Esercitazione su DOA (18 Giugno 2008)

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1 Eseritazione su DOA (8 Giugno 8) D. Donno Eserizio : DOA e periodogramma Si onsideri una shiera di N7 sensori (antenne omnidirezionali) on spaziatura su ui inide un onda elettromagnetia ( 3 8 m/s) monoromatia alla frequenza f o GHz on direzione di arrivo (DOA) θ e potenza unitaria (E[ A o ] ): x n A o exp(j ω on sin θ ) + w n, n,..., N si assuma inoltre he il rumore w n gaussiano omplesso su ogni sensore abbia potenza pari a / della potenza del segnale: E[ w n ].. a) Si sriva la relazione tra la pulsazione spaziale u normalizzata tra ±π e i valori θ e. b) Si determini assumendo he θ possa variare entro l intervallo ±9 deg. Si aloli il valore medio del periodogramma e si individuino l insieme delle DOA Θ {θ, θ,...} ammissibili per ui il periodogramma non risulta polarizzato. b) Si individui tra l insieme Θ individuato al punto (b) le due DOA he hanno massima e minima risoluzione angolare. Si aloli la risoluzione angolare in radianti. b3) Per una delle DOA dell insieme Θ, si definisa uno stimatore ragionevole della potenza di rumore e se ne aloli la varianza. ) Si ripeta il punto (b) assumendo he θ possa variare entro l intervallo [ deg, 5 deg]. on Soluzione a) La pulsazione spaziale normalizzata è funzione di θ e ed è pari a: u ω o sin θ π sin θ f m b) Per θ [ 9 deg, 9 deg] si seglie / 5m da ui: u π sin θ Le elle del periodogramma sono uniformemente spaziate a passo π/n π/7 da ui la k-esima ella: u k π 7 k Avendo ampionato uniformemente le pulsazioni, le direzioni d arrivo risultano essere ampionate più dense per θ e meno dense per θ ±9 deg. Il periodogramma è definito ome: dove Ŝ N (u k ) X k N X k 7 X k A o Nδ k k + W k k 3,,,,,, 3

2 Per non avere polarizzazione la sinusoide (spaziale) deve ompiere un numero intero di ili entro i N7 sensori, avendo selto il passo di ampionamento si è obbligati nella selta delle DOA ovvero: u k π 7 k π sin θ k per k 3,..., 3 (nota he mana il ampione al Nyquist) θ k sin ( 7 k) Θ {, ± sin ( 7 ), ± sin ( 4 7 ), ± sin ( 6 )} [, ±6. 6 deg, ± deg, ± deg] 7 Supponendo he il periodogramma risulta non polarizzato, il valore medio del periodogramma è: E[ A ]N + σw k k E[Ŝx(k)] σw k k on k 7 sin θ. b) La massima/minima risoluzione si ha per θ max deg e θ min ± deg rispettivamente, i valori sono: θ max deg θ max θ min ± deg θ min N os θ max N os θ min u π os θ max 7 8 rad deg deg π 7 7 os ( sin ( 6 7 ))rad 3 3rad deg b3) Per la stima della potenza di rumore e suffiiente eliminare la ella he ontiene la somma della stima della potenza della sinusoide (spaziale) e del rumore, in sintesi se si onsidera la DOA θ (una delle DOA dell insieme Θ) allora la stima della potenza del rumore e (sommando su 6 elle): ˆP w 6 3 k 3 k k Ŝ 7 (u k ) il valore medio e la varianza di ˆP w sono: E[ ˆP w ] E[ Ŝ 7 (u k )] ( ) 6σ 6 6 w σ w. Var[ ˆP w ] Var[ 6 Ŝ 7 (u k )] 36 6σ4 w σ4 w 6 ) Nel aso l intervallo di valori ammissibili sia θ [ deg, 5 deg] allora e possibile rialolare la spaziatura assumendo: π sin(5 deg) π sin(5 deg) 5m 9. 58m 9. 58m sin(5π/8) u k π 7 k π sin θ k sin(5π/8) per k 3,..., 3 θ k sin ( 7 k sin(5π/8)) Θ {, ± sin ( 7 sin(5π/8)), ± sin ( 4 7 sin(5π/8)), ± sin ( 6 7 sin(5π/8))} [, ±. 643 deg, ±5. 96 deg, ±4. 4 deg] Ovviamente, vista la limitazione dell intervallo di DOA ammissibili (ovvero θ [ deg, 5 deg]) l insieme diventa Θ [, deg, deg, deg].

3 In alternativa (ma non era indiato nel testo) sarebbe stato possibile ruotare la shiera in modo da avere θ [ 3 deg, 3 deg], in questo aso π sin(3 deg) π sin(3 deg) 3m 3m u k π 7 k π sin θ k per k 3,..., 3 θ k sin ( k 7 ) Θ {, ± sin ( 7 ), ± sin ( 7 ), ± sin ( 3 7 )} [, ±8. 3 deg, ±6. 6 deg, ± deg] In questo modo ho massimizzato la risoluzione usando le 7 direzioni d arrivo. Eserizio : Stima AR e DOA 3deg Δ Si onsideri una shiera di tre rievitori a spaziatura su ui arriva un segnale di potenza unitaria a banda stretta attorno alla pulsazione ω e direzione di arrivo di 3 rispetto alla shiera, si indihi on x i in segnale omplesso all i-esimo sensore. Sia poi addizionato al segnale un disturbo biano omplesso w i Re(w i ) + jim(w i ) di potenza. ed indipendente dal segnale x i E[ x i ] ; i,, 3 E[ w i ].; i,, 3; E[Re(w i )Im(w j )] ; i, j,, 3; E[x i w j ] ; i, j; all i-esimo sensore si ha la sovrapposizione segnale e disturbo: y i x i + w i Sia anhe: ω π 3

4 dove abbiamo indiato on la veloità di propagazione dell onda. a) Si aloli la matrie di ovarianza tra i rievitori R, i ui elementi sono E[y i y j ]. b) Si aloli lo spettro del segnale y i utilizzando un modello AR di ordine e si disegni lo spettro parametrizzato in funzione dell angolo d arrivo θ. ) In modo analogo alla domanda (b) si aloli spettro AR di ordine del segnale e si disegni lo spettro in funzione dell angolo di arrivo θ. Soluzione a) La spaziatura tra i sensori è tale he: ω π π f f I segnali ai sensori per direzione di arrivo θ 3deg sono: π y i x i + w i A exp[jπ (i ) sin θ] + w i A exp[j π (i )] + w i, i,, 3; dove si è omesso, per sempliità, il termine temporale e si è selto (arbitrariamente) di riferire gli sfasamenti lungo la shiera rispetto al primo sensore. E onveniente usare una notazione vettoriale per i segnali: w y x + w A j + w w 3 la ui matrie di ovarianza risulta: r r R E[y y r ] r r r E[ A ] r r r j j j j si noti la simmetria Hermitiana. b) Per il modello AR() è neessario srivere le equazioni di Y-W: [ r r ] [ ] [ ] [ ] [ σ. j r r a, j. e risolvere rispetto ad (a,, σ ): + σwi a, a, r r.9 exp( jπ/).9j σ r r r.9 ] [ σ. j j. j j. Il polo del modello AR() si ha per z a,.9 exp(jπ/) ovvero per la pulsazione π/. Usando la relazione tra frequenze spaziali e direzioni d arrivo angolari, trovo he la frequenza spaziale di π/ orrisponde alla direzione d arrivo θ 3 deg. Infatti: ] u π sin θ π ) Per il modello AR(): r r r r r r r r r π / a, a, sin θ sin θ / θ 3 deg σ 4. j j. j j. a, a, σ

5 risolvendo: I poli sono dati dalle radii del polinomio: a, r r r r r. 4769j r a, r r r r r σ r + r a, + r a,.477 z. 4769jz {z exp(jπ/)}, {z exp( jπ/)} he orrispondono alle direzioni d arrivo di 3 deg e 3 deg. Eserizio 3: Periodogramma di due DOA Si onsideri di un proesso s(n) d (n) + d (n) + w(n) A e jk n + A e jk n + w(n), on n,..., N rappresentato dalla somma di due onde piane monoromatihe he inidono su una shiera lineare di N sensori spaziati di e on direzioni di arrivo (DOA) θ e θ 45 ; le ampiezze A e A sono variabili asuali indipendenti di uguale potenza. Ai segnali è sovrapposto un rumore gaussiano omplesso (ovvero w(n) w R (n) + jw I (n)) a valore medio nullo e i ui ampioni sono spazialmente inorrelati: E[A ] E[A ] ; E[A A ] ; E[ A ] E[ A ] ; E[w(n)w (m)] σ wδ(n m); E[w R (n) ] E[w I (n) ] σ w/; E[w R (n)w I (n)] Si riorda he k i π sin θ i dove la lunghezza d onda e di 3m. a) Si determini la distanza tra i sensori affinhe uno dei due segnali sia ampionato spazialmente alla frequenza di Nyquist; a) Si definisa il periodogramma per la sequenza di ampioni dagli N sensori e si aratterizzi il valore medio dello stimatore evidenziando eventuali polarizzazioni (se presenti); a3) Si valuti la risoluzione del periodogramma quando questa e misurata in angoli, differenziando la risoluzione per le due DOA θ e θ 45 (perhe la risoluzione e diversa nei due asi?). b) Si ruoti la shiera rispetto alle due DOA nominali e si determini quali possono essere le distanze m tra i sensori perhé la polarizzazione risulti nulla; b) Tra le soluzioni al punto b si aloli la distanza m tra i sensori he garantise la massima risoluzione per le due DOA, alolando la risoluzione in questo aso. Soluzione a) x n A e j π sin θ n + A e j π sin θ n + w n π sin θ π π.3m Con questa selta di le due pulsazioni spaziali normalizzate sono: u ; u π; 5

6 a) Il periodogramma è definito ome: Ŝ x (k) X k N X k Per non avere polarizzazione deve essere: u k π k 5, 4,...,,,,..., 5, 6 sin θ k π sin θ k π k Le due sinusoidi in θ e θ oupano esattemente le elle k e k6 del periodogramma. In entrambi i asi si ha un numero intero di ili entro la shiera di N sensori, per ui non si ha polarizzazione. Infatti: π sin θ π k k π sin θ π k k π π 6. Il valore medio del periodogramma è: E[ A ]N + σw k E[Ŝx(k)] E[ A ]N + σw k 6 σ w k, 6 a3) La risoluzione angolare dipende dall apertura della shiera ed è diversa per le due DOA in quanto sono differenti le aperture della shiera quando questa viene illuminata dalle due direzioni, in partiolare: θ N os θ N N.7 rad deg θ N os θ N. 66 rad 9. 5 deg Per alolare la risoluzione angolare sarebbe stato possibile trovare il primo zero della ella di risoluzione spettrale (si riorda he per un periodogramma la risoluzione spettrale vale π/n) e trasformarlo in angoli on la relazione he lega pulsazioni spaziali e DOA. b) Ruotando la shiera in modo he la normale sia la bisettrie delle due DOA (quindi θ θ 45/ deg) si può segliere la spaziatura m in modo da avere le due pulsazioni spaziali oinidenti on i valori ±πm/n (m-esima ella del periodogramma in pulsazioni normalizzate, il segno ± si riferise ai due valori θ e θ ), on m,,..., N/. Con questa selta la polarizzazione è nulla e si ha u π sin θ πm N m N sin θ m 3m 6. 53m [m] per m,,..., 5 sin(π/8) Il alolo per θ è duale, basta ambiare il segno. Si noti he nonj posso segliere m o m 6, altrimenti avrei entrambe le sinusoidi alla ontinua o al Nyquist e quindi non avrei risoluzione tra le due. b) La risoluzione assoiata alla DOA in θ (è la stessa anhe per θ ) si alola ome: θ N m os θ tan θ m l angolo è minimizzato (la risoluzione è massimizzata) per m5: θ,min tan π/ rad

7 Nota he la spaziatura tra i sensori è m. Nel aso appena risolto ho la massima risoluzione (la shiera ha la massima apertura ompatibilmente on le due DOA) ma ho la massima sensibilita della polarizzazione ad errori di DOA in quanto le due DOA oupano due elle quasi ontigue sul periodogramma (le elle ±5 su un periodogramma da N). Ruotando la shiera si può segliere la spaziatura in modo da avere le due pulsazioni spaziali a ±π/ (massima separazione spettrale reiproa tra le due omponenti angolari). 7