) 7 Fndamenti Segnali e rasmissine

8 Densità spettrale di ptenza per segnali peridii La densità spettrale di ptenza di un segnale x(t) peridi di perid è deinita me: - per i segnali peridii vale: P - la DF di x(t) é / Parseval per segnali peridii + x( t ) dt S x ( ) d ( ) δ ( ) S x Dve gli sn i eiienti dell espansine in serie di Furier. Inatti... / ( ) δ ( ) e quindi iltrand passa-banda x(t) intrn a si estrae sl δ la ui ptenza vale (ptenza di un espnenziale mpless ptenza di una stante) 8 Fndamenti Segnali e rasmissine ( )

9 Esempi e nseguenze x( t Sinuside: A A ) A sin( π t ) S x δ 4 4 P x A 4 + A 4 A ( ) δ ( + ) + ( ) OK! A/ - -A/ Im[()] La smma di due segnali peridii senza righe nella stessa requenza ha un ptenza data dalla smma delle ptenze x( t se ) Asin( π t ) + P B s( π A y + t ) B - B/ - A/ () A/ B/ 9 Fndamenti Segnali e rasmissine

10 Segnali peridii: tren di impulsi Un tren di impulsi di ampiezza unitaria, spaziati di stituisn un partilare segnale peridi x n n ( t ) δ ( t n ) ( ) ( ) ( ) g t δ t, x t g( t n ) La DF del segnale base é la stante unitaria: G( ) δ n ( t n ) δ ( ) / - t - Fndamenti Segnali e rasmissine

11 rasrmata di Furier di sequenze Per dualità, se nsideriam una sequenza di impulsi pesati n un segnale disret ttenut p.e. ampinand un segnale ntinu x( t) n pass, i aspettiam he la sua DF sia peridia in requenza, di perid /. Inatti: n x n δ ( t n ) ( ) x n Sequenze (di impulsi) nel temp DF Segnali peridii in requenza n x( n ) ( ) x(t) δ t n ( ) ()/ dim: se x t, si ha: + n x + ( n ) δ ( t n ) x( t) δ ( t n ) ( ) δ ( ) ( ) ( ) ( ) n Fndamenti Segnali e rasmissine + +

12 Dualità tra serie di Furier e segnali ampinati E interessante sservare he dal punt di vista matemati serie di Furier e ampinament sn del tutt equivalenti (è un esempi ntevle di dualità). el prim as la rma d nda nel temp é peridia (ripetizine di un perid della rma d nda) e la trasrmata di Furier è disreta (ampinata). el send as é ampinat il segnale ed è peridia la trasrmata di Furier (ripetizine della trasrmata del segnale). Dal punt di vista delle appliazini serie di Furier e ampinament sn invee prndamente diversi, perhé da un punt di vista isi temp e requenza sn ben distinti. Mentre una sequenza disreta di ampini è quasi sempre un segnale (he prta inrmazine ad un destinatari) spess una rma d nda peridia nn è un ver segnale (vist un perid nn e altr di interessante da aspettarsi!). Fndamenti Segnali e rasmissine

13 Dmini del temp Dmini delle requenze Segnali peridii di perid DF Sequenze di impulsi spaziati di / / t Sequenze di impulsi spaziati di DF Segnali peridii di perid / / t Si dedue he la DF di una sequenza peridia é anh essa una sequenza peridia: Sequenze di impulsi spaziati di peridihe di perid DF Sequenze di impulsi spaziati di / peridihe di perid / / / t 3 Fndamenti Segnali e rasmissine

14 rasrmata di Furier di una sequenza peridia Una sequenza di impulsi spaziati nel temp di, peridia di perid n sequenza dei pesi x n (peridia di perid ), ha trasrmata di Furier peridia di perid, del tip xnδ n ( t n ) δ ( ) quindi anhe la sequenza é peridia di perid, perhè /. / / t Si può dimstrare he tra le sequenze x n e (per le quali si può limitare l sservazine ad un sl perid) vale la dppia relazine di tip disret : n j π xne xn n e n j π Si nti he a parte i eiienti mltipliativi, tali relazini nn dipendn direttamente da e ma sl dal lr rapprt /. 4 Fndamenti Segnali e rasmissine

15 rasrmata Disreta di Furier (DF) ~ La sequenza prende il nme di rasrmata Disreta di Furier (DF) della sequenza x n DF ~ [ ] xn : n n j π La rmula di antitrasrmazine (rasrmata Disreta di Furier Inversa, IDF), essend / /, risulta x n e IDF ~ [ ] : xn ~ e n j π utti i tl di elabrazine numeria inludn tali perazini. i le userem per il all numeri delle DF, in quant + j π j πt j πn ( t) e dt x( n ) e x( n ) e DF [ x( n )] x + n 5 Fndamenti Segnali e rasmissine n n