Altre tecniche di campionamento

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1 Altre tecniche di campionamento La tecnica della finestratura minimizza l errore quadratico medio, ma questo criterio di approssimazione conduce a un comportamento non soddisfacente in corrispondenza delle discontinuità di H d '(ω) per il ripple e per la larghezza di banda di transizione a volte troppo grande. Per molti tipi di filtro, un criterio migliore è quello della minimizzazione del massimo errore assoluto. Per esempio sono stati sviluppati procedimenti per il progetto che minimizzano il massimo errore assoluto in una o più bande di frequenza. Sono stati quindi studiati altri procedimenti iterativi per il progetto di filtri FIR, che in generale danno luogo a filtri migliori di quelli ottenuti con il metodo delle finestre, al prezzo di una maggiore complessità del progetto. M. Usai Circuiti digitali 9_

2 9. Tecnica del campionamento in frequenza In alcuni casi è preferibile impiegare un modello che utilizzi direttamente valori specifici di H d '(ω), senza necessariamente definire la sequenza del filtro h d (n), come nel metodo della finestratura. Una semplice tecnica di questo tipo è basata sulla specificazione di N=M+ campioni frequenzali H d '(ω), uniformemente spaziati con frequenza ω k nell'intervallo (0, π). M. Usai Circuiti digitali 9_

3 Si tratta di una applicazione della trasformata discreta di Fourier (DFT), perché si considera direttamente la DFT ~ H ( k ) desiderata: e la si inverte per ottenere h(n). In particolare il campionamento in frequenza consente di ottenere buoni risultati per i filtri selettivi a banda stretta con pochi campioni non nulli della risposta in frequenza. M. Usai Circuiti digitali 9_ 3

4 Per comprendere come si applica questa tecnica, si considerano due particolari sequenze di h(n): Espansione in coseno o sviluppo in coseno e Espansione in seno o sviluppo in seno Esaminando il loro andamento e quello delle loro trasformate discrete si perviene alla interpretazione del campionamento di frequenza,. M. Usai Circuiti digitali 9_ 4

5 . Cosine Expansion Si desidera ottenere un filtro a fase lineare con h(n) reale e in generale diverso da zero per n= 0,,,M. Per rispondere a queste specifiche, la risposta impulsiva h(n) deve essere simmetrica intorno ad n=m/. Una risposta h(n), che soddisfa questi requisiti, è della forma: [ M /] π k n + hn ( ) = A0 + A cos k, n = 0,,...M (9..) k = M + dove A k sono coefficienti reali e [M/] indica la parte intera di M/. M. Usai Circuiti digitali 9_ 5

6 Si ha così uno sviluppo in serie di armoniche di h(n) con la frequenza angolare fondamentale π/(m+) che si estende senza includerla, sino alla frequenza di Nyquist. E facilmente verificabile che la h(n) può essere espessa in forma esponenziale come: [ /] M π k n+ hn ( ) = A0 + Ak cos, n = 0,,...M k = M + N - hn ( ) = A e jπk/ N e j πkn/ N k, n= 0,,..., N- (9..) k = 0 k N/ con N = M + e Ak = - AN-k. M. Usai Circuiti digitali 9_ 6

7 Quindi possiamo scrivere h(n) come: h(n) N = h k k = 0 N/ (n) alla quale corrisponde la trasformazione: k (9..3) H(z) N = H k k = 0 N/ k (z) (9..4) dove: jπk/n jπkn/n h k (n) = Ak e e, n = 0,,..., N - (9..5) e quindi risulta: jπk/n H Ake ( z k (z) = jπk/n e z N ). M. Usai Circuiti digitali 9_ 7

8 M. Usai Circuiti digitali 9_ 8 Esprimendo z in funzione di ω, si ottiene che H k (ω) è una funzione traslata di Dirichlet che ha un fattore di fase lineare come desiderato, e una ampiezza di: ( ) (9..6) sin sin ) ( ' = ω π ω ω ω N k N e A H N j k k (9..7). sin sin ) ( ' = N k N A H k k π ω ω ω ( ) N j e ω

9 La risposta di ampiezza H k (ω) ha un massimo pari a N A k in corrispondenza della frequenza ω k =πk/n come illustrato in fig Figura 9.9 Ampiezza della risposta H k per un singolo campione di frequenza centrato in ω k M. Usai Circuiti digitali 9_ 9

10 Poiché tutte le altre ampiezze H k (ω), i k sono uguali a zero, il contributo a H (ω) per ω = ω k è uguale a H k (ω), e quindi: ( ) H ' ω = N A k (9..8) Perciò specificando i campioni DFT della risposta desiderata in ampiezza H d (ω) relativi alle frequenze ω k, e ponendo: A =± H '( ω ) / N, (9..9) k d k si ottiene un modello di filtro H(z) dalla (9..) per il quale: H ( ω ) ' = H' ( ω ). k d k cioè la risposta di ampiezza desiderata e la risposta in frequenza effettiva risultano uguali nelle N frequenze ω k. M. Usai Circuiti digitali 9_ 0

11 Nel campo di questi valori di frequenza, per ω ω k, H (ω) è interpolata come la somma delle risposte H k (ω) e la sua ampiezza non è in generale uguale a quella di H d (ω). Si noti che, sebbene i segni di A k non sono specificati dalla (9..9), questi segni potrebbero alternarsi all aumentare di k per prevenire ondulazioni (ripples) elevate nella passa-banda di H (ω) tra le frequenze ω k. M. Usai Circuiti digitali 9_

12 M. Usai Circuiti digitali 9_ Sine Expansion I filtri campionati in frequenza possono essere anche progettati usando h(n) nella forma: dove le A k sono, come quelli della espansione in coseno, date da (9..9), ma i corrispondenti ω k sono ora ( ) ( ) (9..0) M..., 0,, n, sin ) ( / ] / [ = = + = n M M k k A M n k A n h π (9..) π ω = N k k

13 cioè compresi tra quelli dello sviluppo cosinusoidale, che possono essere in alcune applicazioni valori della frequenza più convenienti. Per preservare la fase lineare, i coefficienti A M/+ nella espressione di h(n) possono essere diversi da zero solo se M è pari. Per un filtro ideale passa-basso:, k = 0,,...,P Hk ( ωk) = 0, k = P +,...,[M/]. Quindi dalla (9..9) e dalle considerazioni fatte, dovremmo scegliere: k ( ) /( M + ), k = 0,,...,P Ak = 0, k = P +,...,[M/]. M. Usai Circuiti digitali 9_ 3

14 Però la risposta è molto simile a quella che dovrebbe risultare usando la finestra rettangolare, e l attenuazione della stop-banda è ugualmente deludente (essendo in questo caso minore di 0dB). Il problema, come per l espansione in coseno, consiste nel cercare di ottenere una larghezza di banda di transizione molto stretta. Si riesce a migliorare l attenuazione di stop-banda agendo sui campioni di transizione A p. Se per esempio si include un campione di transizione A p =0.5(-) p /M+ con gli altri A k, k P, come prima, la risposta diventa quella della figura 9., che ha una attenuazione di stop-banda di almeno 30dB. M. Usai Circuiti digitali 9_ 4

15 Figura 9. Campionamento in frequenza del filtro a fase lineare con campione di transizione=0.5 ( per N =40 e P=7). Una semplice ricerca trial-and-error per un valore ottimo del campione di transizione potrebbe facilmente condurci a un valore approssimativo di A p =0.38(-) PM+, che da una attenuazione della stop-banda di circa 40dB, come mostrato in fig. 9.. M. Usai Circuiti digitali 9_ 5

16 Figura 9. Campionamento in frequenza con campione di transizione =0.38 (per N=40 e P=7). La limitazione di questo tipo di progettazione sta: sulla scelta della frequenza di taglio, perché si è vincolati a disporre i campioni unitari, nulli e di transizione secondo multipli interi di π/n. inoltre l errore di approssimazione tende ad essere più alto attorno alla zona di transizione e minore lontano dai campioni di transizione. M. Usai Circuiti digitali 9_ 6

17 9.3 Modelli equiripple Si è visto nel paragrafo 8., che il modello del filtro IIR di ordine più basso che soddisfa le specifiche classiche di selettività della frequenza, è il modello ellitico, che ha oscillazioni (ripples) uniformi nel passa-banda e nello stop-banda. Anche per i filtri FIR potrebbero soddisfare queste specifiche. Questi modelli sono chiamati filtri FIR equiripple ottimi o minimax. Un algoritmo iterativo elegante e potente algoritmo di scambio Remez- fornisce la base per metodi di progettazione efficiente. M. Usai Circuiti digitali 9_ 7

18 Come per gli altri modelli FIR, si assume che la specifica sul passabanda sia : come illustrato per il caso in fig. 9.3, mentre la specificazione stop-banda è: H (ω) δ. ( ) + δ H ' ω δ (9.3.) Inoltre per convenzione si impone che H (ω) sia a fase zero, e quindi puramente reale, facendo in modo che h(n) sia simmetrica rispetto a n=0. M. Usai Circuiti digitali 9_ 8

19 Quindi il filtro di ordine M risulta dispari e: M / M / jωn H '( ω) = h( n) e = h(0) + h( n)cos nω (9.3.) n= M / n= poiché h(n)=h(-n). I termini della risposta impulsiva h(n) corrispondono quindi ai coefficienti della serie finita di Fourier per la funzione periodica reale e dispari H (ω). M. Usai Circuiti digitali 9_ 9

20 Figura 9.3 Specifiche della risposta in ampiezza per il progetto di un filtro FIR a fase lineare Non è possibile specificare indipendentemente ciascuno dei parametri M, δ, δ, ω c e ω r. Sono stati tuttavia sviluppati degli algoritmi di progetto in cui alcuni di questi parametri sono fissati e i rimanenti vengono ottimizzati mediante procedura iterativa. M. Usai Circuiti digitali 9_ 0

21 Un importante parametro nell algoritmo di scambio è il numero totale di picchi nell intervallo chiuso di Nyquist [0,π]. Per determinare questo numero, si noti che la derivata H (ω) in ciascun picco dovrebbe essere nulla eccetto ai bordi della banda (ω c e ω r ). Occorre definire quanti punti di questo tipo possono esserci per la funzione H (ω) nella (9.3.). M. Usai Circuiti digitali 9_

22 Per stabilire il numero di punti o picchi in corrispondenza dei quali devono essere soddisfate tali condizioni, occorre imporre che la derivata prima sia uguale a zero. A tale proposito si noti come cosnω possa essere scritto come un polinomio trigonometrico in cosω di ordine n e quindi come un polinomio di ordine M/ cioè: M / M / n H'( ω) h(0) h( n)cos nω = a (cos ω) (9.3.3) = + n= n= 0 con a n costanti legate ai valori della risposta all impulso. n M. Usai Circuiti digitali 9_

23 Infatti l algoritmo di Parks-McClellan riformula il problema in termini di approssimazioni polinomiali nel seguente modo utilizzando i polinomi di Chebyshev: cos(ωn)=t n (cos ω ) T n (x) = cos[n cos - (x)] essendo: T 0 (x)= T 0 (x)=x T n (x) = x T n- (x) - T n- (x) per n > Quindi facendo la derivata e uguagliando a zero si ottiene: d H dω M / '( ) 0 (sin ) na n ω = = ω n(cos ω). (9.3.4) n= M. Usai Circuiti digitali 9_ 3

24 -Il fattore sinω impone soluzioni a 0 e a π, mentre n - il rimanente polinomio trigonometrico nan (cos ω). è di ordine M/-, e quindi ci saranno al massimo M/ radici distinte. Perciò ci sono M/ + = M/+ picchi possibili con pendenza zero. Sommando i due estremi ai bordi della banda ω c e ω r, si ottiene un numero totale di possibili estremi M/+3. M / n= M. Usai Circuiti digitali 9_ 4

25 Imponendo la condizione di massimo e minimo per le frequenze definite si ottengono i valori dei parametri che definiscono il filtro. d H '( ω) = 0 che equivale a scrivere: dω ω= ω i M / n (sin ) nan(cos ) 0 con i,,... n n= ω= ω ω ω = ω = ω ω ω Dalla teoria della approssimazione il teorema della alternanza stabilisce che il modello ottimo o il solo polinomio, che minimizza il valore massimo consentito dell errore assoluto (definito per un ripple minimo stabilito) è quello che si ottiene imponendo almeno n=m/+ picchi di uguale ampiezza con segni alternati nella banda passante e attenuatrice. Questi picchi sono noti come alternanze (alternations). i M. Usai Circuiti digitali 9_ 5

26 Il modello è extra-ripple quando si dimensiona in modo che le alternanze addizionali previste dal precedente calcolo sono M/+3 (picchi possibili). Questa condizione non è necessaria per la ottimizzazione. I quattro possibili casi equiripple incluso il caso extra-ripple sono illustrati in fig. 9.4 per M=4. Si noti che ci sono 9 alternanze (indicate con *) nei primi 3 casi e 0 nel caso extra-ripple, come ci si aspetta per M=4. I grafici associati poli/zeri sono mostrati in figura 9.5 con il grafico a destra corrispondente al caso più in alto della figura 9.4 e il grafico a sinistra corrispondente ai tre casi più in basso. M. Usai Circuiti digitali 9_ 6

27 (Il grafico del lato destro poli/zeri può anche produrre il caso più alto della figura 9.4, se i quattro zeri al di fuori del cerchio unitario sono abbastanza vicini all asse reale). Figura 9.5 Posizioni degli zeri per dimensionamenti equiripple M. Usai Circuiti digitali 9_ 7

28 Figura 9.4 Dimensionamenti equiripple, compreso il caso extraripple con indicati i punti delle alternanze M. Usai Circuiti digitali 9_ 8

29 Poiche il software CAD è facilmente disponibile in MATLAB, diversamente per progettare filtri equiripple, si potrà descrivere solo a grandi linee le formule del modello generale e l algoritmo di scambio di Remez. Per un dato ordine M è possibile scrivere un sistema di equazioni che garantisce un andamento ad oscillazione uniforme. Si possono fissare tutti i parametri e calcolare iterativamente i valori delle ampiezze minime del ripple δ e δ, che si possono ottenere (sebbene possono essere stimate con buona approssimazione). Sono stati utilizzati due approcci per ottenerle. M. Usai Circuiti digitali 9_ 9

30 Parks e McClellan applicano un peso k alla specificazione dell attenua-banda per fare riferimento ad un unica incognita in modo che fissato δ, δ e δ siano così definiti: kδ =δ =δ, ossia: δ δ =δ e δ = k δ è determinato iterativamente attraverso i coefficienti del filtro. Se le specifiche non sono verificate l ordine viene aumentato e si applica nuovamente l algoritmo. Hersey, Lewis e Tufts impongono che i vincoli al passabanda (o all attenuabanda) siano soddisfatti esattamente per δ = δ (o esattamente per δ = δ per l attenuabanda), mentre il vincolo sul ripple dell altra banda si considera una incognita e si determina iterativamente. M. Usai Circuiti digitali 9_ 30

31 Algoritmo di scambio di Remez ) Si scelgono le M/+ alternanze o picchi, relativi alle frequenze nelle quali si presentano alternanze di pendenza nulla ) si valuta l errore massimo E i corrispondente ai valori di assegnati, ω, ω,... ω i i i M/+ ω, ω,... ω i i i M/+ M / ' ' n i( ω) = d( ω) '( ω) = d( ω) n(cos ω) ω= ωi n= 0 ω= ω E H H H a i M. Usai Circuiti digitali 9_ 3

32 Algoritmo di scambio di Remez i i i 3) Si interpolano i punti definiti con ascissa ai quali sono assocciati le ordinate del i i ± δ (passabanda) o ± δ ( stop banda) K K ( interpolazione di Lagrange) 4) Si calcolano i nuovi (M/+) valori Se risultano uguali ai valori precedenti polinomio interpolante è ottimo e si interrompe il processo, se i+ i+ i+ sono diversi, si assumono le ω, ω,... ω come nuove ascisse e si ritorna al passo. ω, ω,... ω M/+ ω, ω,... ω i+ i+ i+ M/+ ω, ω,... ω M/+ i i i M/+, il M. Usai Circuiti digitali 9_ 3

33 ω c ω r Figura 9.6 Rappresentazione della esima iterazione dell algoritmo di scambio di Remez. Un polinomio trigonometrico della forma (9.3.3) passa, in i i i corrispondenza di queste frequenze ω, ω,... ω M/+, attraverso i punti di ordinata ±δ i nel passa-banda e di ordinata ±δ i /k nello stop-banda con segni alternati in modo che: -δ i si abbia per ω c e +δ i /k per ω r, come riportato in figura. (Si sostituisce ±δ nel passabanda o ±δ nella stop-banda per il metodo di Hersey, Lewys e Tufts.). M. Usai Circuiti digitali 9_ 33

34 Questa nuova valutazione di H (ω) è quindi calcolata con alta risoluzione per determinare le frequenze alle quali si presentano gli estremi attuali (scegliendo se l'estremo in 0 o in π èpiù grande) come indicato dalle x della figura 9.6. Queste frequenze più una nuova valutazione di δ i +, costituiscono gli input della (i+)esima iterazione. Come esempio, le specifiche per gli esempi nel paragrafo 8.3 e 9. sono state usate per disegnare un filtro passa-basso equiripple con il metodo di Parks e McClellan. Il filtro risultante è di ordine M=46 ed è mostrato in fig. 9.7 M. Usai Circuiti digitali 9_ 34

35 Figura 9.7 Risposta in ampiezza del filtro a fase lineare equiripple con M=46. La riduzione sostanziale dell ordine (M=46) rispetto a quello che si ha con la finestra di Kaiser (M=59), è dovuta principalmente al controllo indipendente dalla frequenza del ripple nel passa-banda e nello stop-banda consentito dai metodi di progetto equiripple, contrariariamente alle tecniche di campionamento di frequenza e di windowing M. Usai Circuiti digitali 9_ 35

36 Sono state sviluppate relazioni approssimate per valutare l'ordine M di un modello equiripple dalle specifiche di filtri ω c, ω r, δ e δ. Kaiser ha proposto formula approssimata semplice per determinare M: 0log 0( δδ ) 3 M (9.3.5) 4.6 ω dove ω è la larghezza di banda di transizione normalizzata: ω = ω r π ω c M. Usai Circuiti digitali 9_ 36

37 M. Usai Circuiti digitali 9_ 37 Una formula più precisa per la valutazione di M è data da [90]: dove ( ) (9.3.6) ), ( ), ( ω ω δ δ δ δ g f M. log x, log ), 0.544(.0 ), ( 0.478), ( ) 0.04 ( ), ( 0 0 δ δ δ δ δ δ = = + = = x and x x g x x x x x f

38 Poiché δ e δ sono entrambe generalmente minori di, x e x sono tipicamente negative. Per l esempio precedente con le formule approssimate si è ottenuto : con la prima formula approssimata il valore M=4, mentre con la seconda, che è più precisa si è ottenuto il valore M=43. Quindi poiché iterando il metodo più rigoroso di Remez si è ottenuto un valore di M=46, entrambe le approssimazioni sono piuttosto scarse per questo esempio. M. Usai Circuiti digitali 9_ 38