1 Finestratura di una trasformata di Hilbert

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1 1 Finestratura di una trasformata di Hilbert Considerando la sequenza a n = 1 ( 1)n ; <n< n la si renda causale con un ritardo opportuno e la si tronchi con una finestra rettangolare di lunghezza N =3, o N =7; a) (punti3): Si determinino ampiezza e fase della trasformata di Fourier della sequenza {a n }. b) (punti3): Si determinino in modo qualitativo gli effetti del ritardo e del troncamento sulla caratteristica di fase ed ampiezza della sequenza {a n }. c) (punti3): Si determinino in modo quantitativo (N =3)gli effetti del ritardo e del troncamento sulla caratteristica di fase ed ampiezza della sequenza {a n }. d) (punti3): Si determinino in modo quantitativo (N =7)gli effetti del ritardo e del troncamento sulla caratteristica di fase ed ampiezza della sequenza {a n }. La sequenza rappresenta la risposta all impulso di un sistema lineare che ruota di 90deg tutte le componenti spettrali (trasformata di Hilbert). La sua trasformata è: H(f) = jsign(f) Può essere verificata calcolando prima il segnale continuo antitrasformata della funzione jsign(f) annullata fuori del periodo principale e poi campionare la funzione del tempo cosí ottenuta: h(t) = 1 cos(t/t) t/t h[n] = 1 ( 1)n n Dal momento che la sequenza ha risposta all impulso dispari (h n = h n ) la trasformata di Fourier e immaginaria. Il troncamento e equivalente alla moltiplicazione per una finestra (nel caso di troncamento la finestra e quella rettangolare), la trasformata risulta: {h n } N sin(f(2n +1)) n= N H(f) W (f) = jsign(f) = j sin(f) ancora immaginaria. Le sequenze di lunghezza ridotta sono: sign(f) sin(f(2n +1)) sin(f) A 3 (z) = 2 (z 1 z) = 2z 1 (1 z2 ) zeri: z 1,2 = ±1 A 3 (ω) = 2 (e jω e jω )= j sin ω A (z) = 2 (z 1 z)+ 2 3 (z 3 z 3 )= 2z 1 (1 z2 )+ 2z 3 3 (1 z6 ) A (ω) = j sin ω j 3 sin 3ω = j 1 µsin ω + 13 sin 3ω = j 8 3 sin ω 1+2cos 2 ω

2 Se le sequenze sono traslate per la causalita la fase della trasformata di Fourier e ancora lineare ma per ω =0 + la fase e /2 (mentre per ω =0 e +/2 in quanto la fase ha simmetria dispari in sequenze reali). Perilcalcolodeglizerisiricordichez =1e sempre una radice del polinomio 1 z N (basta verificare per sostituzione), infatti e noto che (si pensi alle serie troncate): N 1 X n=0 z n = 1 z N N 1 1 z 1 1 X z N =(1 z 1 ) Da questo segue che (se si vuole, si sostituisca z 2 = x): (1 z 6 )=(1 z 2 )(1 + z 2 + z ) n=0 z n A (z) = 2z 1 (1 z2 )+ 2z 3 3 (1 z2 )(1 + z 2 + z ) = 2z 1 (1 z2 )[1 + z 2 Per il calcolo dei zeri (oltre a z 1,2 = ±1): 3 (1 + z2 + z )] = 2z 1 z 2 [ z2 + z 3 ] z2 + z 3 =0 z 1,2,3, = ± 1 2 i ³ 6 ± 2 (1 z2 )[ z z2 3 ] 2

3 2 Cancellazione di una sinusoide a) [ punti]trovare il filtro a 3 zeri che cancella una sinusoide a 1000 Hz e ha guadagno unitario alle frequenze 0 e Nyquist; la frequenza di campionamento è f c =000 Hz. b) [3 punti] Trovarne la risposta nei tempi, nelle frequenze, e infine lo sfasamento a 200 Hz. c) [ punti] Trovare il più semplice filtro passa-basso a media mobile che abbia guadagno unitario a frequenza 0, zeri alla frequenza ±1000 Hz (la f c sia sempre 000 Hz). a+b) E conveniente rifarsi al calcolo della fdt secondo il metodo vettoriale. Il FIR H(z) =β(1 2cosθz 1 +z 2 )(1 αz 1 ) ha 3 zeri, per l attenuazione della sinusoide due di questi sono complessi coniugati z 1,2 = exp(±jθ) con θ =2/ e uno di questi è reale z 3 = α: ½ H(z =1)=1 H(z = 1) = 1 H(z) = = ½ β(1 2cosθ +1)(1 α) =1 β(1 + 2 cos θ +1)(1+α) =1 α = 1, β =1 Ã! Ã 1 1 2cos2/z 1 + z 2 1 1! z 1 La risposta all impulso è (filtro FIR di lunghezza ): Ã! h[n] = 1 [1, 1 (1 ), 1 (1 + ), 1 (1 )] c) Il più corto filtropassabassoamediamobile(lacuitrasformataèil sinc periodicizzato) che abbia i primi zeri a ±1KHz è rappresentato da zeri a spaziatura regolare di 1KHz sul cerchio di raggio unitario (non c è ovviamente le zero in z =1)ovvero: H(z) = 1 1+z 1 + z 2 + z 3 + z = 1 1 z 1 z 1 Il termine moltiplicativo 1/ è necessario per assicurare il guadagno unitario in continua. 3

4 3 Sfasatore puro e sfasamento ±/ Si progetti uno sfasatore puro, reale, causale e stabile, che sfasa di - 0 un segnale alla frequenza f N /2; in particolare si progetti un filtro del costo di 2 moltiplicazioni per campione. a) [3 punti] Si determini la trasformata z del filtro b) [3 punti] Si determini la risposta all impulso del filtro. c) [3 punti] Si determini la relazione tra la fase della trasformata z di una sequenza a fase minima e quella della sequenza a fase massima ottenuta invertendo l ordine dei campioni; si indichi con N +1il numero dei campioni della sequenza. Si tracci la caratteristica di fase del filtro. d) [3 punti] Si progetti lo sfasatore puro, reale causale e stabile, che sfasa di + 0 un segnale alla frequenza f N /2 sempre del costo di 2 moltiplicazioni per campione. É l inverso del filtro di cui al punto a)? E conveniente richiamare alcune proprietà delle sequenze a minima/massima fase. Uno sfasatore puro di ordine N causale e stabile è caratterizzato da una fdt: H(z) =ÃN(z) A N (z) dove A N (z) è a minima fase mentre ÃN(z) è a massima fase. La convoluzione tra una sequenza di lunghezza N e la sequenza ottenuta da quest ultima per ribaltamento e ritardo (eventualmente con coniugazione dei coefficenti) restituisce una sequenza a simmetria pari (quindi a fase zero) con ritardo di N campioni. Per la sequenza A N (z) si ha: ]A N (exp(jω)) + ]ÃN(exp(jω)) = ωn. Se si considera ora uno sfasatore puro di ordine N=1 si ha: ½ ]H(ω) =] Ã 1 (ω) ]A 1 (ω) ]A 1 (ω)+]ã1(ω) = ω risolvendo il sistema rispetto a ]H(ω) si trova i µ ]H(ω) = ω 2]A 1 (ω) = ω 2] h1 z o z 1 z=exp(jω) = ω 2tan 1 zo sin ω ; 1 z o cos ω rimane ora da calcolare il polo assegnando i due sfasamenti richiesti dal problema. Per uno sfasamento di - 0 : µ ]H(ω = /2) = /2 2tan 1 zo sin /2 = /2 2tan 1 (z o )= / z o 1 z o cos /2 = tan( /8) = 1 2= 0.1 Per uno sfasamento di + 0 non è sufficiente sostituire nell espressione precedente / a /. Infatti:

5 ]H(ω = /2) = /2 2tan 1 (z o )=/ z o =tan( 3/8) = = 2.1 = 1 2 l inverso del precedente (scambiando di pozizione polo e zero) in quanto è instabile! Si noti che per la funzione tan(.) vale la proprietà tan(φ)=tan(φ + ) e quindi per la funzione atan(.) si hanno due soluzioni possibili. Quando la soluzione cercata è nell intervallo [0, 2) è necessario valutare entrambi le due soluzioni che si trovano con la funzione atan(.) aggiungendo un termine (si ricordi che atan(.) è definita nell intervallo ( /2,/2)). è necessario quindi un cambio di segno che equivale ad una rotazione di : ]H(ω = /2) = /2 2tan 1 (z o )+ = / z o =tan(/8) = 2 1 Il metodo grafico può fornire una soluzione più elegante (e molto più semplice) per calcolare i coeff. dello sfasatore puro nei due casi. Si osserva sempre dalla medesima figurachelosfasamentodi/ si ha cambiando di segno al polo (la soluzione anticausale si poteva ottenere scambiando il polo con lo zero ma non era qiuesta la soluzione cercata).