ANALISI DI FOURIER E APPLICAZIONI

Transcript

1 ANALISI DI FOURIER E APPLICAZIONI Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Catania

2 ORIGINE DELLE SERIE DI FOURIER Problema della propagazione del calore in una sbarra. Fourier (caso unidimensionale) La temperatura u è una funzione della variabile spaziale x e del tempo t. Essa è espressa da una funzione u(x, t) e verifica la seguente condizione 2 u x 2 = u t per ogni x Ω e per ogni t > 0.

3 ORIGINE DELLE SERIE DI FOURIER Problema della propagazione del calore in una sbarra. Fourier (caso unidimensionale) La temperatura u è una funzione della variabile spaziale x e del tempo t. Essa è espressa da una funzione u(x, t) e verifica la seguente condizione 2 u x 2 = u t per ogni x Ω e per ogni t > 0.

4 ORIGINE DELLE SERIE DI FOURIER Problema della propagazione del calore in una sbarra. Fourier (caso unidimensionale) La temperatura u è una funzione della variabile spaziale x e del tempo t. Essa è espressa da una funzione u(x, t) e verifica la seguente condizione 2 u x 2 = u t per ogni x Ω e per ogni t > 0.

5 ORIGINE DELLE SERIE DI FOURIER Fourier ipotizza la temperatura (incognita) come la sovrapposizione degli effetti di funzioni di tipo coseno e risolve così l equazione.

6 SERIE DI FOURIER DEFINIZIONE (SERIE TRIGONOMETRICA) Siano {a n } e {b n } due successioni reali. la serie a (a n cos nx + b n sen nx) n=1 si chiama serie trigonometrica di coefficienti {a n }, {b n }.

7 SERIE DI FOURIER Casi particolari DEFINIZIONE (SERIE DI SENI) + n=1 b n sen nx DEFINIZIONE (SERIE DI COSENI) + n=0 a n cos nx

8 SERIE DI FOURIER Casi particolari DEFINIZIONE (SERIE DI SENI) + n=1 b n sen nx DEFINIZIONE (SERIE DI COSENI) + n=0 a n cos nx

9 SERIE DI FOURIER Casi particolari DEFINIZIONE (SERIE DI SENI) + n=1 b n sen nx DEFINIZIONE (SERIE DI COSENI) + n=0 a n cos nx

10 SERIE DI FOURIER DEFINIZIONE (SERIE IN FORMA COMPLESSA) + n= c n e inx dove {c n } è una successione di numeri complessi.

11 SERIE DI FOURIER Le serie trigonometriche rappresentano funzioni periodiche di periodo 2π. Può una funzione periodica essere rappresentata da una serie trigonometrica? In generale la risposta è no. Si può dimostrare che, se una funzione è rappresentabile da una serie trigonometrica allora i coefficienti sono univocamente determinati. Risulta e a n = 1 π b n = 1 π π π π π f (x) cos nx dx f (x) sen nx dx

12 SERIE DI FOURIER Le serie trigonometriche rappresentano funzioni periodiche di periodo 2π. Può una funzione periodica essere rappresentata da una serie trigonometrica? In generale la risposta è no. Si può dimostrare che, se una funzione è rappresentabile da una serie trigonometrica allora i coefficienti sono univocamente determinati. Risulta e a n = 1 π b n = 1 π π π π π f (x) cos nx dx f (x) sen nx dx

13 SERIE DI FOURIER Le serie trigonometriche rappresentano funzioni periodiche di periodo 2π. Può una funzione periodica essere rappresentata da una serie trigonometrica? In generale la risposta è no. Si può dimostrare che, se una funzione è rappresentabile da una serie trigonometrica allora i coefficienti sono univocamente determinati. Risulta e a n = 1 π b n = 1 π π π π π f (x) cos nx dx f (x) sen nx dx

14 SERIE DI FOURIER Le serie trigonometriche rappresentano funzioni periodiche di periodo 2π. Può una funzione periodica essere rappresentata da una serie trigonometrica? In generale la risposta è no. Si può dimostrare che, se una funzione è rappresentabile da una serie trigonometrica allora i coefficienti sono univocamente determinati. Risulta e a n = 1 π b n = 1 π π π π π f (x) cos nx dx f (x) sen nx dx

15 SERIE DI FOURIER In questo caso, la serie trigonometrica si chiama Serie di Fourier di f.

16 SERIE DI FOURIER La serie di Fourier di f converge alla funzione f da cui è stata generata? In generale la risposta è no. Sotto opportune condizioni è possibile dimostrare che la serie di Fourier converge alla funzione.

17 SERIE DI FOURIER La serie di Fourier di f converge alla funzione f da cui è stata generata? In generale la risposta è no. Sotto opportune condizioni è possibile dimostrare che la serie di Fourier converge alla funzione.

18 SERIE DI FOURIER La serie di Fourier di f converge alla funzione f da cui è stata generata? In generale la risposta è no. Sotto opportune condizioni è possibile dimostrare che la serie di Fourier converge alla funzione.

19 SIGNIFICATO DELLA CONVERGENZA Posto f (x + ) = lim t x + f (t) la serie converge al numero che - in generale - non è f (x). f (x + ) + f (x ) 2 f (x ) = lim t x f (t)

20 ESEMPIO ESEMPIO (ONDA QUADRA) La funzione f : R R definita dalla legge { 1 se 2kπ x < (2k + 1)π f (x) = 1 se (2k 1)π x < 2kπ k Z, è periodica di periodo 2π in R. La serie di Fourier è 4 + sen((2n + 1)x). π 2n + 1 n=0

21 ESEMPIO ESEMPIO (ONDA A DENTE DI SEGA) La funzione f : R R definita dalla legge f (x) = x [x], periodica di periodo T = 1 in R si chiama dente di sega. La serie di Fourier è π n sen(2nπx). n=1

22 CONVERGENZA Quando converge una serie di Fourier?

23 UNA CONDIZIONE SUFFICIENTE PER LA CONVERGENZA DEFINIZIONE (CONDIZIONE DI DIRICHLET) Sia f : R R una funzione reale di variabile reale. Diciamo che la funzione f verifica la condizione di Dirichlet in un punto x 0 R se è verificata almeno una delle seguenti affermazioni. 1. La funzione f è derivabile nel punto x La funzione f è continua nel punto x 0 ed esistono entrambi finiti i seguenti limiti f +(x 0 ) lim x x + 0 f (x) f (x 0 ) x x 0, f (x 0 ) lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x La funzione f ha un salto in x 0 ed esistono entrambi finiti i seguenti limiti f + (x 0 ) lim x x + 0 f (x) f (x + 0 ) x x 0 f (x 0 ) lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0.

24 UNA CONDIZIONE SUFFICIENTE PER LA CONVERGENZA DEFINIZIONE (CONDIZIONE DI DIRICHLET) Sia f : R R una funzione reale di variabile reale. Diciamo che la funzione f verifica la condizione di Dirichlet in un punto x 0 R se è verificata almeno una delle seguenti affermazioni. 1. La funzione f è derivabile nel punto x La funzione f è continua nel punto x 0 ed esistono entrambi finiti i seguenti limiti f +(x 0 ) lim x x + 0 f (x) f (x 0 ) x x 0, f (x 0 ) lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x La funzione f ha un salto in x 0 ed esistono entrambi finiti i seguenti limiti f + (x 0 ) lim x x + 0 f (x) f (x + 0 ) x x 0 f (x 0 ) lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0.

25 UNA CONDIZIONE SUFFICIENTE PER LA CONVERGENZA DEFINIZIONE (CONDIZIONE DI DIRICHLET) Sia f : R R una funzione reale di variabile reale. Diciamo che la funzione f verifica la condizione di Dirichlet in un punto x 0 R se è verificata almeno una delle seguenti affermazioni. 1. La funzione f è derivabile nel punto x La funzione f è continua nel punto x 0 ed esistono entrambi finiti i seguenti limiti f +(x 0 ) lim x x + 0 f (x) f (x 0 ) x x 0, f (x 0 ) lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x La funzione f ha un salto in x 0 ed esistono entrambi finiti i seguenti limiti f + (x 0 ) lim x x + 0 f (x) f (x + 0 ) x x 0 f (x 0 ) lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0.

26 UNA CONDIZIONE SUFFICIENTE PER LA CONVERGENZA TEOREMA (SVILUPPABILITÀ IN SERIE DI FOURIER) Sia f : R R una funzione periodica di periodo 2π e localmente integrabile in R. La serie di Fourier associata alla funzione è convergente in ogni punto x in cui la funzione f soddisfi la condizione di Dirichlet e si ha a 0 + (a n cos nx + b n sen nx) = f (x ) + f (x + ). 2 n=1

27 PROBLEMA E se la funzione non è periodica?

28 TRASFORMATA DI FOURIER LA TRASFORMATA DI FOURIER

29 TRASFORMATA DI FOURIER DEFINIZIONE (TRASFORMATA DI FOURIER DI UNA FUNZIONE SOMMABILE) Sia f : R R una funzione sommabile. Per ogni ξ R la funzione f (x)e 2πixξ è sommabile. Ponendo + ˆf (ξ) = f (x)e 2πixξ dx definiamo una funzione. La funzione ˆf si chiama trasformata di Fourier della funzione f.

30 TRASFORMATA DI FOURIER DEFINIZIONE (TRASFORMATA DI FOURIER DI UNA FUNZIONE SOMMABILE) Sia f : R R una funzione sommabile. Per ogni ξ R la funzione f (x)e 2πixξ è sommabile. Ponendo + ˆf (ξ) = f (x)e 2πixξ dx definiamo una funzione. La funzione ˆf si chiama trasformata di Fourier della funzione f.

31 TRASFORMATA DI FOURIER DEFINIZIONE (TRASFORMATA DI FOURIER DI UNA FUNZIONE SOMMABILE) Sia f : R R una funzione sommabile. Per ogni ξ R la funzione f (x)e 2πixξ è sommabile. Ponendo + ˆf (ξ) = f (x)e 2πixξ dx definiamo una funzione. La funzione ˆf si chiama trasformata di Fourier della funzione f.

32 TRASFORMATA DI FOURIER DEFINIZIONE (TRASFORMATA DI FOURIER DI UNA FUNZIONE SOMMABILE) Sia f : R R una funzione sommabile. Per ogni ξ R la funzione f (x)e 2πixξ è sommabile. Ponendo + ˆf (ξ) = f (x)e 2πixξ dx definiamo una funzione. La funzione ˆf si chiama trasformata di Fourier della funzione f.

33 UN ESEMPIO ESEMPIO Calcoliamo la trasformata di Fourier della funzione f definita dalla legge { sen x se π < x < π f (x) = 0 altrimenti La funzione è sommabile. Possiamo calcolare la trasformata applicando la definizione. Ricordando che sen x = eix e ix si ha 2 1 π ˆf (ξ) = e 2πixξ (e ix e ix ) dx. 2i π

34 UN ESEMPIO ESEMPIO Calcoliamo la trasformata di Fourier della funzione f definita dalla legge { sen x se π < x < π f (x) = 0 altrimenti La funzione è sommabile. Possiamo calcolare la trasformata applicando la definizione. Ricordando che sen x = eix e ix si ha 2 1 π ˆf (ξ) = e 2πixξ (e ix e ix ) dx. 2i π

35 UN ESEMPIO ESEMPIO Calcoliamo la trasformata di Fourier della funzione f definita dalla legge { sen x se π < x < π f (x) = 0 altrimenti La funzione è sommabile. Possiamo calcolare la trasformata applicando la definizione. Ricordando che sen x = eix e ix si ha 2 1 π ˆf (ξ) = e 2πixξ (e ix e ix ) dx. 2i π

36 UN ESEMPIO ESEMPIO Calcoliamo la trasformata di Fourier della funzione f definita dalla legge { sen x se π < x < π f (x) = 0 altrimenti La funzione è sommabile. Possiamo calcolare la trasformata applicando la definizione. Ricordando che sen x = eix e ix si ha 2 1 π ˆf (ξ) = e 2πixξ (e ix e ix ) dx. 2i π

37 UN ESEMPIO Eseguendo i calcoli troviamo ˆf (ξ) = 2i sen(2π 2 ξ) 4π 2 ξ 2 1 ξ ±2πξ.

38 APPLICAZIONI 1. Audio 2. Immagini e video 3. Sicurezza Informatica 4. Telecomunicazioni

39 APPLICAZIONI 1. Audio 2. Immagini e video 3. Sicurezza Informatica 4. Telecomunicazioni

40 APPLICAZIONI 1. Audio 2. Immagini e video 3. Sicurezza Informatica 4. Telecomunicazioni

41 APPLICAZIONI 1. Audio 2. Immagini e video 3. Sicurezza Informatica 4. Telecomunicazioni

42 Letture consigliate R.Wheeden A.Zygmund Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis (Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics) A.Zygmund Trigonometric Series (Cambridge Mathematical Library) M.Frasca Metodi Matematici per l Ingegneria Ed. Monduzzi.

43 UNA APPLICAZIONE MUSICALE Ascoltiamo le serie di Fourier