ENS Esame del 30 giugno 2010

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1 ENS Esame del 30 giugno 00 L allievo é invitato a dare una ragionata e succinta risposta a tutti gli argomenti proposti, per dimostrare il livello di preparazione globale. I calcoli devono essere sviluppati nel seguito. Gli esercizi devono essere risolti solo sui fogli dei colori indicati; si consiglia una lettura attenta del testo degli esercizi. Per esiti e soluzioni si usi l indirizzo Internet: Per la discussione dello scritto si contatti il docente via rocca@elet.polimi.it Esercizio N. (foglio bianco) punti (Esame intero) Si realizzi un filtro numerico passa basso con risposta all impulso di andamento rettangolare e di durata N campioni e la cui frequenza di taglio (primo zero) è f c /5, dove con f c è stata indicata la frequenza di campionamento. Il guadagno a frequenza zero deve essere 00. a) [+3 punti] Si determinino la risposta all impulso e la funzione di trasferimento. b) [5 punti] Si costruisca il filtro come un filtro a campionamento in frequenza e quindi si trovino le posizioni degli zeri del filtro. c) [3+ punti] Si trovi la funzione di autocorrelazione della risposta all impulso del filtro e la potenza del segnale in uscita quando il filtro è alimentato da una sequenza bianca {w k } di potenza unitaria. c) [7 punti] Utilizzando la tecnica di Yule Walker, si progetti un filtro IIR a due poli che approssima la funzione di trasferimento del filtro realizzato. Si trovino anche i due coefficienti di riflessione. Esercizio (foglio giallo) [punti ]: Periodogramma (Esame intero; Prima domanda per chi ha fatto la prima prova) Si considerino campioni di una sequenza casuale a valor medio nullo, bianca, di potenza unitaria gaussiana (sceglierli a partire dal numero corrispondente alla prima lettera del nome e poi ciclicamente) : A partire dagli campioni della sequenza misurata, se ne stimino: a) [+3 punti] Il valor medio. Si trovi sia il valor medio che la varianza dello stimatore, e si trovi la differenza tra il valore campionario ed il valore atteso. Si confronti questa differenza (al quadrato) con la varianza attesa. b) [+3 punti] La potenza. Si trovi sia il valor medio che la varianza dello stimatore, e si trovi la differenza tra il valore campionario ed il valore atteso. Si confronti questa differenza (al quadrato) con la varianza attesa. c) [+3 punti] Le ampiezze del periodogramma a frequenza zero e a frequenza di Nyquist. Si si trovino le differenze tra il valore campionario ed il valore atteso e le si confrontino (al quadrato) con la varianza del periodogramma che, per queste celle del periodogramma è pari a. d) [3+ punti] Si facciano i periodogrammi di lunghezza e si ripetano le stime delle ampiezze del periodogramma a frequenza zero e a frequenza di Nyquist, mediando i quattro risultati. Si confrontino i valori campionari ottenuti con quelli attesi e con la dispersione attesa.

2 Esercizio 3 (foglio azzurro) [punti ]: Direzioni di arrivo (Seconda domanda per chi ha fatto la prima prova) Un segnale acustico (c = 330m/sec) a frequenza 330Hz è ricevuto da due sensori distanti 0cm. [++ punti] Nei tre casi in cui le direzione di arrivo siano θ =0 0, 5 0, 60 0, si trovino i contenuti delle due celle del periodogramma, e si faccia qualche considerazione sulla mediocre stima spettrale risultante. [3+3+3 punti] Nei tre casi in cui le direzione di arrivo sia a θ =0 0, 5 0, 60 0, si trovino i valori della funzione di autocorrelazione e le tre posizioni del polo del filtro ricorsivo di primo ordine con cui si rappresenta lo spettro. [7 punti] S trovi l incertezza della direzione di arrivo utilizzando la stima AR(), supponendo che al segnale sia sovrapposto un rumore di potenza 0 db inferiore a quella del segnale. Nota: Le sirene bitonali hanno due frequenze: 39 e 660Hz.

3 Soluzioni Esercizio h n = 0; n =0:; x i =0 H (z) =0 z 5 z () X h=0 Igrafici sono riportati in seguito a meno del fattore 0. w i h ; E [w h w k ]=σ wδ (h k) () y r 0 = E[x i ] = 00 E r = E[x i x i ] = 00E[ a, a, X h=0 X h,k=0 w i h x w h w k = 000σ w (3) X w i k ] = 600σ w () k=0 r = 00σ w (5) c = a, = = 0. (6) = = (7) c = 0. () H (z) = 0.9z +0.z (9) 3

4 y Nelcasoditrepoli: x a,3 a,3 a 3,3 = = (0) H (z) = 0.75z +0.5z 3 () y x Esercizio bm = 7X x i ; Var( bm) =E bm E [ bm] = 6 σ x = k=0 () bp = 7X x i ; E [bp] =;Var(bp) =E bp E [bp] = (3) k=0 = 7X 6 E x i x j = ( ) =0.5 () 6 i,j=0

5 Ã 7X " 7X # P (0) = x i! ;;E [P (0)] = E x i = σ x (5) i=0 i=0 Ã 7X! " 7X # P (5) = ( ) i x i ; E [P (5)] = E ( ) i x i = σ x (6) i=0 i=0 Ã 7X! Var[P (0)] = Var[P (5)] = E x i σ x =σ x (7) Usando la formula E [x x x 3 x ]=E [x x ] E [x 3 x ]+E [x x 3 ] E [x x ]+E [x x ] E [x x 3 ] () i=0 risulta infatti che: Ã 7X! E x i = (9) i=0 6 7X i,j,k,l=0 (E [x i x j ] E [x k x l ]+E [x i x k ] E [x l x j ]+E [x i x l ] E [x k x j ]) = (0) σ x 6 7X i,j,k,l=0 ( ) σ x =σ x () Nel caso specifico: Si considerano, per una realizzazione del processo casuale, i seguenti possibili campioni di una sequenza gaussiana a valor medio zero e varianza unitaria: {x i } =0., 0.5, 0., 0., 0,.5, 0.6,.3; i =0,...7 () a) Lo stimatore bm del valore medio della sequenza è, al solito: bm = X x i (3) bm = = 0.5 () Il valore atteso dello stimatore è ovviamente: E [ bm] = n= X E [x i ]=0 (5) n= 5

6 La varianza dello stimatore è h Var[ bm] =E ( bm) i E [( bm)] = 6 X E [x i x j ]= = σ bm (6) i,j= Si osserva che, in questo caso r bm E [ bm] = 0.5 < =0.35 = σ bm (7) b) Uno stimatore possibile del valore medio della potenza della sequenza è, al solito: bp = X x i () n= bp = =0.6 (9) E [bp] = X E x i = (30) n= h Var[bp] = E (bp) i E [(bp)] (3) = X E x i x 6 j = i,j= (3) = 0.5 = N σ x (33) Si osserva che, in questo caso bp E [p] = 0.6 =0.39 < 0.5 = 0.5 (3) c) [+3 punti] Le ampiezze del periodogramma a frequenza zero e a frequenza di Nyquist. Si si trovino le differenze tra il valore campionario ed il valore atteso e le si confrontino (al quadrato) con la varianza del periodogramma che, per queste celle del periodogramma è pari a. I valori della DFT della sequenza data, a frequenza zero e a frequenza di Nyquist, sono X k = 7X n=0 e quelli del periodogramma sono: W nk x n X 0 =, X =0. (35) P 0 = X 0 =0.5 =; P = X =0.0 (36) 6

7 Il valore atteso del periodogramma è invece: " # X k E = N N E 7X " 7X W nk x n = N n=0 n,m=0 W (m n)k E [x n x m] (37) Lavarianzaèesiosservaancoracheledifferenze tra il valore trovato e il valore atteso sono inferiori a., radice della varianza. d) [3+ punti] Si facciano i periodogrammi di lunghezza e si ripetano le stime delle ampiezze del periodogramma a frequenza zero e a frequenza di Nyquist, mediando i quattro risultati. Si confrontino i valori campionari ottenuti con quelli attesi e con la dispersione attesa. I quattro periodogrammi di lunghezza sono # = X 0, N x 0 ± x (3) 0. ± 0.5 = 0.; ± 0. = 0.05; 0.5 (39) 0 ±.5 =.5;.5 (0) 0.6 ±.3 = 0.5;.05 () Le medie sono molto meno disperse che nel caso di un periodogramma solo:. Esercizio 3 La lunghezza d onda è: =0.5 () =0.765 (3) λ = 330 =m () 333 La rotazione di fase φ tra i due sensori nei 3 casi è, indicando con la distanza tra i due sensori: φ = k = ω sin θ 0. = π 0.sinθ =. {0; 0.7; 0.66} rad (5) c λ 7

8 Periodogramma: Per θ =0, la sinusoide a frequenza zero cade esattamente nella prima cella e non c è polarizzazione. I valori delle due componenti del periodogramma sono: ± exp (jφ) = 0,. 0. ;. 73, (6) e la stima è pessima. Invece con la stima AR r 0 =, ; r =exp(jφ) (7) exp (jφ) z = (). ed il picco spettrale ha ampiezza massima ε = 00, ed è alla frequenza spaziale corretta. L incertezza (3dB) della fase φ (numero d onda normalizzato) èpariaε equindi: µ ω sin θ δφ =. = δ 0. (9) c δφ =0. =0. δθ π λ cos θ δθ = 0. =0. {;.; } rad (50) π 0.cosθ e quindi tra 6 0 e 0.