FENS- Gruppo A prova preliminare del 26 novembre 2004

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1 FENS- Gruppo prova preliminare del 2 novembre 24 TOTLE PUNTI: 45 L allievo é invitato a dare una ragionata e succinta risposta a tutti gli argomenti proposti, per dimostrare il livello di preparazione globale. I calcoli devono essere sviluppati nel seguito. Gli esercizi devono essere risolti solo sui fogli dei colori indicati; si consiglia una lettura attenta del testo degli esercizi. Per esiti e soluzioni si usi l indirizzo Internet: e per la discussione dello scritto si contatti il docente via rocca@elet.polimi.it. Le prime domande degli esercizi sono molto piu facili; le si svolgano per prime per superare la prova, prima di tentare le domande successive. Esercizio (foglio bianco) (punti 5): Trasformata z, DFT e campionamento Si consideri la sequenza di 5 campioni (a: 3 punti): Si trovi X (z), trasformata z della sequenza { n } e si trovino le posizioni degli zeri di X (z). { n } = {, 4,, 4, }; n =,..4 (b: 4 punti): Si trovi modulo X (z) e fase della funzione di trasferimento. (c: 4 punti): Si determini la trasformata di Fourier discreta della sequenza: H (z) = z 4 campionando in frequenza utilizzando N =4. (d: 4 punti) Si trovi {h n } antitrasformata discreta di Fourier di H (z). Cosa sta succedendo? Esercizio 2 (foglio azzurro) (punti 5) : Filtro arresta banda (notch) Si desidera costruire un filtro arrestabandacheabbiaguadagnoafrequenzazero,guadagnocircaeguale a.7allafrequenzaparia/ della frequenza di Nquist (/2T) e guadagno unitario altrove. H (ω) =;ω =;H (ω) =.7; ω = ; H (ω) =;ω>> T T ; (a: 5 punti): Si progetti il filtro, posizionando opportunamente il polo e lo zero e se ne determini la trasformata z. Se ne determini la funzione di trasferimento. (b: 5 punti): Se ne determini la risposta all impulso {h n }. Cosa accade se la sequenza {h n } viene troncata al 5 o campione? Si verifichi che non c è più lo zero in z =, ricordando che N = N (c: 5 punti):cosa accadrebbe invece combinando lo zero con il polo troncato? Esercizio 3 (foglio giallo) (punti 5), Filtro IIR e sfasatore puro Si vuole filtrare la sequenza { n } campionato alla frequenza f c =48KHz, attorno alla frequenza f T =4 KHz. Il filtro ottenuto deve essere causale, reale stabile, e a guadagno unitario per f T =4KHz. Deve inoltre presentare un attenuazione di almeno 2 db alle frequenze f,2 = 3; 44 Hz. (a: 4 punti): Si progetti il filtro IIR a minima complessità, posizionando opportunamente una coppia di poli complessi coniugati e se ne determini la trasformata z. (b: 3+3 punti): Si imponga il guadagno unitario alla frequenza f T, e si determini il valore dello sfasamento a questa frequenza, e si tracci la caratteristica di ampiezza e di fase risultante. (b: 5 punti): Si vuole inoltre imporre che lo sfasamento del filtro complessivo sia nullo per f T =4KHz. Si ottenga ciò compensando lo sfasamento introdotto dal filtro IIR passa-banda ponendo in cascata un opportuno filtro sfasatore puro con un solo polo reale. (Si suggerisce di utilizzare il metodo grafico, facendo le opportune semplificazioni, per risolvere l esercizio proposto). Si determini la posizione del polo edellozerodellosfasatore puro.

2 Soluzioni. Esercizio La trasformata Zeta della sequenza { n } = {, 4,, 4, } è: X(z) =+4 z + z 3 +z 2 + z 4 =(+z ) 4 che presenta 4 zeri alla frequenza di Nquist. Modulo e fase sono immediatamente ricavabili. La fase è lineare, data la simmetria pari della sequenza n, con pendenza pari alla posizione del punto di simmetria n =2]X(ω) = 2ω. Ilmodulopresentavalore nullo per ω =, e X(ω =) =(somma dei campioni che compongono la sequenza!). I valori della trasformata di Fourier richiesti sono: H z = e jω = z 4,ω =, 2,,3 2 H [k] ={,,, } Infatti H (z) ha 4 zeri spaziati di ω = 2. L antitrasformata discreta h[n] è quindi identicamente nulla. Infatti, poiché campionata nelle frequenze a passo f c /4, h[n] è periodicizzata con periodo N =4, quindi il 5 o campione di valore, cancellailprimocampionedivalore (aliasing temporale)..2 Esercizio 2 Il flitro arresta-banda avrà forma: z z = ( ε) z εz ( ε) z = εz ( ε) z ; ε = Troncando al quinto campione H N (z) = ( εz ε)4 z 4 ( ε) z z = e iφ 2

3 eperz = H N (z =)= ( ε) 4 =.88 Convolvendo lo zero con il polo troncato al 4 campione, sempre per avere una sequenza di 5 campioni, si ha invece: z à ( ε) 4 z! 4 ( ε) z L esercizio intende mostrare come sia rischioso troncare delle sequenze senza avere idee chiare sulle conseguenze..3 Esercizio 3 Il filtro passa-banda sarà composto da una coppia di poli complessi coniugati. La sua trasformata Z è della forma: dove: H (z) = 2ρ cos(φ)z + ρ 2 z 2 φ = 2 f T = f c La banda all esterno della quale il segnale deve risultare attenuato di 2 db è: φ = = f c 3 φ = Trascurando il polo più lontano (il cui contributo è circa identico per ω = φ, ω = φ ± φ): ( ρ) 2 ( ρ) 2 + φ 2 = ( ρ) + φ2 ( ρ) 2 s φ 2 99 ρ.995 φ2 ( ρ) 2 Infine per assicurare il guadagno unitario per f = f T, si dovrà imporre (il risultato è immediatamente calcolabile graficamente): 2ρ cos(φ)z + ρ 2 z 2 = ' 2ρ ( ρ)sinφ z=ep(jω),ω= Lo sfasamento introdotto per f = f T dal filtro passa-banda è: à ] 2ρ cos(φ)z + ρ 2 z 2 3 z=ep(jω),ω=! ' 3

4 è quindi necessario compensare questo sfasamento con uno sfasatore puro della forma: H 2 (z) = B(z) B(z) = z z ½ ]H2 (ω) =] B(ω) ]B(ω) ] B(ω)+]B(ω) = ω µ ]H 2 (ω) = ω 2]B(ω) = ω 2tan z sin ω z cos ω ]H 2 (ω = µ )= z 2tan + = 2 z z = + 3 =.73 4

5 FENS Gruppo B prova preliminare del 2 novembre 24 TOTLE PUNTI: 45 L allievo é invitato a dare una ragionata e succinta risposta a tutti gli argomenti proposti, per dimostrare il livello di preparazione globale. I calcoli devono essere sviluppati nel seguito. Gli esercizi devono essere risolti solo sui fogli dei colori indicati; si consiglia una lettura attenta del testo degli esercizi. Per esiti e soluzioni si usi l indirizzo Internet: e per la discussione dello scritto si contatti il docente via rocca@elet.polimi.it. Le prime domande degli esercizi sono molto piu facili; le si svolgano per prime per superare la prova, prima di tentare le domande successive. Esercizio (foglio giallo) (punti 5), Filtro IIR e sfasatore puro Si vuole filtrare la sequenza { n } campionato alla frequenza f c =48KHz, attorno alla frequenza f T =2 KHz. Il filtro ottenuto deve essere causale, reale stabile, e a guadagno unitario per f T =2KHz. Deve inoltre presentare un attenuazione di almeno 2 db alle frequenze f,2 = 23; 244 Hz. (a: 4 punti): Si progetti il filtro IIR a minima complessità, posizionando opportunamente una coppia di poli complessi coniugati e se ne determini la trasformata z. (b: 3+3 punti): Si imponga il guadagno unitario alla frequenza f T, e si determini il valore dello sfasamento a questa frequenza, e si tracci la caratteristica di ampiezza e di fase risultante. (b: 5 punti): Si vuole inoltre imporre che lo sfasamento del filtro complessivo sia nullo per f T =2 KHz. Si ottenga ciò compensando lo sfasamento introdotto dal filtro IIR passa-banda ponendo in cascata un opportuno filtro sfasatore puro con un solo polo reale. (Si suggerisce di utilizzare il metodo grafico, facendo le opportune semplificazioni, per risolvere l esercizio proposto). Si determini la posizione del polo e dello zero dello sfasatore puro. Esercizio 2 (foglio bianco) (punti 5): Trasformata z, DFT e campionamento Si consideri la sequenza di 5 campioni (a: 3 punti): Si trovi X (z), trasformata z della sequenza { n } e si trovino le posizioni degli zeri di X (z). { n } = {, 4,, 4, }; n =,..4 (b: 4 punti): Si trovi modulo X (z) e fase della funzione di trasferimento. (c: 4 punti): Si determini la trasformata di Fourier discreta della sequenza: H (z) = z 4 campionando in frequenza utilizzando N =4. (d: 4 punti) Si trovi {h n } antitrasformata discreta di Fourier di H (z). Cosa sta succedendo? Esercizio 3 (foglio azzurro) (punti 5) : Filtro arresta banda (notch) Si desidera costruire un filtro arresta banda che abbia guadagno alla frequenza di Nquist, guadagno circa eguale a.7 per f =(± /)f Nquist e guadagno unitario altrove. H (ω) =;ω = ; H (ω) =.7; ω =(± T ) ; H (ω) =; ω ( T ) T ; (a: 5 punti): Si progetti il filtro, posizionando opportunamente il polo e lo zero e se ne determini la trasformata Z. Se ne determini la funzione di trasferimento. (b: 5 punti): Se ne determini la risposta all impulso {h n }. Cosa accade se la sequenza {h n } viene troncata al o campione? Si verifichi che non c è più lo zero in z =, ricordando che N = N (c: 5 punti):cosa accadrebbe invece combinando lo zero con il polo troncato? 5

6 2 Soluzioni 2. Esercizio Il filtro passa-banda sarà composto da una coppia di poli complessi coniugati. La sua trasformata Z è della forma: dove: H (z) = 2ρ cos(φ)z + ρ 2 z 2 φ = 2 f T = 5 f c La banda all esterno della quale il segnale deve risultare attenuato di 2 db è: φ = = f c 3 φ = Trascurando il polo più lontano (il cui contributo è circa identico per ω = φ, ω = φ ± φ): ( ρ) 2 ( ρ) 2 + φ 2 = ( ρ) + φ2 ( ρ) 2 s φ 2 99 ρ.995 φ2 ( ρ) 2 Infine per assicurare il guadagno unitario per f = f T, si dovrà imporre (il risultato è immediatamente calcolabile graficamente): 2ρ cos(φ)z + ρ 2 z 2 = ' 2ρ ( ρ)sinφ z=ep(jω),ω= 5 Lo sfasamento introdotto per f = f T dal filtro passa-banda è: Ã ] 2ρ cos(φ)z + ρ 2 z 2 z=ep(jω),ω= 5! ' 3 è quindi necessario compensare questo sfasamento con uno sfasatore puro della forma: H 2 (z) = B(z) B(z) = z z ½ ]H2 (ω) =] B(ω) ]B(ω) ] B(ω)+]B(ω) = ω µ ]H 2 (ω) = ω 2]B(ω) = ω 2tan z sin ω = z cos ω 3 ]H 2 (ω = 5 µ )= 5 z 2tan = 2+z z = 3 =.577,Solutionis: 4 2 =.732 5, 3+2

7 2.2 Esercizio 2 La trasformata Zeta della sequenza { n } = {, 4,, 4, } è: X(z) = 4(z + z 3 )+z 2 + z 4 =( z ) 4 che presenta 4 zeri alla frequenza nulla. Modulo e fase sono immediatamente ricavabili. La fase è lineare, data la simmetria pari della sequenza n, con pendenza pari alla posizione del punto di simmetria n =2]X(ω) = 2ω. Ilmodulopresentavalore nullo per ω =,emassimoper X(ω = ) =(somma dei campioni che compongono la sequenza presi a segno alterno). I valori della trasformata di Fourier richiesti sono: H z = e jω = z 4,ω =, 2,,3 2 H [k] ={,,, } Infatti H (z) ha 4 zeri spaziati di ω = 2. L antitrasformata discreta h[n] è quindi identicamente nulla. Infatti, poiché campionata nelle frequenze a passo f c /4, h[n] è periodicizzata con periodo N =4, quindi il 5 o campione di valore, cancellailprimocampionedivalore (aliasing temporale). 2.3 Esercizio 3 Il flitro arresta-banda avrà forma: +z + z = +( ε) z + εz +( ε) z = +εz +( ε) z ; ε = Troncando al sesto campione H N (z) = + ( +εz ε)5 z 5 +( ε) z z = e iφ 7

8 eperz = H N (z =)= ( ε) 5 =.85 Convolvendo lo zero con il polo troncato al 5 campione, sempre per avere una sequenza di campioni, si ha invece: +z à ( ε) 5 z! 5 ( ε) z