Laboratorio II, modulo

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1 Laboratorio II, modulo Banda di un segnale, filtri e cavi coassiali (cfr. e e

2 Alcune definizioni () Segnale periodico: x(t) = x(t+t 0 ) per qualunque t Segnale determinato: quando il suo valore è univocamente determinabile una volta fissati i valori delle variabili indipendenti (tempo) (contrario: aleatorio) Potenza istantanea associata ad un segnale (reale) x(t): x 2 (t) p x (t) =x (t) x(t) = x(t) 2

3 Alcune definizioni () Segnale periodico: x(t) = x(t+t 0 ) per qualunque t Segnale determinato: quando il suo valore è univocamente determinabile una volta fissati i valori delle variabili indipendenti (tempo) (contrario: aleatorio) Potenza istantanea di segnale x(t): x 2 (t) Energia associata ad un segnale x(t): E x = Z + x(t) 2 dt (nota: l energia di un segnale fisico è finita per definizione)

4 Equazioni di analisi e sintesi (segnali periodici a tempo continuo) Analisi Sintesi

5 Equazioni di analisi e sintesi (segnali aperiodici a tempo continuo) Analisi Sintesi

6 Teorema (relazione) di Parseval Potenza di un segnale periodico: e, dall equazione di sintesi X X P x = Xk 2 = (segnali periodici a tempo continuo) p x (t) =x (t) x(t) = x(t) 2 k= k= P x = Z p x (t) dt = Z x(t) 2 dt T 0 T 0 T 0 T 0 A 2 k la potenza media di un segnale periodico è la somma delle potenze medie delle singole armoniche che lo compongono P x = X X x(t) T 0 ZT 2 dt = Xk 2 = 0 k= k= A 2 k

7 Teorema (relazione) di Parseval Partiamo dalla definizione di energia: E x = Z e quindi: Z x(t) 2 dt = x(t) 2 dt = (segnali aperiodici a tempo continuo) Z Z = = = Z x(t) x(t) dt = Z Z X(f) 2 df Z x(t) Z X (f) X (f)e i2 ft df dt = X (f) X(f) df = x(t)e i2 ft dt Z df = X(f) 2 df

8 banda e durata di un segnale L analogo del concetto di durata (per un segnale nel dominio del tempo) è il concetto di banda X(f) 6 Si definiscono: a) B B 6 X ± (f) segnali a banda rigorosamente limitata segnali a banda illimitata segnali a banda praticamente illimitata - f Z B B X(f) 2 df = E x con 0<α< (es. 0.9)

9 banda e durata di un segnale Moltiplicando un segnale limitato nel dominio della frequenza (del tempo) per un impulso rettangolare opportuno, lo possiamo riscrivere come: X(f) =X(f) (f/2b) che equivale, nel dominio del tempo (frequenza) ad una convoluzione: x(t) 2B sinc(2bt) che è un segnale non limitato. * sinc(x) = sin(x)/x

10 Sinc ß à Π (rect)

11 banda e durata di un segnale Di conseguenza: un segnale rigorosamente limitato nel tempo ha banda infinita un segnale con banda limitata ha durata infinita

12 Filtri Supponiamo di avere un segnale:

13 Filtri Composto da due segnali periodici ad esempio: un segnale periodico (20 Hz), di un elettrocardiogramma, e un disturbo periodico (50 Hz) dovuto dalla tensione di alimentazione

14 Passiamo al dominio frequenziale abbiamo bisogno di un apparato con caratteristiche di selettività delle differenti componenti frequenziali del segnale: un filtro

15 Filtro passa-basso (ideale) H LP (f) è la risposta in frequenza

16 Filtro passa-basso (ideale) il segnale, y(t), in uscita dal filtro, avrà trasformata di Fourier Y (f) =X(f) H(f) cioè sarà privo della componente X 2 (f) (e quindi x 2 (t)), cioè del disturbo: Y (f) =X(f) H(f) X (f) y(t) x (t)

17 Filtro passa-basso (ideale) h LP (t) =2Bsinc(2Bt) La risposta nel dominio del tempo del filtro passa-basso è il sinc, cioè ha una risposta impulsiva

18 Filtri ideali passa-basso passa-alto passa-banda elimina-banda

19 (ricordiamo) la condizione di Nyquist X s (f) = T c X k= La trasformata di Fourier di una sequenza è la periodicizzazione della trasformata del segnale originale, con una periodicità pari alla frequenza di campionamento f c = /T c. Per garantirsi l assenza di aliasing, la frequenza di campionamento deve essere tale che: X f k T c f c = T c 2B dove B è la banda del segnale

20 Cavi cavo coassiale doppino A C D A Guaina esterna B maglia di rame intrecciata C isolante dielettrico D nucleo di rame

21 Elemento infinitesimo di cavo i(t) ΔV /G V (z) z I(z) z = L I(t) t RI(t) = GV (t) C V (t) t 2 V (z) 2 z = LC 2 V (t) 2 t +(LG + RC) V (t) t + RGV (t) Cavo ideale (R = G = 0) velocità di propagazione 2 V (z) 2 z = LC 2 V (t) 2 t v = p LC m/s

22 Cavo coassiale ideale D L = µ 2 lnd d C = 2 ln D d Z = r L C = r µln D 2 d d v = p = p = p LC µ p = p c oµ o rµ r rµ r se inseriamo i valori tipici dei materiali utilizzati otteniamo I famosi 50Ω a cui siamo abituati ripetendo il conto per un doppino si trova il valore di 00Ω