trasformata Z bilatera X(z) = Z{x(n)} x(n)z n con z variabile complessa. 38 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

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1 La trasformata Z Nel caso di segnali / sistemi a T-continuo: trasformata di Laplace generalizza quella di Fourier Nel caso di segnali / sistemi a T-discreto: Trasformata Z generalizza quella di Fourier (utile nell analisi e la rappresentazione di sistemi LIT) Definizione Data x(n): X(z) = Z{x(n)} + n= con z variabile complessa. x(n)z n trasformata Z bilatera 38 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

2 La trasformata Z Esprimendo z in forma polare: z = re jω si ha: X(re jω ) = + n= x(n)(re jω ) n = + n= x(n)r n e jωn Z{x(n)} = F{x(n)r n } r n : sequenza esponenziale Z{x(n)} = F{x(n)} per r =, cioè z = Convergenza di Z{x(n)}: R = {z : Z{x(n)} converge} è detto regione di convergenza. 39 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

3 La trasformata Z La convergenza uniforme della trasformata Z richiede che la sequenza x(n)r n sia assolutamente sommabile: + x(n)r n < n= è possibile che la trasformata Z converga anche se non converge quella di Fourier (x(n) non assolutamente sommabile ma x(n)r n sì). Esempio: x(n) = u(n) non è assolutamente sommabile ma u(n)r n lo è se r > Z{u(n)} con regione di convergenza < z <. In generale: regione di convergenza è anulare nel piano z: R x < z < R x + con R x > 0 e R x + anche. 40 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

4 La trasformata Z Classe importante di trasformate Z è quella per cui: X(z) = rapporto di polinomi in z (funzione razionale) in cui: zeri: z per cui X(z) = 0 (radici del polinomio numeratore) poli: z per cui X(z) = (per valori finiti di z sono le radici del polinomio denominatore) possono anche esserci poli in z = 0 e z = non possono esistere poli di X(z) interni a R, perché X(z) non converge in corrispondenza a un polo. 4 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

5 La trasformata Z Sia x(n) = a n u(n). Im Regione di convergenza a Re ESEMPIO Infatti: Riscrivendo X(z) come funzione razionale: X(z) = = + n= + n=0 a n u(n)z n (az ) n ( ) = az ( ): se az <, cioè z > a R. X(z) = z z a { ) uno zero in z = 0 (indicato con o ) 2) un polo in z = a (indicato con x ) 42 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

6 La trasformata Z Legame tra proprietà di x(n) e R in casi particolari:. Sequenze a lunghezza finita: X(z) = La convergenza richiede che: n 2 n=n x(n)z n (con n,2 interi) x(n) < per n n n 2 Inoltre z può assumere tutti i valori ad eccezione di: z = { se n < 0 0 se n 2 > 0 R = {0 < z < } e R può includere sia z = 0 che z =. 43 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

7 La trasformata Z 2. Sequenze monolatere destre: sono sequenze x(n) = 0 per n < n. X(z) = n=n x(n)z n Per la convergenza deve essere: R = { z > R x } se n 0 (sequenza causale) X(z) converge in z = se n < 0 X(z) non converge in z = se R è l esterno di un cerchio x(n) è monolatera destra. Se z = R x(n) è causale. 44 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

8 La trasformata Z 3. Sequenze monolatere sinistre: sono sequenze per cui x(n) = 0 per n > n 2. X(z) = n 2 n= n (m= n) x(n)z = + m= n 2 x( m)z m applicabili i risultati di sequenze monolatere destre con: n n z z R = { z < R x +} (interno di un cerchio) con l eccezione di z = 0 se n 2 > 0. se X(z) di sequenza monolatera sinistra converge in z = 0 x(n) = 0 n A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

9 La trasformata Z ESEMPIO x(n) = b n u( n ) X(z) = sequenza monolatera sinistra n= b n n (m= n) z = = m= b m z m ± [ ] m=0 }{{} = m=0 b m z m ( ) = ( ): se b z <, cioè se z < b = b z = b b z = z z b { z = 0 zero con R = { z < b } e z = b polo Im Regione di convergenza Piano z b Re 46 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

10 La trasformata Z 4. Sequenze bilatere sono sequenze che si estendono da n = a n = +. X(z) = + n= Serie A: monolatera destra con x(n)z n = + n=0 x(n)z n + } {{ } A n= x(n)z n } {{ } B Serie B: monolatera sinistra con R A = { z > R x } R B = { z < R x +}. R x < R x + esiste una R A+B = {R x < z < R x +} 2. R x > R x + non esiste una R A+B X(z) non converge. 47 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

11 La trasformata Z ESEMPIO x(n) = { a n n 0 b n n = an u(n) b n u( n ) con a < b X(z) = z z a + z z b con R = { a < z < b } e: = z(2z a b) (z a)(z b) z = 0 e z = a + b 2 : zeri z = a e z = b: poli 48 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

12 Trasformata Z inversa Teorema integrale di Cauchy: z k dz = 2πj C { k = 0 0 k 0 Tenendo presente che X(z) = x(n) = 2πj n= x(n)z n C X(z)z n dz = Z {X(z)} ( n 0 ) con C percorso antiorario chiuso situato in R di X(z) e intorno all origine del piano z. 49 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

13 Trasformata Z inversa Se X(z) è funzione razionale: (usando il teorema dei residui) x(n) = Z {X(z)} = 2πj C X(z)z n dz = [residui di X(z)z n nei poli interni a C] Se X(z)z n è razionale, può esprimersi come X(z)z n = ψ(z) (z z 0 ) s con ψ(z) priva di poli in z = z 0 e X(z)z n con s poli in z = z 0. residuo[x(z)z n in z = z 0 ] = ψ(z 0 ) se si ha un polo del primo ordine in z = z 0 (cioè s = ), mentre, in generale, se s : residuo[x(z)z n in z = z 0 ] = [ d s ] ψ(z) (s )! dz s z=z 0 50 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

14 Trasformata Z inversa x(n) = 2πj X(z) = ESEMPIO C z n az z > a dz = az 2πj C z n z a dz con C circonferenza di raggio maggiore di a: Per n 0: C racchiude un polo in z = a residuo[x(z)z n in z = a] = a n x(n) = a n n 0 5 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

15 Trasformata Z inversa ESEMPIO (continua) Per n < 0: polo multiplo in z = 0 di ordine n. n = X(z)z n = z z a = z(z a) Poli interni a C: z = 0, z = a, entrambi di ordine. Polo in 0: X(z)z n = ψ(z) (z a) = z z ψ(z) = (z a) Residuo in 0: ψ(0) = (0 a) = a Polo in a: X(z)z n = ψ(z) z a = Residuo in a: ψ(a) = a z z a ψ(z) = z Somma dei residui: a + a = 0 x( ) = 0 52 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

16 Trasformata Z inversa n = 2 X(z)z n = z 2 z a = z 2 (z a) Poli interni a C: z = 0, di ordine 2, e z = a, di ordine. Polo in 0: X(z)z n = ψ(z) (z a) = ψ(z) = (z a) z 2 z [ ] 2 d s ψ(z) Residuo in 0: con s = 2 (s )! dz s z=0 [ ] d ψ(z) = dψ(z) [ ( d! dz z=0 dz = z=0 dz z a)] z=0 = (z a) 2 = z=0 (0 a) = 2 a 2 53 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

17 Trasformata Z inversa Polo in a: X(z)z n = ψ(z) z a = z 2 z a ψ(z) = z 2 Residuo in a: ψ(a) = a 2 Somma dei residui: a 2 + a 2 = 0 x( 2) = 0 procedendo così... x(n) = 0 n < 0 54 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

18 Trasformata Z inversa È possibile semplificare la Z { } per n < 0: x(n) = X(z)z n dz 2πj } C {{} z=p = 2πj = 2πj X C X C ( p ( ) p n+ p 2 dp p ) p n dp ( ) Se C è circonferenza di raggio r in piano z C è circonferenza di raggio /r in piano p I poli di X(z) esterni a C corrispondono a poli di X(/p) interni a C e viceversa ( si può avere la comparsa di poli e/o zeri addizionali nell origine e/o all infinito) 55 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

19 Trasformata Z inversa Nell esempio di prima ESEMPIO (continua) ) : ( X(z) = az x(n) = 2πj C p n ap dp con C = circonferenza di raggio minore di /a. Se n < 0: polo in p = /a non vi sono singolarità interne al percorso di integrazione (facilmente) x(n) = 0 n < 0 56 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

20 Trasformata Z inversa Serie di potenze: Se X(z) è in forma di una serie di potenze x(n) è determinabile come coefficiente del termine z n della serie di potenze ESEMPI. X(z) = log( + az ), z > a espandendo il log( + x) in serie di potenze ( ) n+ a n z n X(z) = n n= n+ an ( ) x(n) = n n 0 n 0 57 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

21 Trasformata Z inversa 2. Per X(z) razionali si può ottenere una espansione in serie di potenze usando la divisione. P.e. X(z) = /( az ), z > a az az + az + a 2 z = a n u(n) = x(n) az az a 2 z 2 a 2 z 2 a 2 z 2 a 3 z 3. x(n) = a n u(n). R = esterno di cerchio x(n) monolatera DX 2. lim z X(z) = costante < x(n) causale. 58 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

22 Trasformata Z inversa 3. P.e. X(z) = /( az ), ma z < a x(n) monolatera SX Dividendo X(z) = z per z = 0 X(z) < termini z n z=0 = z n z=0 con n > 0 devono essere assenti ( ) x(n) = 0 per n > 0 z, si ha: a + z a + z z a z 2 a z + a 2 z 2 a z 2 a z 2 a 2 z 3... x(n) = a n u( n ) ( ) = a n u( n ) = x(n) 59 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

23 Trasformata Z inversa Espansione in fratti semplici: Se X(z) è razionale si può espandere in fratti semplici e identificare la Z in termini più semplici: X(z) = P (z) Q(z) con grado[p (x)] = M ( ) grado[q(x)] = N: con ( ) X(z) = M N j=0 B j z j + N k=,k i A k z z k + s k= C k (z z i ) k C k = A k = (z z k )X(z) z=zk { } d s k (s k)! dz (z z i) s X(z) s k z=z i 60 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

24 Trasformata Z inversa ESEMPIO X(z) = di x(n) monolatera DX ( az )( bz ) Espandendo X(z) in fratti semplici considerandola come un rapporto di polinomi in z (alternativamente: in z): X(z) ( a )( b ) = = /(b a) [z a ] a b [z a ][z b ] + /(a b) [z b ] = a a b az + b b a x(n) = a a b an u(n) + b b a bn u(n) bz 6 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

25 Trasformata Z inversa Altro svolgimento X(z) = ( az )( bz ) p=z = X(p) = X(p ) = ( ap)( bp) a b = X(p) = a b (b p)(a p) = a b (p b )(p a ) A = A 2 = [ (p p ) X(p) ] p=p [ (p p 2 ) X(p) ] p=p2 X(p) = A p b + A 2 p a [ = (p b a b ) (p b )(p a )] [ = (p a a b ) (p b )(p a )] p=b = p=a = a b b a a b a b 62 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

26 Trasformata Z inversa X(p) = a b b a ab = a b = b a b = b b a X(z) = X(z) = b b a p b + p b + bp + bp + a a b a b a b b a p a a b a ap ap bz + a a b b b a bn u(n) + p a az a a b an u(n) 63 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

27 Trasformata Z inversa Altro svolgimento X(p) = X(p ) = ( ap)( bp) = A ( ap) + B ( bp) ( ap)( bp) = = A( bp) + B( ap) = (A + B) (Ab + Ba)p { { = A + B B = A 0 = Ab + Ba 0 = Ab + ( A)a = a + (b a)a a = (b a)a (a b)a = a A = a a b B = A = a a b = a b a a b = b a b = B = b b a 64 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

28 Trasformata Z inversa X(p) = a a b ap + b b a bp X(z) = a a b az + b b a bz X(z) = a a b an u(n) + b b a bn u(n) 65 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

29 Trasformata Z inversa Riassumendo, abbiamo preso in considerazione i seguenti metodi di calcolo della trasformata Z inversa: Integrale curvilineo, metodo dei residui Serie di potenze Divisione lunga Espansione in fratti semplici 66 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

30 Regione di convergenza di trasformate Z razionali Per una sequenza con Z-trasformata razionale Z{ } non converge in corrispondenza a un polo. Una sequenza monolatera DX con poli a 0, a,..., a N dove a N ha il modulo più grande e, per semplicità, i poli sono tutti semplici N x(n) = A k (a k ) n n > n 0 k=0 R è limitata verso l interno dal polo di modulo massimo e verso l esterno da. 67 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

31 Regione di convergenza di trasformate Z razionali Se x(n) è monolatera sinistra R è limitata verso l esterno dal polo di modulo minimo e verso l interno da 0. Se x(n) è bilatera: Qualche polo contribuisce solo per n 0 e i restanti solo per n 0. R è limitata verso l esterno dal polo con modulo minimo, che contribuisce per n 0, e verso l interno dal polo con modulo massimo, che contribuisce per n A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

32 Regione di convergenza di trasformate Z razionali ESEMPI Esempi di quattro trasformate Z con la stessa disposizione di poli e zeri, illustranti le differenti possibilità per la regione di convergenza. Ciascuna di esse corrisponde a una sequenza diversa, con (a) corrispondente ad una sequenza monolatera destra, (b) ad una sequenza monolatera sinistra, e le rimanenti due a sequenze bilatere. 69 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

33 Riassunto delle proprietà della Z-trasformata Sequenza Trasformata Z Regione di convergenza x(n) X(z) R x < z < R x + y(n) Y (z) R y < z < R y + ax(n) + by(n) ax(z) + by (z) max[r x, R y ] < z < min[r x +, R y +] x(n + n 0 ) z n 0 X(z) R x < z < R x + a n x(n) X(a z) a R x < z < a R x + nx(n) z dx(z) R dz x < z < R x + x (n) X (z ) R x < z < R x + x( n) X(/z) /R x + < z < R x R[x(n)] 2 [X(z) + X (z )] R x < z < R x + I[x(n)] 2j [X(z) X (z )] R x < z < R x + x(n) y(n) X(z)Y (z) max[r x, R y ] < z < min[r x +, R y +] ( z ) x(n)y(n) X(v)Y v dv R 2πj C v x R y < z < R x +R y + 70 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

34 Proprietà della Z-trasformata Linearità della Z-trasformata Se x(n) X(z) e y(n) Y (z) R x < z < R x + R y < z < R y + Si ha: Z[ax(n) + by(n)] = ax(z) + by (z) R < z < R + con R data al minimo dall intersezione delle R x e R y. 7 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

35 Proprietà della Z-trasformata Linearità della Z-trasformata Se X(z) e Y (z) sono funzioni razionali e i poli di [ax(z)+by (z)] sono l unione dei poli di X(z) e Y (z) R = R x R y R + = min{r x +, R y +}, R = max{r x, R y } Se la combinazione lineare introduce alcuni zeri che cancellano alcuni poli R può essere più estesa P.E. x(n) = a n u(n) ( z > a ) e y(n) = b n u(n ) ( z > b ) Se a = b = a n u(n) a n u(n ) durata finita e R con z qualsiasi (intero piano z) 72 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

36 Proprietà della Z-trasformata Traslazione di una sequenza Se x(n) X(z) con R x < z < R x + si ha: Z[x(n + n 0 )] = z n 0 X(z) R x < z R x + Le R di x(n) e x(n+n 0 ) coincidono a meno eventualmente di z = 0 oppure z =. P.E. Infatti: δ(n) ha R piano z ma δ(n + ) ha R = {piano z {z = }} δ(n ) ha R = {piano z {z = 0}} n 0 > 0 { zeri in z = 0 poli in z = n 0 < 0 { zeri in z = poli in z = 0 73 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

37 Proprietà della Z-trasformata Moltiplicazione per una sequenza esponenziale Se x(n) X(z) con R x < z R x + si ha: Z{a n x(n)} = n x(n)a n z n = n x(n)(a z) n = X(a z) con a complesso e a R x < z < R x + Se X(z) ha poli in z = z i X(a z) li ha in z = az i. In generale: Tutte le posizioni dei poli e degli zeri sono modificate per un fattore a a > 0 reale: a complesso con a = : compressione oppure espansione del piano z (cioè posizioni di poli e zeri cambiano lungo linee radiali nel piano z) rotazione nel piano z (cioè posizioni di poli e zeri cambiano lungo circonferenze con centro nell origine) 74 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

38 Proprietà della Z-trasformata Convoluzione di sequenze Se x(n) X(z) e y(n) Y (z) R x < z < R x + R y < z < R y + Z{w(n) = k x(k)y(n k)} = W (z) = X(z)Y (z) con R w R x R y Se un polo che limita R x oppure R y è cancellato da uno zero di R y oppure R x R w sarà più estesa di R x R y. 75 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

39 Proprietà della Z-trasformata y(n) = a n u(n) z > a Y (z) = ESEMPIO az e x(n) = u(n) z > X(z) = z Nella figura è evidenziata la regione di convergenza di W (z) = X(z)Y (z) = ( az )( z ) z 2 = z > (z a)(z ) R w = R x R y 76 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

40 Proprietà della Z-trasformata ESEMPIO (continua) w(n) = Z {W (z)} = 2πj C z n+ (z a)(z ) dz con X R w Per n 0 non ci sono poli in z = 0. Dal teorema dei residui: w(n) = an+ a + n+ a = an+ a n 0 Per n < ci sono poli in z = 0. Si nota che, essendo x(n) e y(n) nulle per n < 0, anche w(n) lo è. 77 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

41 Proprietà della Z-trasformata Se W (z) = X(z)Y (z) = X(z) in z = Y (z) z > a = z az az, con cancellazione del polo di R w = R y R x R y 78 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

42 Proprietà della Z-trasformata Teorema della convoluzione complessa Se x(n) X(z) e y(n) Y (z) R x < z < R x + R y < z < R y + per w(n) = x(n)y(n) si ha: W (z) = ( z ) X 2πj C v con R w tale che: Y (v)v dv = 2πj R y < v < R y + e R x < X(v)Y C 2 z < R v x + ( z ) v dv v ( ): R w potrà essere più estesa. cioè {R x R y < z < R x +R y +} ( ) R w 79 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

43 Proprietà della Z-trasformata Relazione di Parseval Se x(n) X(z) e y(n) Y (z) e w(n) = x(n)y (n) si ha: W (z) = X(v)Y (z /v )v dv 2πj C W (z) z= = x(n)y (n) = X(v)Y (/v )v dv 2πj n C }{{} relazione di Parseval 80 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

44 Proprietà della Z-trasformata Se X(z) e Y (z) convergono sul cerchio unitario, si può scegliere v = e jω : ε xy = n x(n)y (n) ( ): C = cerchio unitario ( ) = 2πj = 2π π π π π X(e jω )Y (e jω )e jω je jω dω X(e jω )Y (e jω )dω 8 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

45 Funzione di trasferimento x(n) X(z) h(n) y(n) Y(z) SISTEMA LIT y(n) = x(n) h(n) Y (z) = X(z)H(z) con H(z) = Z{h(n)} FUNZIONE DI TRASFERIMENTO calcolata per z =, cioè sul cerchio unitario, è la risposta in frequenza del sistema In un sistema stabile e causale R comprende il cerchio unitario e tutto il piano z (anche z = ) ad esso esterno 82 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

46 Funzione di trasferimento Se il sistema è descrivibile con un equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti si ha: N M a k y(n k) = b r x(n r) k=0 r=0 Z Z N M a k Z{y(n k)} = b r Z{x(n r)} k=0 r=0 H(z) = N M a k Y (z)z k = b r X(z)z r k=0 r=0 H(z) = Y (z) X(z) M b r z r rapporto di polinomi in z N a k z k r=0 k=0 83 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

47 Funzione di trasferimento Anche: H(z) = Ogni vettore: M A ( c r z ) r= N ( d k z ) k= ( c r z ) contribuisce con uno zero in z = c r e un polo in z = 0 ( d k z ) contribuisce con uno zero in z = 0 e un polo in z = d k 84 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

48 Proprietà della Z-trasformata L equazione alle differenze non specifica univocamente la h(n) di un sistema LIT non indica la R di H(z) molte scelte per R di H(z) con il vincolo che corrispondano a regioni anulari limitate da poli (senza contenerli) Ogni scelta di R una diversa h(n) ma tutte le h(n) corrispondono a stessa equazione alle differenze P.E.: - se sistema stabile R cerchio unitario - se sistema causale R = esterno di cerchio per polo di H(z) più lontano da z = 0. - se sistema causale e stabile tutti i poli cadono all interno del cerchio unitario e R cerchio unitario 85 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

49 Proprietà della Z-trasformata ESEMPIO: y(n) = ay(n ) + x(n) causale H(z) = az per la ipotesi di causalità R = { z > a } h(n) = a n u(n) 86 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

50 Proprietà della Z-trasformata Caso particolare: N = 0 sistema non ha poli eccetto in z = 0 ed è FIR N > 0 sistema ha poli, ciascuno dei quali contribuisce con una sequenza esponenziale a h(n) se H(z) ha poli il sistema è IIR 87 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

51 Proprietà della Z-trasformata ESEMPIO (Configurazione di poli e zeri per un filtro del primo ordine e risposta in frequenza corrispondente) Equazione alle differenze del o ordine: dal diagramma poli-zeri H(z) = az h(n) = a n u(n) 88 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

52 Proprietà della Z-trasformata ESEMPIO h(n) = a n 0 n M 0 altrove H(z) = M n=0 an z n = am z M az = zm a M z M (z a) Zeri numeratore: z k = ae j(2π/m)k, k = 0,,..., M (a > 0 per HP) 89 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

53 Rappresentazione di sequenze periodiche - La serie di Fourier discreta (DFS) Sia x(n) una sequenza periodica di periodo N: x(n) = x(n + kn) k per tale sequenza alcun valore di z per cui la Z- trasformata converge x(n) rappresentabile con una serie di Fourier Dal momento che l esponenziale complesso: e k (n) = e j(2π/n)nk è periodico in k con periodo N: e 0 (n) = e N (n) e (n) = e N+ (n). gli N esponenziali e k (n), k = 0,..., N definiscono tutti gli esponenziali complessi distinti con frequenze multipli interi di 2π/N 90 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

54 La serie di Fourier discreta (DFS) per la rappresentazione in serie di Fourier di x(n) bastano solo N esponenziali complessi x(n) = N N k=0 X(k)e j(2π/n)kn : costante moltiplicativa inserita per convenienza N I coefficienti X(k) sono dati da: X(k) è periodica di periodo N X(k) = N n=0 x(n)e j(2π/n)nk 9 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

55 La serie di Fourier discreta (DFS) Ponendo: si ha: DISCRETE FOURIER SERIES (serie di Fourier discreta) con: X(k) e x(n) periodiche W N e j(2π/n) x(n) DFS X(k) X(k) = x(n) = N N n=0 N k=0 x(n)w kn N X(k)W kn N (ANALISI) (SINTESI) 92 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

56 La serie di Fourier discreta (DFS) Interpretazione della X(k): p.e., data x(n) X(z) = Z{x(n)} = n x(n)z n = si ricava x(n) N n=0 x(n)z n } {{ } ( ) ( ): per z = e j(2π/n)k = W k N è X(k) ; (2π/N)k = ω, f = k/n 93 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

57 La serie di Fourier discreta (DFS) X(k) = X(z) z=w k N campionamento di X(z) su N punti equispaziati sul cerchio unitario con il primo campione in z = Piano z 2π/N 94 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

58 Proprietà della serie di Fourier discreta (DFS) - Riassunto Sequenza periodica (periodo N) x(n) ỹ(n) a x(n) + bỹ(n) x(n + m) W ln N Coefficienti della DFS X(k) periodica di periodo N Ỹ (k) periodica di periodo N a X(k) + bỹ (k) X(k) W km N N x(n) X(k l) x(m)ỹ(n m) (convoluzione periodica) X(k) Ỹ (k) m=0 x(n)ỹ(n) x (n) x ( n) x(n) reale qualsiasi N N l=0 X(l)Ỹ (k l) X ( k) X (k) X(k) = X ( k) R[ X(k)] = R[ X( k)] I[ X(k)] = I[ X( k)] X(k) = X( k) arg[ X(k)] = arg[ X( k)] 95 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

59 Proprietà della serie di Fourier discreta (DFS) Linearità x i (n) X i (k), i =, 2 con stesso periodo N x 3 (n) = a x (n) + b x 2 (n) X 3 (k) = a X (k) + b X 2 (k) tutte di periodo N 96 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

60 Proprietà della serie di Fourier discreta (DFS) Traslazione di una sequenza x(n) X(k) 2a) x(n + m) e j(2π/n)km X(k) = W km N X(k) Nota: ogni traslazione m N non è distinguibile nel dominio del tempo da una traslazione più corta m = m modulo N. 2b) X(k + l) e j(2π/n)nl x(n) = W nl N x(n) 97 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

61 Proprietà della serie di Fourier discreta (DFS) Convoluzione periodica Se x i (n) X i (k), i =, 2 di periodo N x 3 (n) = N m=0 X 3 (k) = X (k) X 2 (k) x (m) x 2 (n m) convoluzione periodica. commutativa 2. eseguita solo su un periodo N 3. periodica di periodo N punti 2 e 3: diversità da convoluzione aperiodica 98 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

62 Proprietà della serie di Fourier discreta (DFS) Esempio di convoluzione periodica (continua) Procedimento di formazione della convoluzione periodica di due sequenze periodiche 99 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

63 Proprietà della serie di Fourier discreta (DFS) Esempio di convoluzione periodica In questo tipo di convoluzione: quando un periodo esce dall intervallo su cui essa è valutata, vi entra il periodo successivo scambiando i ruoli tempo frequenza: x 3 (n) = x (n) x 2 (n) X 3 (k) = N N l=0 X (l) X 2 (k l) } {{ } ( ) ( ): convoluzione periodica di sequenze X (k) e X 2 (k) 00 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

64 Campionamento della trasformata Z Sia x(n) sequenza aperiodica con: X(z) = n x(n)z n avente R che comprende il cerchio unitario (questa condizione è sempre soddisfatta se x(n) ha lunghezza finita) Valutando: X(z) z=w k N = n x(n)w +kn N con W N = e j(2π/n) si ottiene: sequenza periodica X(k) Si vuole ricavare relazione tra: x(n) e x(n) i cui coefficienti della DFS sono ottenuti da X(z) = Z{x(n)} campionandola sul cerchio unitario 0 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

65 Campionamento della trasformata Z x(n) = N = m N k=0 X(k)W kn N [ x(m) N N k=0 X(k)=camp{X(z)} = W k(n m) N ] } {{ } ( ) = r N N k=0 X(z) campionata { }}{ x(m)wn km W kn N m x(n + rn) ( ): vale { m = n + rn 0 altrove 02 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

66 Campionamento della trasformata Z Sequenza periodica risultante è originata dalla sequenza aperiodica sovrapponendo ripetizioni successive di quest ultima Se x(n) ha durata finita < N: è ricostruibile da x(n) estraendone un periodo, in quanto ogni periodo di x(n) è una replica di x(n); Se x(n) ha durata > N: c è sovrapposizione di valori diversi da zero (aliasing) una sequenza lunga N è esattamente rappresentabile da N campioni della sua Z-trasformata presa sul cerchio unitario (importante!!) Se x(n) è ricostruibile dagli N valori di x(z) sul cerchio unitario, anche X(z) può essere riottenuta dagli stessi N campioni 03 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

67 Campionamento della trasformata Z Se x(n) = 0 n N: N X(z) = x(n)z n n=0 ( ) = N n=0 ( ): x(n) = x(n), 0 n N [ N N ( = N k=0 X(k) n=0 W k N x(n)z n z ) n DFS = N n=0 [ N ( ): scambio ] = N N k=0 N k=0 X(k) X(k)W kn N ] z n k (WN z ) N W k = N z ( ) = = N N k=0 X(k) z N W k N z N = z N N k=0 X(k) ( ) W k N z ( ) ( ): bastano N campioni X(k) per costruire X(z)! c.v.d. ( ): relazione tra X(z) e X(k) = N campioni frequenziali di X(z). 04 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

68 Campionamento della trasformata Z Piano z 2π/N Punti del circolo unitario dove è campionata X(z) per ottenere una sequenza periodica X(k). Dalla: X(z) = z N N N k=0 X(k) W k N z ponendo z = e jω si trova: 05 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi

69 Campionamento della trasformata Z con X(e jω ) = N k=0 X(k)Φ ( ω 2π ) N k Φ(ω) = sin(ωn/2) N sin(ω/2) e j(n )ω/2 ponendo k = 0,..., N, ω = 2π N k X(e jω ) ω=( 2π = X(k) )k N cioè l interpolazione è esatta nei punti di campionamento originali 06 A cura di M. Ruggieri, M. Pratesi