è un segnale periodico di periodo T0 1 equazioni di analisi e di sintesi stabiliscono

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1 PROPRIEA ELEMENARI Se x( t) è un segnale periodico di periodo 0 di classe C 1 -tratti e normalizzato, le equazioni di analisi e di sintesi stabiliscono una corrispondenza fra x( t) e la sequenza dei suoi coefficienti di Fourier. ale corrispondenza è espressa nel seguito mediante la scrittura: x t X k X k

2 1. Linearità. Se x t e x t sono entrambi periodici di () periodo e x t X e x t X k 2 k allora per ogni AB, vale: Ax t + Bx t AX + BX k k

3 2. raslazione (nel tempo). Se x() t è periodico di periodo 0 con x t k allora per ogni t0 il segnale x( t t ) 0 è ancora periodico di periodo e vale : X 0 j2kπf00 t x t t0 e X k

4 Poiché : j 2 k π f 00 e t X = X possiamo dedurre che: k ( j2kπf ) 00 t k k arg Xe = argx 2kπ ft+ 2mπ Una traslazione nei tempi di x( t) non modifica l'ampiezza delle armoniche che lo rappresentano ma ne produce uno sfasamento k 0 0 = argx 2π kf t m k 0 0 km,

5 3. Cambiamento di scala. Se x() t è periodico di periodo 0 con x t X k allora per ogni α 0 il segnale x( αt) è periodico di periodo α e vale : 0 / x αt X k

6 ovvero, se allora: x t () = k = Xe j k f t 2 π o 0 k= Un cambiamento di scala nei tempi non modifica l'ampiezza né la fase delle armoniche mentre ne modifica la frequenza k x α t = Xe k j2kπ α f t

7 Un risultato importante è: eorema (di Parseval). Sia x() t segnale periodico di periodo 0. Se x() t è -tratti e allora: 1 o C k o o /2 /2 Da esso si ottengono: x t 2 2 x() t dt = X k= X k

8 1. enendo conto che, se x t è un segnale C-tratti x 1 o o o /2 /2 () periodico di periodo P x t dt = indica la potenza di x( t), l uguaglianza precedente ha la seguente interessante interpretazione: 2 0

9 Se x() t allora la k-esima armonica della serie: j2kπfot xk t = Xke è anche essa un segnale di periodo 0 la cui potenza è: o /2 o /2 2 j2kπfot P x t dt X e dt k o () = = = x k k o /2 o /2 o / = X dt = o o /2 k k= Xe o k X j k f t 2 π o o k 2 o = X k 2

10 Dunque l uguaglianza del eorema di Parseval 1 o o o /2 /2 2 2 x() t dt = X k= k può essere anche scritta: P x x k k= Ovvero: la potenza del segnale x( t) è uguale alla somma delle potenze delle armoniche che lo compongono = P

11 2. Lemma di Riemann-Lebesgue x t Poiché è C-tratti l integrale 1 o o o /2 /2 x t () 2 dt è convergente. Il eorema di Parseval assicura dunque che la serie k= X k 2 è anch essa convergente.

12 Per tale motivo, la condizione necessaria di convergenza implica che: X k 2 0 k ± ovvero: 2 2 α +β 0 k k k ± e quindi, 1 o /2 () ( k f t) α k = π 0 k ± o o /2 /2 1 o xt dt cos 2 0 () ( k f t) β k = π 0 k ± o o /2 xt dt sin 2 0

13 RASFORMAA DI FOURIER Permette di analizzare in frequenza segnali non periodici. Se x() t è un segnale definito su a valori reali o complessi, la trasformata di Fourier di x( t) è definita formalmente da: f X f e x t dt = j 2πf t () per gli per cui tale integrale converge.

14 L integrale j 2πf t e x t dt è detto: () integrale di Fourier relativo a x( t) Se converge, definisce la funzione di variabile reale X ( f ) che assume in genere valori complessi.

15 Se j 2πft X f = e x( t) dt la funzione X ( f ) è detta: rasformata di Fourier di x( t) (o F-trasformata di x t ) e si scrive X f = Fx f = x f ˆ

16 Se e j2πft x t dt () è convergente si dice anche che: x( t) è trasformabile secondo Fourier (oppure che è F-trasformabile) e si scrive x t X f F

17 Esempio 18. Il segnale: t x() t = rect >0 x(t) 1 1/2 -/2 /2 t è F-trasformabile per ogni f. Infatti: e /2 j2πf t j2πft x t dt () = /2 che è convergente per ogni f. e dt

18 Se f 0 : /2 j2πft X f e dt = /2 t= /2 /2 j2πft j2πft e X f = e dt = = j2πf /2 t= /2 jπf jπf 1 e e sin ( πf ) = = = πf 2 j πf = sinc f

19 f = j2π0t Se 0 : /2 X 0 = e dt= = sinc 0 /2 In conclusione possiamo scrivere che: se t x() t = rect allora X f = sinc f per ogni f o anche: t F rect sinc( f)

20 Vale il seguente: eorema (Condizione sufficiente per F-trasformabilità): Sia x() t un segnale assolutamente integrabile in senso generalizzato su. Allora: X ( f ) è definita per ogni X ( f ) è continua su ; f X ( f ) è limitata in (cioè sup X ( f ) cost) f lim X( f ) = 0 (Lemma di Riemann-Lebesgue) f ±

21 Ricordiamo che: x() t segnale definito su è assolutamente integrabile in senso generalizzato su se: si scrive anche: x() t dt è convergente x t dt () <

22 Esempio 18bis. Il segnale: t x() t = rect >0 x(t) 1 1/2 -/2 /2 è assolutamente integrabile in s. g. su essendo t rect dt = t

23 Il eorema assicura quindi che esso è F- trasformabile per ogni f. Non solo: Assicura pure che X ( f ) è continua e limitata in e che lim X f = 0 f ± Infatti la funzione X ( f ) = sinc( f) determinata nell Esempio 18 verifica tutte queste proprietà.

24 Prima di fare qualche altro esempio di calcolo, osserviamo alcune proprietà della trasformata di Fourier. Poiché è anche ( cos 2 sin 2 ) () X ( f ) = ( πft) j ( πf ) x t dt j 2πf t () X f e x t dt =

25 Cosicché ( cos 2 sin 2 ) () X ( f ) = ( πft) j ( πf ) x t dt ( ) Re X f = cos 2πft x t dt ( ) Im X f = sin 2πft x t dt

26 1. Se x() t è F-trasformabile e pari: Im X f sin 2 ft x t dt 0 dunque è reale. ( ) = π = X ( f ) = 2 cos( 2πft) x( t) dt 0

27 2. Se x() t è F-trasformabile e dispari: Re X f cos 2 ft x t dt 0 dunque ( ) = π = X ( f ) = j2 sin( 2πft) x( t) dt è immaginario puro. 0

28 Esempio 19. Il segnale: t x() t = triang > 0 x(t) 1 - t è assolutamente integrabile in s. g. su essendo, per ovvie considerazioni di tipo geometrico, t triang dt = triang dt = t

29 E quindi F-trasformabile per ogni f. Se f = 0 essendo X t = x t dt= () 0 triang dt è X ( 0) =

30 Poiché x( t) è pari, la sua trasformata è reale ed è del tipo: X ( f ) = 2 cos( 2πft) x( t) dt Poiché 0 x( t) = 0 per t > risulta X t x t = 1 per t 0, () = 2 cos 2πft 1 ( f ) 0 t dt

31 Se f 0, integrando per parti: X t = 2 cos 2πft 1 dt = ( f ) 0 t sin ( 2πft) = πf 1 sin ( 2πft) + 2 dt = 2 πf 0 1 = sin ( 2πft) dt πf 0 t= t= 0

32 1 X ( f ) = sin ( 2π ft) dt = πf 0 1 cos( 2πft) = = πf 2πf t= cos( 2πf ) = = πf 2πf 2 1 2sin πf = π f 2 π f t= 1 cos 2 2sin 2 α = α

33 X ( f ) 2 1 2sin ( πf ) = = πf 2 πf sin ( πf ) = = πf 2 f 2 sinc Riassumendo: per ogni f triang t F sinc 2 f > 0

34 Esempio 20. Il segnale: xt = ute t / x(t) 1 > 0 0 t è assolutamente integrabile in s. g. su essendo t/ t () t/ t/ e ute dt = e dt = = 1/ 0 t/ 1 lim = e = t t= 0

35 E quindi F trasformabile per ogni f. Osserviamo che se f = 0, essendo: è () / 0 = = 0 t X x t dt e dt X ( 0) = E poi:

36 j2πft j2 πft t/ X f e x t dt e e dt Poiché = = = () ( 2 1/ ) = e dt = 0 ( 2 1/ ) π + t j π f + t j f e j2π f + 1/ t 0 t= 0 j2 πft t/ t/ e e = e 0 t risulta X ( f ) = 1 1/ + j2πf () t/ F 1 ute 1/ + j2 π f > 0 cioè f

37 Poniamoci ora il problema inverso: dato il segnale x( t) definito in, per cui è possibile scrivere la trasformata di Fourier: X f e x t dt = j 2πf t () f ( per esempio x( t) assolutamente integrabile in senso generalizzato su )

38 Se a partire da tale funzione costruiamo l integrale: X ( f ) = ( Fx)( f ) j 2πf t e X f df tale integrale converge? e se converge, converge a x( t)?

39 In generale, la sola condizione che x( t) sia assolutamente integrabile in s. g. su non è sufficiente a ciò. Esempio 21 Si è visto che, se allora ma, in tal caso, X f = sinc f t x() t = rect j 2πf t e X f df non è neppure convergente.

40 Si ha invece: eorema (di inversione di Dirichlet). Sia x() t segnale assolutamente integrabile in senso generalizzato su. 1 Se x t è C -tratti allora esiste finito e vale: vp.. e X f df j2 ft vp.. π e X( f) df = ( + ) ( + ) xt xt j2πft 2 t

41 Ricordiamo che: per una funzione ϕ( u) definita su si definisce vp.. ϕ u du= lim ϕ u du r r r (valor principale dell integrale). Se: ϕ u du è convergente, allora vp.. ϕ u du= ϕ u du

42 Il eorema dice che, se x() t soddisfa le ipotesi indicate e X ( f ) = ( Fx)( f ) allora x( t ) 0 se t è un punto nel quale 0 x t è continuo; ( + ) ( ) 0 + xt 0 xt j2 ft vp.. π e X( f) df se è un punto nel quale 2 t 0 converge a: x( t) ha una discontinuità di tipo salto.

43 Se dunque x( t) è un segnale assolutamente 1 integrabile in s. g. su, di classe C -tratti e normalizzato, e X f e x t dt j 2πft = è la sua F-trasformata, Allora X ( f ) = ( Fx)( f ) j2 ft vp.. π e X f df xt = ()

44 Esempio 21bis x t t = rect > 0 Si è visto che, se () allora X f = sinc f In questo caso non è convergente. sinc j2πf t e f df

45 t Poiché rect è: assolutamente integrabile in s. g. su è C 1 -tratti è normalizzato il eorema di Dirichlet permette di concludere che per ogni t 2.. j π ft sinc = rect t vp e f df

46 Esempio 22 Si è visto che, se allora t () = triang ( > 0) x t X f = sinc f 2 In questo caso è convergente. sinc j2πf t 2 e f df

47 Infatti: per f 1 si ha: 2 2 sin πf 1 X f = sinc ( f) = πf π f, 1 e 1,+ [ 1,1] X ( f ) é integrabile in perché ivi continua; e dunque, per il criterio del confronto, è assolutamente integrabile in s. g. anche in

48 Ne segue che: X su f è assolutamente integrabile in s. g. Perciò:.. sinc = sinc π j2πf t 2 j2 f t 2 vp e f df e f df

49 Poiché inoltre triang t è: assolutamente integrabile in s. g. su 1 è C -tratti è continuo L assoluta integrabilità di sinc f ed il eorema di Dirichlet permettono di concludere che per ogni t 2 j 2 ft t 2 π e sinc f df = triang

50 ANALISI IN FREQUENZA Se x( t) è un segnale assolutamente integrabile in s. g. su, di classe C 1 -tratti e normalizzato, l espressione integrale che indica la sua trasformata di Fourier = X f e x t dt j 2πf t () f è detta equazione di analisi

51 mentre la sua rappresentazione mediante la formula di inversione () j2πft xt = vp.. e X ( f ) df è detta: equazione di sintesi. (molto spesso nei testi tecnici la scrittura v.p. sparisce )

52 L equazioni di analisi permette di effettuare la cosiddetta analisi in frequenza del segnale. La rappresentazione grafica della funzione a valori complessi X ( f ) avviene per lo più attraverso la rappresentazione delle due funzioni reali f e f : A ϑ A ϑ f = f X f = arg X f f

53 Ricordando che: ( cos 2 sin 2 ) () X ( f ) = ( πft) j ( πf ) x t dt cosicché si verifica facilmente che: Re X f = cos 2πft x t dt ( ) Im X f = sin 2πft x t dt X f = Re X f + jim X f = = Re X f jim X f = X * f

54 Ne segue che: f = f = X * f = f A X A ϑ f = arg f = arg X * f = X = arg X f = f ϑ( ) f Possiamo perciò concludere che: la funzione A( f ) è pari la funzione ϑ( f ) è dispari (e quindi ci basta valutarne i valori solo per f 0)

55 Ovviamente: se X ( f ) è a valori reali (come avviene per esempio se il segnale è pari) oppure se X ( f ) è a valori immaginari (come avviene per esempio se il segnale è dispari) x( t) x( t) si preferisce rappresentare X ( f ) mediante le funzioni Re X f o Im X f (rispettivam.)