FILTRI NUMERICI. Sistema LTI H (z)

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1 x [n] FILTRI UMERICI Sistema LTI H (z) y [n] Un sistema numerico LTI è in molti casi descritto con un equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti: M [ ] = [ ] a y n k b x n r k k= r= Z {} Z {} M { [ ]} = [ ] k k= r= r r { } az yn k bz xn r L7/

2 H z H ( z) = FILTRI UMERICI (Cont.) M aky z z k= r= k = b X z z r r Y z b + bz + bz bmz = = X z a + a z + a z a z M r= k= bz r az k H z M r k = Rapporto di polinomi in M r= k= ( ) r A c z ( d ) k z z L7/

3 Ogni fattore: FILTRI UMERICI (Cont.) ( c ) rz contribuisce con uno zero in z = cr e un polo in z = ; ( d ) k z contribuisce con uno zero in z = e un polo in z = dk. H ( z ) è dunque descrivibile, a meno del fattore di scala A, da un diagramma di zeri e poli z. L equazione alle differenze non specifica univocamente la hn [ ] di un sistema LTI (*) on indica la R (regione di convergenza) di H ( z ) L7/3

4 FILTRI UMERICI (Cont.) Esistono molte scelte per la regione di convergenza R di H ( z ) con il vincolo che corrispondano a regioni anulari limitate da poli (senza contenerli). Ogni scelta di R fornisce una diversa hn, [ ] ma tutte le hn [ ] corrispondono alla stessa equazione alla differenze. L7/4

5 COSIDERAZIOI SULLA SCELTA DELLA REGIOE DI COVERGEZA Se il sistema è stabile la regione di convergenza R contiene il circolo unitario. Se il sistema è causale la regione di convergenza R è esterna al cerchio passante per il polo di H ( z ) più lontano da z =. Se il sistema è stabile e causale allora i poli cadono all interno del cerchio unitario. L7/5

6 COSIDERAZIOI SULLA SCELTA DELLA REGIOE DI COVERGEZA (Cont.) Esempio: equazione alle differenze del ordine y[ n] = a y[ n ] + x[ n] causale Effettuando la trasformata Z si ha: = + Y z a Y z z X z ( a z ) Y ( z) = X ( z) H z az Y z z = = = X z z a per la ipotesi di causalità: R = { z > a} e quindi: hn [ ] = a un [ ] n L7/6

7 ESEMPIO: CALCOLO DELLA RISPOSTA I FREQUEZA Equazione alle differenze del ordine yn [ ] = a yn [ ] + xn [ ] z z a a z = = H z Sul cerchio unitario ( Per f Diagramma Poli-Zeri < a< j ft z e π H h( n) = a n u( n) f = a e π = ): j ft a = : H = a H = Rappresenta il valore di normalizzazione ( db) L7/7

8 ESEMPIO: CALCOLO DELLA RISPOSTA I FREQUEZA Risposta in frequenza (normalizzata) di un filtro ad polo: ( j ft ) a H π f = H e = j ft H a e π = f Ponendo: ω = π = π f T (radianti) F a H ( ω) = j a e ω Se si ipotizza: < a< a a H a ( ω) = = = jω a e ( acosω) + jasin ω + a acosω H = H ( π ) = a H π = + a asinω H ( ω) = arctg a cosω L7/8

9 ESEMPIO: EQUAZIOE ALLE DIFFEREZE DEL ORDIE -5 a =.9 - Modulo (db) ω (radianti) a H ( ω) = + a acosω (a =.9) π π L7/9

10 ESEMPIO: EQUAZIOE ALLE DIFFEREZE DEL ORDIE 8 6 a =.9 4 Fase (gradi) ω (radianti) asinω H ( ω) = arctg (a =.9) a cosω L7/

11 Caso particolare: COSIDERAZIOI SULLA PRESEZA DI POLI H z = M r= k= bz r az = Sistema non ha poli eccetto in z = Filtro FIR (Risposta Impulsiva a lunghezza Finita). > Sistema ha poli, ciascuno dei quali contribuisce con una H z ha poli il filtro ha sequenza esponenziale a hn, [ ] quindi se Risposta Impulsiva a lunghezza Infinita, Filtro IIR. B: indica il numero di poli k r k L7/

12 FILTRI FIR (Finite Impulse Response) x[n] h(n) y[n] Risposta impulsiva k δ k= [ ] = [ ] hn a n k = ordine del filtro Equazione alle differenze: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] yn= xn hn= hk xn k k= L7/

13 FILTRI FIR (Finite Impulse Response) (Cont.) Esempio : Differenziatore (del I ordine =) a =, a = y[ n] = x[ n] x[ n ] h [ n ] n - L7/3

14 FILTRI FIR (Finite Impulse Response) (Cont.) Esempio : Media mobile (Filtro del 3 ordine = 3) a =, a =, a =, a 3 = yn= xn k 3 [ ] [ ] 4 k = h [ n ] 4 3 n L7/4

15 SCHEMA GEERALE DI U FIR [] xn z z z a a a a n S o m m a t o r e [] y n Si ricorda che: [ ] { } n = Z xn n z X z moltiplicare per campionamento. z equivale a ritardare di T secondi, con T passo di L7/5

16 RISPOSTE DEI FILTRI FIR Risposta in z: [ ] = { } = H z Z h n a z k= k = = [ ] Y z H z X z a z x n z polinomio in k k= n= k z : ha solo zeri stabilità k n Risposta in frequenza: = = z= e k= jπ ft H f H z a e k jπ ftk Spesso si usa la frequenza normalizzata f T, con T passo di campionamento. L7/6

17 ESEMPIO DI RISPOSTA I FREQUEZA Differenziatore: [ ] =, [ ] = H( z) = z h h Con modulo: H f = e jπ ft+ jπ/ jπ ft= jπ ft / jπ ft / jπ ft / e e = je = j = ( π ) e sin ft = ( π ) H f sin ft e fase lineare. L7/7

18 L7/8 MODULO DELLA RISPOSTA I FREQUEZA DEL DIFFEREZIATORE H f T π π + T T T T ω H f T T T T T f f T

19 FILTRI FIR a FASE LIEARE Un filtro FIR causale con risposta impulsiva reale di lunghezza [ ], [ ], [ ],..., [ ] h = a h= a h = a h = a ha fase lineare (ritardo costante) se e solo se: hn [ ] = h [ n] a n = a n Infatti (per pari, simile è la dimostrazione per dispari): ( / ) n n n [ ] [ ] n= n= n= / / ( / ) n [ ] H z = hn z = hn z + hn z = [ ] n= n= [ ] = hn z + h n z ( n) L7/9

20 Essendo hn [ ] = h [ n] FILTRI FIR a FASE LIEARE (segue) in z = j e ω ( / ) H( z) = h[ n] z + z ( / ) n= ( ω ) [ ] H h n e e n= ( n ( n) ) ( jωn jω ( n) ) = + = ( / ) jω jω n jω n = e h[ n] e + e = n= ( / ) jω = e h[ n] cos ω n n= L7/

21 FILTRI FIR a FASE LIEARE (segue) Disposizione degli zeri sul piano z Piano Z Circolo unitario z 4 z 3 z z /z * /z z * z * 3 /z Simmetria degli zeri di un sistema FIR a fase lineare con h(n) reale L7/

22 FILTRI IIR (Infinite Impulse Response) L uscita dipende dai valori precedenti dell uscita stessa (retroazione) Esempio: [ ] = [ ] + [ ] + [ ] y n x n b y n b y n [ ] x n S o m m a t o r e [ ] y n b b z - [ ] y [ n ] yn z - = + + Y z X z b z Y z b z Y z H z Y z = = X z b z b z L7/

23 In generale: FILTRI IIR (Cont.) = M H z bk z k= k M ordine del filtro Per M = : H z Y z = = X z b z b z L7/3

24 FILTRI IIR (Cont.) Possono essere instabili (svantaggio rispetto ai FIR) Richiedono meno coefficienti ( meno prodotti) a parità di qualità della risposta in frequenza (vantaggio rispetto ai FIR) Esistono strumenti di progetto automatico per IIR e FIR Hanno fase fortemente non lineare (un FIR è a fase lineare se si pone a k * a k = ). L7/4

25 FILTRI GEERALI CO ZERI E POLI [] xn z z z a a a a S o m m a t o r e [] yn b M b b z z H z az k k = = C k= k= M M k k k= k= ( z z ) ok ( pk ) + b z z z Spesso si mettono in cascata elementi con =, M= L7/5

26 STRUTTURE DI RETE FODAMETALI PER SISTEMI IIR x(n) x(n-) x(n-) Realizzazione in forma diretta I ( = M) a z a z b z a b z y(n) y(n-) y(n-) x(n-+) x(n-) z a a b b z y(n-) Rete che realizza ZERI Rete che realizza POLI k k= k= = ( ) + ( ) y n a x n k b y n k Cascata di due reti: la prima realizza gli zeri la seconda i poli k L7/6

27 STRUTTURE DI RETE FODAMETALI PER SISTEMI IIR (Cont.) Per sistemi LTI in cascata la relazione In/Out complessiva è indipendente dall ordine in cui sono disposti i sottosistemi. x(n) b z z a a y(n) b z z a b a b z z a Le due linee di rami con coefficienti hanno lo stesso ingresso, e quindi è sufficiente un solo ramo di ritardo. z L7/7

28 STRUTTURE DI RETE FODAMETALI PER SISTEMI IIR (Cont.) Realizzazione in forma diretta II x(n) b z a a y(n) b z a b a b z a La rete ha il minimo numero di rami: { } cioè di registri di ritardo. max M, con coefficiente z, L7/8

29 VERIFICA: Realizzazione in forma diretta II x(n) b z a a y(n) b z a b a b z a [ ] = [ ] + [ ] + + [ ] + [ ] + [ ] + + [ ] y n b y n b y n... b y n a x n a x n... a x n n< yn [ ] = n = y [ ] = ax [ ] n = y [ ] = by [ ] + ax [ ] + ax[ ] = bax [ ] + ax [ ] + ax [ ] n= [ ] = by [ ] + by [ ] + ax [ ] + ax [ ] + ax[ ] = bax [ ] + bax [ ] bax [ ] bax [ ] + ax [ ] ax [ ] + a x[ ] y = L7/9