Segnali periodici Teorema di Fourier Filtri

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1 Segnali periodici eorema di Fourier Filtri Edgardo Smerieri PLS - AIF Scuola Estiva di Fisica Genova 9 Serie di Fourier a a a n + n ( a cos nω t + b s nω t) n ( t dt ) ( t )cos ( nω t dt ) n ω π b n ( t )s ( nω t dt ) A CC + n An s ( nω t + ϕn )

2 Segnali periodici oggetto di misura. Segnale triangolare bipolare antisimmetrico (dispari). Segnale a onda quadra bipolare antisimmetrica (dispari) 3. Segnale a onda quadra bipolare simmetrica (pari) 4. Segnale a onda quadra unipolare antisimmetrica (dispari) 5. Segnale a onda quadra generica (dispari) 6. Segnale a dente di sega bipolare antisimmetrico (dispari) 7. Delta di Dirac 3 Segnale triangolare bipolare antisimmetrico (dispari) Il valore medio è nullo pertanto non c è il terme costante Sono presenti solo termi seno Sono presenti solo armoniche dispari (t) +E /4 / 3/4 t pp E E 4 π pp n ( ) n (n + ) s(n + ) ω t 4 pp sen ωt sen 3ωt + sen 5ωt sen ωt + LL π

3 Segnale a onda quadra bipolare antisimmetrica (dispari) Il valore medio è nullo pertanto non c è il terme costante Sono presenti solo termi seno Sono presenti solo armoniche dispari E E / t pp E π pp n s(n + ) ωt n + pp s ωt + s 3ωt + s 5ωt + s 7ω t + π Segnale a onda quadra bipolare simmetrica (pari) Il valore medio è nullo pertanto non c è il terme costante Sono presenti solo termi coseno Sono presenti solo armoniche dispari E E /4 / t pp E π pp n ( ) n cos(n + ) ωt n + pp cosωt cos3ωt + cos5ωt cos7ω t + π

4 Segnale a onda quadra unipolare antisimmetrica (dispari) Il valore medio è diverso da zero pertanto c è il terme costante Sono presenti solo termi seno Sono presenti solo armoniche dispari E pp E pp / + π pp n s(n + ) ωt n + t pp pp + s ωt + s 3ωt + s 5ωt + s 7ω t + π Segnale a onda quadra generica (dispari) Il valore medio è diverso da zero pertanto c è il terme costante Sono presenti solo termi seno Sono presenti solo armoniche dispari pp E max E m E max + E m dc E max E m / t E max + E m ( E + max E π m ) n s(n + ) ωt n + pp dc + s ωt + s 3ωt + s 5ωt + s 7ω t + π

5 Segnale a dente di sega bipolare antisimmetrico (dispari) Il valore medio è nullo pertanto non c è il terme costante Sono presenti solo termi seno Sono presenti solo armoniche pari e dispari (t) +E E / t pp E pp π n ( ) n s( n + ) ωt n + pp s ωt s ωt + s 3ωt s 4ωt + s 5ω t + π Segnale a delta di Dirac Sono presenti solo termi coseno Sono presenti tutte le armoniche pari e dispari + k δ( t k) + n cosnω t t 5 t [ cosω t + cos ω t + cos3ω t + cos 4ω t + cos ω + ] 5

6 Segnale a delta di Dirac Filtri elettronici FILRO out Modifica l aspetto del segnale d gresso agendo sull ampiezza e sulla fase delle sue componenti spettrali Ad esempio con un segnale d gresso periodico descritto dalla serie di Fourier: uscita si ha: A CC + n An s ( nω t + ϕn ) out B CC + n Bn s ( nω t + ϑn ) 6

7 I filtri analogici Si distguono base al : ipo di risposta frequenza (LPF - HPF - BPF BSF - APF) ipo di circuito con cui si realizzano (Sallen Key - Reazione multipla etc.) ipo di approssimazione (Butterworth - Chebyshev - Bessel -etc. ) Numero d orde del filtro Possono oltre essere: Attivi o passivi Dissipativi e non dissipativi 3 Risposta di un filtro LPF ideale out Non si può fisicamente realizzare un filtro con una risposta di questo tipo Approssimazione della risposta f f Un discorso analogo si può fare anche per gli altri tipi di filtro 4 7

8 Approssimazioni Risposta di filtri passa basso 5 per ω ω si ha Risposta alla Butterworth out out + ω ω.77 qualsiasi sia l orde n del filtro In decibel il valore.77 corrisponde a 3 db n 6 8

9 Il decibel Indichiamo con out e le ampiezze dei segnali Il loro rapporto può essere espresso decibel ovvero out db log out out/ out/ db Risposta di filtri passa basso ( db) La pendenza astotica oltre la frequenza di cut-off è data pendenza n db decade 8 9

10 Azione di un filtro LPF su alcuni segnali tipici Filtro LOW PASS out In tutti i casi il filtro ha una frequenza di taglio di 4 KHz Il tipo di risposta del filtro è alla Butterworth L orde del filtro è 4 I segnali sono Onda quadra (a) a 7 Hz Onda quadra (b) a 646 Hz Dente di sega (a) a 49 Hz Dente di sega (b) a 3 Hz Campioni di Susoide a 35 Hz Campioni di un segnale a 35 Hz con prima e terza armonica 9 Onda quadra (a) Onda quadra a 7 Hz Fondamentale a 7 Hz 7 a Armonica 3689 Hz Filtro passa basso con 4 khz di frequenza di taglio Ingresso Uscita

11 Onda quadra (b) Onda quadra a 646 Hz Fondamentale a 646 Hz 5 a Armonica 33 Hz Filtro passa basso con 4 khz di frequenza di taglio Ingresso Uscita Dente di sega (a) Dente di sega a 49 Hz Fondamentale a 49 Hz 8 a Armonica 39 Hz Filtro passa basso con 4 khz di frequenza di taglio Ingresso Uscita

12 Dente di sega (b) Dente di sega a 3 Hz Fondamentale a 3 Hz 3 a Armonica 396 Hz Filtro passa basso con 4 khz di frequenza di taglio Ingresso Uscita 3 Segnale susoidale campionato Segnale susoidale campionato Fondamentale a 35 Hz Filtro passa basso con 4 khz di frequenza di taglio Ingresso Uscita 4

13 Segnale campionato con a e 3 a armonica Segnale campionato con due componenti di onda quadra : la fondamentale e la terza armonica Fondamentale a 35 Hz 3 a Armonica 6945 Hz Filtro passa basso con 4 khz di frequenza di taglio Ingresso Uscita 5 riangolare riangolare a 45 Hz Fondamentale a 45 Hz 6 a Armonica 39 Hz Filtro passa basso con 4 khz di frequenza di taglio L uscita com è? Ingresso 6 3

14 Schema a blocchi del generatore del sgolo segnale Oscillatore Susoidale Seno Coseno Polarità ± Amplificatore al sommatore La frequenza delle diverse armoniche è fissa 7 Schema a blocchi del dispositivo per la generazione di segnali periodici Generatore di segnale susoidale a Hz Ampiezza e polarità Generatore di segnale susoidale a Hz Ampiezza e polarità Generatore di segnale susoidale a 3 Hz Generatore di segnale susoidale a 8 Hz Ampiezza e polarità Ampiezza e polarità Sommatore Generatore di segnale susoidale a 9 Hz Ampiezza e polarità Generatore di segnale susoidale a Hz Ampiezza e polarità 8 4

15 Dispositivo per la generazione di segnali periodici basato sul teorema di Fourier 9 Dispositivo per la generazione di segnali periodici - Particolare Frequenza ipo di segnale Polarità Regolazione ampiezza del segnale Punto di prelievo del segnale per la misura dell ampiezza Inserimento armonica e tipo armonica 3 5

16 Dispositivo per la generazione di segnali periodici - Particolare Punto a cui connettere la sonda Segnale d uscita all oscilloscopio oltmetro DC Sonda per la misura dell ampiezza 3 Misurazioni Generatore di segnali periodici tramite somma di componenti di Fourier Filtro Passa Basso Oscilloscopio o Multimetro Oscilloscopio o Multimetro 3 6

17 Filtro LPF orde alla Lkwitz-Riley È formato da due filtri identici del primo orde posti cascata La frequenza di taglio di ognuno è di 48 Hz Il filtro complessivo è del secondo orde L attenuazione alla frequenza di taglio è di 6 db 33 Risposta frequenza del filtro alla Lkwitz-Riley 34 7

18 Metodologia di misura Scegliere il tipo di onda La frequenza della componente fondamentale è Hz ed è prefissata Il numero massimo di armoniche con cui si può ricostruire il segnale è prefissato nel numero di (massima frequenza Hz) L ampiezza massima delle sgole componenti è Individuare il tipo di armoniche presenti nel segnale Regolare l ampiezza e la fase della sgola armonica con il multimetro ( DC) posto all uscita del generatore di segnale Alla fe attivare tutte le componenti di Fourier Osservare con l oscilloscopio il segnale uscita dal generatore e fare le misure relative Costruire il filtro e collegarlo all uscita del generatore Osservare il segnale uscita dal filtro con l oscilloscopio e fare le misure relative 35 8