PROGETTO DI FILTRI NUMERICI FIR CON L USO DI FINESTRE

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1 1/14 ROGETTO DI FILTRI NUMERICI FIR CON L USO DI FINESTRE

2 rogetto di filtri FIR con l uso di finestre 2/14 I filtri IIR offrono caratteristiche attraenti, ma anche svantaggi: se si vuole effettuare l elaborazione mediante FFT, h(n) deve avere durata finita (FIR) i filtri IIR permettono di ottenere ottime risposte di ampiezza, ma hanno risposte di fase non lineari er un FIR, H(e jω ) = N 1 n=0 h(n)e jωn è ricostruibile a partire da N campioni di H(e jω ). Quindi il progetto di un FIR può essere effettuato, alternativamente, individuando gli N campioni della h(n) individuando N campioni della H(e jω )

3 rogetto di filtri FIR con l uso di finestre 3/14 Risposta desiderata: H d (e jω ) = h d (n) = 1 2π n= π π h d (n)e jωn H d (e jω )e jωn dω Se H d ( ) è costante a tratti h d ( ) ha durata infinita a causa delle discontinuità in frequenza per ottenere un FIR bisogna troncare h d (n). Questo corrisponde a troncare la serie di Fourier della risposta in frequenza H d (e jω ) (periodica di periodo 2π).

4 rogetto di filtri FIR con l uso di finestre 4/14 dove h(n) = w(n) = { h d (n) se 0 n N 1 0 altrove { 1 se 0 n N 1 0 altrove rodotto nel tempo convoluzione in frequenza. = h d (n) w(n) = finestra rettangolare La trasformata di Fourier è periodica di periodo 2π convoluzione periodica in frequenza: H(e jω ) = 1 π H d (e jθ )W (e j(ω θ) )dθ 2π π

5 rogetto di filtri FIR con l uso di finestre 5/14 Convoluzione H(e jω ) è una versione smussata di H d (e jω ).

6 rogetto di filtri FIR con l uso di finestre 6/14 er smussare poco H d (e jω ), bisogna avere W (e jω ) stretta w(n) lunga. er limitare la complessità del filtro risultante è necessario avere h(n) corta w(n) corta. Necessità di un compromesso tra esigenze progettuali contrastanti. Nel caso della finestra rettangolare appena vista, W (e jω ) ha un andamento molto simile a una sinc( ). Conseguenza: la H d (e jω ) di un filtro passa basso ideale corrisponde a H(e jω ) con oscillazioni anche in banda oscura.

7 rogetto di filtri FIR con l uso di finestre 7/14 Consideriamo un passa basso ideale con frequenza di taglio ω c = π/2; tronchiamo la corrispondente h d (n) prendendo 51 campioni simmetrici rispetto all origine e traslati in avanti di 25 per ottenere una risposta causale: h(n) N= n

8 rogetto di filtri FIR con l uso di finestre Di seguito, l andamento del modulo della risposta in frequenza per N = 51 e, a scopo di confronto, anche per N = log 10 H(e jω ) N=21 N=51 8/ ω/π Osservazione: aumentando N, si ottiene una H(e jω ) meno smussata, ma non si riduce l ampiezza delle corrispondenti oscillazioni.

9 rogetto di filtri FIR con l uso di finestre Il codice Octave per disegnare le curve appena viste: N = 51 % Fig a pag. 279 N = 1000; % Numero di unti di FFT h = []; for n = 0:N-1; % Ultima equazione di pag. 276, con \omega_c = \pi/2: % h_d(n) = \frac{\sin[\omega_c(n-\alpha)]}{\pi(n-\alpha)} % h_d(n) = \frac{\sin[0.5*\pi(n-\alpha)]}{2*0.5*\pi(n-\alpha)} % h_d(n) = (1/2)*\sinc[0.5*\pi(n-\alpha)] % \alpha = (N-1)/2 -- ultima equazione a pag. 278 h = [ h 0.5*sinc(0.5*(n-0.5*(N-1))) ]; endfor; sum(h) gset grid plot([0:n-1], [0:N-1], h, ^ ) plot([0:n-1]*2/n, abs(fft(postpad(h,n))/sum(h))) gset yrange [-80:20] plot([0:n-1]*2/n, 20*log10(abs(fft(postpad(h,N))/sum(h))), ;N=51; ) plot([0:n-1]*2/n, 20*log10(abs(fft(postpad(h(15:35),N))/sum(h))), ;N=21; ) Commento sull uso di postpad e fft per disegnare la risposta in frequenza... 9/14

10 rogetto di filtri FIR con l uso di finestre er ridurre l ampiezza delle oscillazioni, bisogna troncare con finestre che vadano a zero in maniera più dolce. 10/14 Contropartita: a parità di N, allargamento del lobo principale di W (e jω ) smussamento più marcato, cioè transizione meno ripida.

11 rogetto di filtri FIR con l uso di finestre log 10 H(e jω ) N=51 Rettangolare Bartlett Blackman 11/ ω/π Finestra Altezza massima dei lobi laterali (db) Larghezza del lobo principale Attenuazione minima in banda oscura (db) Rettangolare 13 4π/N 21 Bartlett 25 8π/N 25 Hanning 31 8π/N 44 Hamming 41 8π/N 53 Blackman 57 12π/N 74

12 rogetto di filtri FIR con l uso di finestre Si osserva che l altezza massima dei lobi laterali (l attenuazione minima in banda oscura) dipende dal tipo (forma) di finestra è praticamente indipendente da N la larghezza della banda di transizione, ovvero la larghezza del lobo principale della finestra, segue una legge del tipo ω A/N con A costante dipendente dalla forma della finestra. Approccio progettuale. Dati: ampiezza massima della banda di transizione attenuazione minima in banda oscura L attenuazione minima in BO determina la scelta del tipo di finestra. Fissato il tipo di finestra, l ampiezza massima della BT determina il valore minimo di N. 12/14

13 rogetto di filtri FIR con l uso di finestre 13/14 Approccio alternativo per la sintesi di un filtro FIR: come detto all inizio, un FIR può essere progettato anche individuando N campioni della risposta in frequenza. Anziché specificare i campioni di h d (n), si specificano i campioni (equispaziati) in frequenza di H d (e jω ), quindi si realizza una struttura basata sul campionamento in frequenza. È un metodo conveniente per filtri selettivi a banda stretta, per i quali si hanno pochi campioni frequenziali non nulli. In molti casi può essere più efficiente della convoluzione diretta o della convoluzione basata su DFT. È un metodo poco flessibile: i campioni frequenziali devono essere equispaziati, il che può rendere necessario lo scegliere N grande, il che comporta inefficienza.

14 rogetto di filtri FIR con l uso di finestre Confronto tra filtri numerici IIR e FIR 14/14 Vantaggi dei filtri IIR: esistenza di formule di progetto in forma chiusa, mentre i FIR non sono progettabili in forma chiusa si possono ottenere ottime risposte in modulo determinate specifiche sulla risposta in ampiezza si possono ottenere più efficientemente, in termini di complessità hardware e di velocità di calcolo Svantaggi dei filtri IIR: gli approcci di progetto in forma chiusa offrono meno flessibilità in termini di specificazione della forma della risposta solitamente tali approcci progettuali non tengono conto della risposta di fase, che può risultare fortemente non lineare, mentre un filtro FIR può avere fase esattamente lineare.