Revisione effetti campionamento finito

Transcript

1 Revisione effetti campionamento finito Razionalizzazione delle approssimazioni dovute al campionamento finito Utilizzo dei teoremi di convoluzione per analisi di: - Effetti del campionamento nel tempo (Aliasing) - Effetti della finestratura nel tempo (Leakage / Smearing) 1 Introduzione Con le operazioni legate all analisi di un segnale attraverso i dati acquisiti da un sistema di acquisizione operiamo in vario modo sul segnale originale: Campionamento Finestratura Da chiedersi quindi se le informazioni che vengono ricavate sulla base di questi dati siano convenientemente rappresentative di quelle della funzione originale Ci serve uno strumento analitico adeguato Formalmente entrambe le operazione sono modellabili con un prodotto nel tempo tra la funzione originale e una opportuna funzione di campionameno e di finestratura 2 1

2 Teoremi di convoluzione Date tre funzioni e le relative trasformate: x(t) X( ω) y(t) Y( ω) z(t) Z( ω) Se una delle funzioni è il prodotto nel tempo delle altre: esiste una qualche relazione tra le trasformate di queste e quella del prodotto? Dimostrazione: Z( ω ) = f (X( ω),y( ω))? z(t) x(t)y(t) X( ) e jωt d Y( ) ejω t d X( )Y( )e j( ω+ω )t ω ω dω dω z(t) = x(t)y(t) = = ω ω ω ω = Introducendo la variabile fittizia ϕ e ricordando che eseguendo l integrazione in ϕ, ω è costante: ϕ = ω + ω, ω = ϕ ω, dω = dϕ jϕt jϕt ( ) z(t) = X( ω )Y( ϕ ω )d ω e d ϕ = Z( ϕ ) e d ϕ 3 Teoremi di convoluzione Abbiamo ottenuto il teorema della convoluzione in frequenza: il prodotto di due funzioni nel tempo ha come trasformata la convoluzione delle rispettive trasformate. z(t) = x(t)y(t) Z( ϕ ) = X( ω)y( ϕ ω)dω = X( ω) Y( ω) La convoluzione prevede l integrale del prodotto delle due funzioni una volta che una di esse sia stata ritardata in frequenza della quantità ϕ e ribaltata rispetto all asse delle frequenze. Si può verificare che il risultato è indipendente dalla scelta della funzione sulla quale operare ritardo e ribaltamento: Z( ϕ ) = X( ω )Y( ϕ ω )d ω = X( ϕ ω )Y( ω )d ω 4 2

3 Calcolo della convoluzione X(ω) Y(ω) ω per ogni punto dell asse delle frequenze ϕ si costruisce: Ribaltamento Shift ϕ Y( ω) Y( ϕ ω) ω Prodotto ϕ ω Y( ϕ ω) ω X( ω)y( ϕ ω) Integrale ϕ I( ϕ ) = X( ω)y( ϕ ω)dω ω Area tratteggiata ϕ 5 Teoremi di convoluzione Anche nel dominio delle frequenze usiamo modelli nei quali si effettua il prodotto di due funzioni della frequenza: la risposta in frequenza di un sistema si ottiene eseguendo il prodotto tra la trasformata dell ingresso e la funzione di trasferimento del sistema stesso Ipotizzabile che tra le leggi temporali di ingresso e di risposta impulsiva del sistema (antitrasformata della funzione di trasferimento) possa esistere un legame di convoluzione 6 3

4 Teoremi di convoluzione Date tre funzioni e le relative trasformate: x(t) X( ω) y(t) Y( ω) Eseguendo il prodotto in frequenza di due funzioni L antitrasformata (storia temporale) del prodotto è una funzione delle antritrasformate delle due? Dimostrazione: ( ) z(t) Z( ω) Z( ω ) = X( ω) Y( ω) z(t) = f (x(t), y(t))? Z( ) X( ) Y( ) x(t)e jωt dt y(t )e jωt dt x(t)y(t )e j ω (t+ t ) dt dt = x(t)y( t)dt e jωτ τ dτ = z( τ)e jωτ dτ ω = ω ω = = Teorema della convoluzione nel tempo: il prodotto di due funzioni in frequenza ha come antitrasformata la convoluzione delle rispettive storie temporali. z(t) = x( τ)y(t τ)dτ = x(t) y(t) 7 Teoremi di convoluzione La risposta u(t) di un sistema lineare, caratterizzato dalla funzione di trasferimento H(ω) (trasformata delle risposta impulsiva h(t)), ad una forzante p(t) (di trasformata P(ω)) è data dall anti-trasformata (IFT, Inverse Fourier Transform) del prodotto H(ω)P(ω). U( ω ) = H( ω)p( ω) u(t) = IFT(U( ω)) o, visto da un punto di vista differente, dalla convoluzione delle risposta impulsiva e della storia temporale del carico. u(t) = p( τ)h(t τ)dτ = h( τ)p(t τ)dτ 8 4

5 Il campionamento e la finestratura I problemi che derivano dal campionamento e dalla finestratura, aliasing e leakage, possono essere approfonditi utilizzando la chiave di lettura fornita dai due teoremi di convoluzione. Tutti gli aspetti già discussi rimangono validi ma ne viene data un interpretazione basata maggiormente sulle logiche matematiche dell effettiva implementazione della trasformata discreta di Fourier piuttosto che lasciati ad un livello più intuitivo. 9 Il campionamento e l aliasing 10 5

6 Il campionamento Consideriamo una funzione del tempo con spettro limitato (-f Max e +f Max ): Tempo Frequenza x(t) X( ω) f Max f Max e la funzione di campionamento, che viene applicata nel dominio del tempo. Il segnale campionato, sempre nel dominio del tempo, è il prodotto delle due funzioni: y(t) Y( ω) z(t) = x(t)y(t) Il prodotto nel tempo porta ad avere la convoluzione in frequenza Z( ϕ ) = X( ω) Y( ω) 11 Il campionamento Che aspetto ha la convoluzione? L operatore prevede il calcolo con i seguenti passi: per ogni punto dell asse delle frequenze ϕ: Ribaltamento della funzione Y(ω): Applicazione di uno shift in frequenza ϕ: Calcolo della funzione prodotto con X(ω): Calcolo dell integrale: X( ω) Y( ω ) = X( ω)y( ϕ ω)dω Assegnazione del valore alla funzione Z(ϕ) Y( ω) Y( ϕ ω) X( ω)y( ϕ ω) I( ϕ ) = X( ω)y( ϕ ω)dω 12 6

7 Il campionamento X(ω) Y(ω) per ogni punto dell asse delle frequenze ϕ: Ribaltamento Shift ϕ Y( ω) Y( ϕ ω) Prodotto ϕ X( ω)y( ϕ ω) Integrale I( ϕ ) = X( ω)y( ϕ ω)dω ϕ ϕ 13 Il campionamento Essendo la trasformata della funzione di campionamento un pettine, la convoluzione porta alla replica della trasformata del segnale campionato in corrispondenza di ognuno dei suoi picchi 1/ T o 2f C f Nyquist Max f Max Possiamo quindi avere tre casi: f Max Minore f Max Uguale di f C /2 o di f Nyquist Maggiore f Max Esaminiamo i tre casi graficamente. 7

8 Il campionamento Tempo Caso di frequenza massima del segnale minore alla frequenza di Nyquist (f Max <f C /2). La banda in frequenza correttamente osservabile è quella attorno a frequenza nulla. Le immagini alias sono distinte da quella principale e nella finestra di osservazione c è solo l immagine principale. Frequenza 15 Il campionamento Caso di frequenza massima pari alla frequenza di Nyquist (f Max =f C /2). Tempo Se f Max aumenta la banda in frequenza osservabile viene progressivamente riempita dalla banda del segnale da campionare e, per f Max =f Nyquist, si arriva ad avere il completo riempimento. Le immagini alias arrivano a toccare la curva reale, sono però ancora distinte da quella principale e nella finestra di osservazione c è solo l immagine principale. Frequenza 16 8

9 Il campionamento Tempo Caso di Frequenza massima superiore alla frequenza di Nyquist (f Max >f C /2). La banda in frequenza calcolata dalla DFT (-f C /2:f C /2) non contiene tutta la banda del segnale. Si ha interferenza tra le immagini alias e la porzione effettiva dello spettro con porzioni dello spettro fittizio che entrano nella banda esaminata. Frequenza 17 La finestra di osservazione nel tempo e il leakage 18 9

10 La finestra di osservazione Prima di utilizzare la convoluzione dobbiamo individuare un modello per la finestratura, cioè la funzione che filtra il segnale originale Si tratta di una funzione nulla all esterno dell intervallo di osservazione e unitaria all interno A = 1 per una finestra di osservazione 2T0 = T Infatti il segnale osservato, cioè, limitato nel tempo non è altro che il prodotto del segnale, considerato infinito nel tempo, con la finestra di osservazione nulla all esterno dell intervallo T 0 :T La finestra di osservazione Per poter applicare i teoremi di convoluzione ci serve la trasformata nel dominio delle frequenze. sin(2 πt0 f ) H ( f ) = A 2T0 2πT0 f 2AT 0 2T0 = T L altezza e la larghezza della campana sono rispettivamente direttamente e inversamente proporzionali alla lunghezza della finestra di osservazione. Aumentare la dimensione della finestra temporale comporta la riduzione della base e l incremento dell altezza del lobo principale

11 La finestra di osservazione La trasformata del prodotto della finestra di osservazione per il segnale nel dominio del tempo si ottiene convolvendo le rispettive trasformate (segnale e finestra). 22 La finestra di osservazione L operazione di convoluzione riproduce la trasformata della funzione finestra in corrispondenza delle due linee spettrali della trasformata della sinusoide (linee tratteggiate rossa e nera per frequenza f 0 positiva e negativa) Il risultato della convoluzione è dato dalla linea nera continua -f 0 f 0 L energia associata ad una frequenza, non più concentrata, viene distribuita su un campo di frequenze tanto più ampio quanto più breve è la finestra di osservazione 23 11

12 La finestra di osservazione Nel caso di utilizzo di uno spettro discreto, tipico delle applicazionim con un elaboratore, la discretizzazione della frequenza avviene con un passo pari a 1/T O Se il periodo del segnale è contenuto un numero di volte intero in T O la frequenza della sinusoide coincide con una delle frequenze discrete che derivano dalla DFT e ne risulta un solo tono (tutti gli altri sono in corrispondenza degli zeri della funzione). 24 La finestra di osservazione la frequenza della sinusoide coincide con una delle frequenze discrete e viene letto solo un picco (tutti gli altri sono in corrispondenza degli zeri della funzione) anche per sinusoidi di frequenza superiore Risoluzione in frequenza Linea spettrale sin Convoluzione box-sin Trasformata digitale 25 12

13 La finestra di osservazione Se il periodo di osservazione non è un multiplo intero della periodo base la funzione è centrata su una frequenza che non è multiplo della risoluzione in frequenza Vengono rilevati valori in punti diversi dello spettro e il contenuto in frequenza è disperso sullo spettro: è il fenomeno del Leakage Risoluzione in frequenza Linea spettrale sin Convoluzione box-sin (trasf. teorica) Trasformata digitale (discreta) 26 La finestratura Sappiamo già che per contenere gli effetti del Leakage si utilizza la tecnica della «finestratura» nel tempo: gli istanti temporali del segnale acquisito vengono pesati attraverso una funzione di «finestratura» E quindi come se la box window utilizzata durante l acquisizione venisse sostituita da una funzione di ampiezza variabile nel periodo osservato Le finestre tipiche utilizzate (Hanning, Hamming, Kaiser) hanno equazioni della forma seguente: w i 2πi = a + ( 1 a)cos N Dobbiamo pertanto analizzare la differenza tra le trasformate delle due funzioni di finestratura 27 13

14 La finestratura L effetto della finestratura si comprende osservando la trasformata in frequenza della funzione finestra stessa Lo spettro in ampiezza della funzione di pesatura uniforme ha si il primo lobo più stretto ma decade più lentamente L errore di leakage è distribuito su di un intervallo di frequenze più ampio: con la finestratura il leakage è contenuto in ±2 f 28 La discretizzazione della frequenza 29 14

15 La discretizzazione della frequenza Abbiamo visto che la discretizzazione del tempo può far nascere il problema dell aliasing. Dato che utilizziamo sistemi digitali per l elaborazione dei dati è lecito chiedersi se anche la discretizzazione delle frequenze possa portare a problemi della stessa natura. 30 La discretizzazione della frequenza Supponiamo di aver campionato un segnale a banda limitata senza commettere aliasing Avendo campionato la storia temporale (fig.a) il corrispondente spettro è continuo ma, per effetto del campionamento nel tempo e a differenza di quello del segnale originale, sarà infinito e periodico (fig. B) A B Spettro effettivo Immagini riflesse dovute al campionamento 31 15

16 La discretizzazione della frequenza L utilizzo di uno spettro discreto equivale ad effettuare un campionamento del dominio delle frequenze [ (f )]. Alla funzione di «campionamento in frequenza» corrisponde, nel dominio del tempo una serie di delta [ (t)] poste ad una distanza pari al tempo totale di osservazione (T 0 =1/ f ). (f) (t) f f T 0 =1/ f t Il campionamento in frequenza, prodotto della funzione di campionamento e dello spettro continuo, ha come corrispettivo temporale la convoluzione delle rispettive storie temporali 32 La discretizzazione della frequenza In frequenza si è ottenuto uno spettro infinito e discreto campionando nel tempo. Frequenza Tempo TF Discretizzazione frequenza TF 1/ f 1/ f 1/ f f T=1/ f t Prodotto Convoluzione TF Si ha quindi la periodicizzazione della storia temporale

17 La discretizzazione della frequenza La convoluzione replica la funzione nel tempo con periodicità pari al tempo di osservazione. Segnale discreto osservato Finestra di osservazione Antitrasformata digitale: cioè il segnale temporale corrispondente alla trasformata discreta Analizzando lo spettro campionato dell intervallo temporale campionato è come se si avesse a che fare con la funzione periodicizzata, non quella originale. Se la storia temporale fosse limitata, nulla all esterno del periodo di osservazione, sarebbe come osservare continuamente lo stesso fenomeno. Non così se il segnale non è limitato nel tempo 34 La discretizzazione della frequenza Considerando una funzione non limitata nel tempo (sempre con contenuto in frequenza limitato): Funzione campionata Frequenza Tempo Finestratura temporale e discretizzazione frequenza Discontinuità nel segnale temporale agli estremi del periodo di osservazione Incoerenza tra il segnale reale originale e il segnale che la trasformata discreta di Fourier (DFT) vede

18 La discretizzazione della frequenza La periodicizzazione nel tempo è un fenomeno duale alla replica delle immagini in frequenza a seguito del campionamento nel tempo (al prodotto in un dominio corrisponde la convoluzione nel codominio). In questo caso NON si presenta un fenomeno di interferenza duale all aliasing, in quanto: la base di riproduzione nel tempo è data dall inverso della risoluzione in frequenza; questa, peraltro, coincide con l inverso del tempo di osservazione. La replica della storia temporale è quindi coerente con la finestra di osservazione e non si può presentare la sovrapposizione delle immagini Il segnale può essere discontinuo a cavallo delle linee di replica. L effetto sulla trasformata può essere contenuto con le finestre non uniformi. Rif. Brigham Fast Fourier Transform 36 Da ricordare Definizione ed utilizzo di uno strumento analitico estremamente potente: la convoluzione. Razionalizzazione dei limiti, aliasing e leakage, dell approccio digitale all analisi dei segnali. Capacità di gestione di tutti gli effetti del campionamento finito (aliasing e risoluzione in frequenza) Applicazioni ben oltre quelle viste 38 18

19 Domande? 39 19